王 麗， 郭小農(nóng)， 朱劭駿， 羅曉群

(同濟大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092)

鋁合金單層網(wǎng)殼受力合理、造型美觀、施工方便，是常見的空間結(jié)構(gòu)形式之一。目前我國已建成上海馬戲城、上?？萍拣^、辰山植物園、中國五項賽事游泳擊劍館等[1-2]多座鋁合金單層網(wǎng)殼。

板式節(jié)點是鋁合金單層網(wǎng)殼最為常見的節(jié)點型式，國內(nèi)外對其進行了深入研究。2014年，郭小農(nóng)等[3-9]進行了鋁合金板式節(jié)點的試驗研究，總結(jié)了板式節(jié)點變形機理，提出了節(jié)點彎曲剛度的四折線模型。2015年，Xu等[10]研究了鋁合金板式節(jié)點平面外受彎的滯回性能，指出其滯回曲線穩(wěn)定但是不夠飽滿。2017年，Liu等[11]研究了節(jié)點剛度對鋁合金板式節(jié)點網(wǎng)殼靜力穩(wěn)定性能的影響，指出鋁合金板式節(jié)點的半剛性會降低網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定承載力。

然而，以上研究均針對于板式節(jié)點網(wǎng)殼的靜力特性，對于板式節(jié)點網(wǎng)殼的動力特性的研究還有所不足。郭小農(nóng)等[12]采用錘擊法測得某鋁合金板式節(jié)點網(wǎng)殼的阻尼比，并建議取值為3.3%；此外，鮮有文獻對鋁合金板式節(jié)點網(wǎng)殼的動力特性進行研究。

針對上述研究不足，本文建立了鋁合金板式節(jié)點網(wǎng)殼的數(shù)值分析模型，研究了矢跨比、跨度、屋面荷載、跨厚比、網(wǎng)格密度、約束條件等參數(shù)對單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)動力性能的影響，并提出了鋁合金板式節(jié)點單層球面網(wǎng)殼自振基頻的估算公式。

1 不考慮節(jié)點剛度影響時網(wǎng)殼的自振特性分析

1.1 數(shù)值分析模型

本節(jié)首先分析不考慮節(jié)點剛度影響時單層球面網(wǎng)殼的自振特性。采用ANSYS建立數(shù)值分析模型，約束條件為周邊三向固定鉸支；桿件選用Beam188單元模擬；將屋面均布質(zhì)量簡化為節(jié)點處的集中質(zhì)量；鋁合金材料牌號為6061-T6，名義屈服應(yīng)力為240 MPa，彈性模量為70 GPa；忽略屋面板對整體結(jié)構(gòu)剛度的貢獻；K6型網(wǎng)殼分析模型如圖1所示。

為了研究各種參數(shù)對網(wǎng)殼自振特性的影響，本文共建立了34 200個球面網(wǎng)殼數(shù)值模型。各模型的具體參數(shù)如表1所示。表中桿件均采用擠壓H鋁型材，其截面規(guī)格為：① H250×150×6×12 mm;② H300×150×8×12 mm;③ H350×175×10×14 mm;④ H400×200×12×14 mm;⑤ H500×200×12×16 mm。表1中網(wǎng)格尺寸指網(wǎng)殼各環(huán)主肋桿件長度。

表1 參數(shù)分析方案Tab.1 Parameter analysis scheme

1.2 數(shù)值計算結(jié)果分析

(1) 矢跨比對網(wǎng)殼基頻的影響

圖2給出了某典型K6型網(wǎng)殼前30階自振頻率，圖中標出了該網(wǎng)殼的具體參數(shù)。圖3列出了矢跨比為1/3的K6型網(wǎng)殼前3階振型，圖4給出了矢跨比為1/7的K6型網(wǎng)殼前3階振型。從圖3可以看出，矢跨比為1/3時，前3階振型均為水平方向變形較大的反對稱振型。從圖4可以看出，當矢跨比為1/7時，第1階振型和第2階振型均為豎向變形較大的反對稱振型，第3階振型為豎向變形為主的對稱振型。

圖2 不同矢跨比網(wǎng)殼的頻率分布Fig.2 Frequency of different rise-span ratio shells

圖3 矢跨比1/3的網(wǎng)殼前3階振型圖Fig.3 Vibration modes of shells with rise-span ratio 1/3

圖4 矢跨比1/7的網(wǎng)殼前3階振型圖Fig.4 Vibration modes of shells with rise-span ratio 1/7

圖5給出了K6型網(wǎng)殼基頻隨矢跨比的變化曲線，從圖5可以看出，網(wǎng)殼基頻先隨著矢跨比增大而增大，然后隨著矢跨比增大而減小。在一定范圍內(nèi)存在一個使得基頻最大的最佳矢跨比，最佳矢跨比約為1/4。顯然，結(jié)構(gòu)的基頻取決于其剛度分布和質(zhì)量分布。當矢跨比較大時(1/2～1/4)，第1振型的水平方向變形較大；而隨著矢跨比的減小，結(jié)構(gòu)水平剛度有所增加，因此基頻有所加大。當矢跨比較小時(1/5～1/16)，第1振型的豎向變形較大；而隨著矢跨比的減小，結(jié)構(gòu)豎向剛度有所減小，因此，基頻有所減小。

圖5 基頻隨矢跨比變化趨勢圖Fig.5 Fundamental frequency vs rise-span ratio

(2)跨度對網(wǎng)殼基頻的影響

圖6給出了各種矢跨比下網(wǎng)殼基頻隨跨度的變化情況。從圖6可以看到，隨著跨度的增加，網(wǎng)殼基頻隨之減小，并漸漸趨于平緩。這說明跨度的增加使得網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)總體剛度減小，且逐漸趨于平緩?？缍鹊脑黾硬⒉桓淖兊?階振型主方向，也即跨度的增加會使得球面網(wǎng)殼在豎向和水平向兩個方向的結(jié)構(gòu)剛度都減小。

(a)K6

(b)K8圖6 基頻隨跨度變化趨勢圖Fig.6 Fundamental frequency vs span

(3)屋面荷載對網(wǎng)殼基頻的影響

在實際工程中，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的屋面荷載主要通過檁條傳到節(jié)點上，所以可按照靜力等效原則將節(jié)點所轄區(qū)域內(nèi)的荷載，等效為集中質(zhì)量加在節(jié)點上。圖7給出了跨度L=60 m，各種矢跨比的網(wǎng)殼基頻隨屋面荷載的變化情況。從圖7中可以看到，網(wǎng)殼的各階頻率都隨著屋面荷載的增大而減小，這是因為增大荷載相當于增大質(zhì)量，而結(jié)構(gòu)剛度沒有發(fā)生較大變化，故而屋面質(zhì)量越大，網(wǎng)殼自振頻率越小。

(4)跨厚比對網(wǎng)殼基頻的影響

桿件截面同樣會影響網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的整體剛度，從而影響網(wǎng)殼自振頻率。本文采用無量綱參數(shù)β來表示跨厚比，設(shè)球面網(wǎng)殼沿著大圓的弧長為s，桿件截面繞強軸的回轉(zhuǎn)半徑為ix，則無量綱化的跨厚比為β=s/ix；根據(jù)工程實際情況，β的值通常在200～800。

圖8給出了跨度L=60 m，矢跨比為1/3，豎向永久荷載為1.2 kN/m2的網(wǎng)殼基頻隨跨厚比的變化情況。

(a)K6

(b)K8圖7 基頻隨屋面荷載變化趨勢圖Fig.7 Fundamental frequency vs roof load

從圖8中可以看到，網(wǎng)殼的各階頻率都是隨著跨厚比的增大而減小，這是因為跨厚比越大，桿件相對截面越小，減小桿件截面相當于減小剛度矩陣，而結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣沒有發(fā)生較大變化，故而殼面外整體振動時，屋面剛度越小，網(wǎng)殼自振頻率越小。

圖8 基頻隨跨厚比變化趨勢圖Fig.8 Fundamental frequency vs span-thickness ratio

(5)網(wǎng)格密度對網(wǎng)殼基頻的影響

網(wǎng)格密度同樣會影響網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的整體剛度，從而影響網(wǎng)殼自振頻率。網(wǎng)格密度可采用無量綱參數(shù)λ來表達：設(shè)球面網(wǎng)殼主肋的桿件長度為l;桿件截面繞強軸的回轉(zhuǎn)半徑為ix;則無量綱化的網(wǎng)格密度為λ=l/ix。λ越大，則代表網(wǎng)格密度越稀疏，反之則代表網(wǎng)格密度越密集。

圖9給出了跨度L=60 m，矢跨比為1/3，豎向荷載為1.2 kN/m2，桿件截面為②類的網(wǎng)殼基頻隨λ的變化情況。從圖9可以看到，網(wǎng)殼的各階頻率都是隨著λ的增大而減小，這是因為增大λ相當于增大網(wǎng)格尺寸，從而減小網(wǎng)殼剛度，因此網(wǎng)殼自振頻率越小。

圖9 基頻隨桿件長細比變化趨勢圖Fig.9 Fundamental frequency vs slenderness ratio

(6)邊界支承條件對網(wǎng)殼基頻的影響

為了研究邊界條件對K6和K8型鋁合金板式節(jié)點網(wǎng)殼自振特性的影響，對周邊節(jié)點鉸接和周邊節(jié)點固接網(wǎng)殼進行分析。選取跨度L=60 m，豎向永久荷載為1.2 kN/m2，桿件截面為②類，周邊節(jié)點鉸接和周邊節(jié)點固接網(wǎng)殼，分別對其進行自振特性分析。不同支承條件下球面網(wǎng)殼基頻的變化情況如圖10?？傮w看來，兩類網(wǎng)殼的基頻基本一致，表明兩種支承條件的差異并沒有起到主要控制作用，兩者差異不大。

2 不考慮節(jié)點剛度影響時網(wǎng)殼基頻估算公式

《空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[13]和《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》[14]對單層球面網(wǎng)殼自振頻率還沒有相應(yīng)規(guī)定。基于此，本節(jié)以凱威特K6和K8型單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)為例，分析單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)自振特性隨網(wǎng)殼跨度、矢跨比、屋面荷載、跨厚比、網(wǎng)格密度等的變化規(guī)律，總結(jié)出設(shè)計中實用的估算公式，從而極大地簡化網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)基頻的求解方法。

(a)K6

(b)K8圖10 基頻隨邊界條件變化趨勢圖Fig.10 Fundamental frequency vs boundary conditions

根據(jù)連續(xù)化殼體自振頻率特性[15]，本文提出鋁合金板式節(jié)點網(wǎng)殼自振頻率公式估算公式，如式(1)所示

(1)

式中:f1為第1階自振頻率;L為球面網(wǎng)殼跨度;M為屋面等效均布質(zhì)量(包括屋面荷載與網(wǎng)殼自重);λ為網(wǎng)格密度無量綱化參數(shù);β為跨厚比無量綱化參數(shù);E為鋁合金的彈性模量，MPa;a,b,c,d,k均為待擬合參數(shù)。

在前文參數(shù)分析的基礎(chǔ)上，共計算了34 200個無缺陷剛接節(jié)點網(wǎng)殼算例，并在此基礎(chǔ)上擬合式(1)中的系數(shù)。K6型和K8型網(wǎng)殼基頻待定系數(shù)擬合結(jié)果分別如表2和表3所示。

表2 K6型網(wǎng)殼基頻待定系數(shù)擬合表Tab.2 Values offundamental frequency coefficients of K6 shells

從表2和表3可以看到，待定系數(shù)a,b,c的離散性非常小，且K6和K8型網(wǎng)殼的各均值也相當接近，故統(tǒng)一取表2和表3中的均值，結(jié)果見表2或表3。而k和d隨矢跨比的變化較大，可采用三次多項式進行擬合如下：

對于K6型網(wǎng)殼

(2)

表3 K8型網(wǎng)殼基頻待定系數(shù)擬合表Tab.3 Values of fundamental frequency coefficients of K8 shells

(3)

對于K8型網(wǎng)殼

(4)

(5)

圖11給出了單層球面網(wǎng)殼基頻估算公式與有限元計算結(jié)果的誤差分布，橫坐標表示誤差δ百分比的區(qū)間，縱軸表示該處在誤差區(qū)間內(nèi)的網(wǎng)殼數(shù)量n占總數(shù)量N的百分比。從圖11中可以看出，批量計算的34 200個網(wǎng)殼基頻估算的誤差均不超過10%，絕大多數(shù)網(wǎng)殼基頻誤差均在5%以內(nèi)，說明本文提出的估算公式能夠較高精度地估算K6型和K8型網(wǎng)殼的基頻。

(a)K6

(b)K8圖11 誤差分布圖Fig.11 Error distribution

工程設(shè)計中，可初步選定合適的矢跨比，根據(jù)式(2)～式(5)算出對應(yīng)的系數(shù)k,d，在表2或者表3中取對應(yīng)的系數(shù)均值a,b,c，最后根據(jù)式(1)估算出網(wǎng)殼的第1階自振頻率。

3 考慮節(jié)點剛度影響的網(wǎng)殼自振頻率

節(jié)點剛度通常會對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的自振頻率產(chǎn)生較大影響。郭小農(nóng)等對鋁合金板式節(jié)點的剛度進行了較為深入的研究，提出了鋁合金板式節(jié)點的四折線模型如圖12所示。從圖12可以看出，鋁合金板式節(jié)點的剛度模型分為嵌固階段、螺栓滑移階段、孔壁承壓階段、失效階段等4個階段。由于板式節(jié)點的圓盤蓋板的尺寸較大，在螺栓滑移之前，節(jié)點域的實際轉(zhuǎn)動剛度大于桿件截面抗彎剛度，節(jié)點表現(xiàn)出一定的超剛性特性。

圖12 節(jié)點彎曲剛度四折線模型Fig.12 Four-line model of bending stiffness of joint

在小震作用下，節(jié)點域的螺栓通常不會出現(xiàn)滑移，節(jié)點剛度大于桿件截面抗彎剛度，因此結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)頻率會有所加大，從而地震響應(yīng)也會有所放大。因此，有必要考慮節(jié)點剛度對網(wǎng)殼自振頻率的影響。本文擬采用基頻放大系數(shù)η來考慮小震下節(jié)點超剛性的影響。

實際工程中，鋁合金板式節(jié)點的節(jié)點板厚度通常等于桿件翼緣厚度，而節(jié)點板半徑根據(jù)桿件截面尺寸進行設(shè)計，圖13給出了根據(jù)桿件截面①～截面⑤按等強原則設(shè)計出的典型節(jié)點。表4列出了這些節(jié)點的幾何參數(shù)及其初始剛度值，其中初始剛度根據(jù)郭小農(nóng)等的公式計算得到。

建立考慮節(jié)點剛度影響的網(wǎng)殼數(shù)值模型，模型由剛性節(jié)點域、非線性剛度彈簧和桿件組成。節(jié)點域采用Beam 188單元模擬，其彈性模量設(shè)置為無窮大；彈簧采用了ANSYS中的Combin 39單元模擬；桿件部分采用Beam 188單元模擬。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)圖13 典型節(jié)點Fig.13 Typical joints

表4 典型節(jié)點相關(guān)參數(shù)Tab.4 Parameters of typical joints

對前文的34 200個網(wǎng)殼進行了分析，得到了其自振頻率。顯然，影響基頻放大系數(shù)η的最重要參數(shù)是桿件節(jié)間長度l和節(jié)點板半徑R之比。圖14給出了34 200個網(wǎng)殼的基頻放大系數(shù)η隨l/R的變化情況，圖中橫軸為l/R，縱軸為基頻放大系數(shù)η。實際工程中，通常并非所有桿件的長度都一樣，由于網(wǎng)殼剛度貢獻最大的桿件是主肋，因此圖14中的l/R是指主肋的節(jié)間長度和節(jié)點板半徑。

圖14 基頻放大系數(shù)η分布Fig.14 Distribution of amplification coefficient η

從圖14可以看出，基頻放大系數(shù)分布在一定寬度的帶狀范圍內(nèi)，取值1.02～1.14，且隨著l/R的增大而減小。由于在計算地震響應(yīng)時，結(jié)構(gòu)頻率越大，地震響應(yīng)越大。因此可以偏安全的取圖14中的數(shù)據(jù)點上限進行擬合，得到公式為

η=1.011+0.652/(l/R)+5.610/(l/R)2

(6)

式中:l為指主肋的節(jié)間長度;R為主肋桿件的節(jié)點板半徑。

4 自振頻率估算公式的驗證

為驗證本文公式的正確性，郭小農(nóng)等采用錘擊法對某鋁合金網(wǎng)殼的自振頻率進行了實測。圖15給出了測試用鋁合金網(wǎng)殼。圖16給出了該網(wǎng)殼的節(jié)點詳圖。根據(jù)郭小農(nóng)等的研究可知，該網(wǎng)殼的實測基頻為17 Hz，數(shù)值驗證模型的基頻為16.375 Hz。下面通過該網(wǎng)殼對本文的擬合公式進行驗證。

圖15 測試用鋁合金網(wǎng)殼Fig.15 The aluminum alloy latticed shell used for the test

圖16 測試用網(wǎng)殼的節(jié)點詳圖Fig.16 Aluminum alloy gusset joints

根據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》(GB 50009—2012)可得已知條件為：

網(wǎng)殼型式 K6

網(wǎng)殼跨度L=8 m

網(wǎng)殼矢高f=0.5 m

網(wǎng)殼矢跨比f/L=1/16

網(wǎng)殼等效均布質(zhì)量(含自重)M=41.2 kg/m2

網(wǎng)殼桿件截面 H100×50×4×5 mm

網(wǎng)殼桿件彈性模量E=65 364 MPa

網(wǎng)殼主肋弧長s=8 080 mm

網(wǎng)殼主肋桿件節(jié)間長度l=808 mm

網(wǎng)殼主肋的節(jié)點板半徑R=100 mm

桿件截面回轉(zhuǎn)半徑ix=39.94 mm

不考慮節(jié)點剛度影響的基頻計算：

網(wǎng)格密度無量綱參數(shù)λ=l/ix=20.23

跨厚比無量綱參數(shù)β=s/ix=202.3

根據(jù)式(2)可得計算參數(shù)k6k6=19 342

根據(jù)式(3)可得計算參數(shù)d6d6=-0.378

根據(jù)表2可查得計算參數(shù)a6a6=-0.738

根據(jù)表2可查得計算參數(shù)b6b6=-0.512

根據(jù)表2可查得計算參數(shù)c6c6=-0.502

將以上各參數(shù)代入式(1)可得f1=17.78 Hz

考慮節(jié)點剛度影響的基頻計算：

網(wǎng)殼主肋桿件的l/Rl/R=8.0

根據(jù)式(6)可得頻率放大系數(shù)η=1.18>1.14，取1.14

考慮節(jié)點剛度影響的網(wǎng)殼基頻f1=17.78×1.14=20.27 Hz

從上述計算過程可知：該網(wǎng)殼模型的實測基頻為17 Hz，數(shù)值模型基頻為16.375 Hz。當不考慮節(jié)點剛度影響時，根據(jù)本文擬合公式計算得到的基頻為17.78 Hz，和實測值相差4.5%，具有較高精度。當考慮節(jié)點剛度影響時，根據(jù)本文公式計算得到的基頻為20.27 Hz，比實測值大19.2%。分析認為可能有如下原因：①擬合式(6)時采用了上限值，當l/R=8.0時，根據(jù)式(6)計算得影響系數(shù)η=1.14，然而根據(jù)試驗網(wǎng)殼的考慮節(jié)點剛度的數(shù)值模型計算結(jié)果，影響系數(shù)η=1.05；②受到測量手段與測量儀器精度的限制；③試驗網(wǎng)殼為人工安裝，螺栓預(yù)緊力不足。

5 結(jié) 論

本文通過對凱威特K6型和K8型單層球面網(wǎng)殼的大規(guī)模的參數(shù)分析，得出了以下結(jié)論：

(1)跨度、屋面荷載、跨厚比、網(wǎng)格密度是影響單層球面網(wǎng)殼基頻的主要因素。矢跨比是影響單層球面網(wǎng)殼基頻的關(guān)鍵因素，矢跨比較大的網(wǎng)殼低階振型以水平方向居多，矢跨比較小的網(wǎng)殼以豎向振型居多，在一定范圍內(nèi)存在一個使得基頻最大的矢跨比。

(2)不考慮節(jié)點剛度影響時，鋁合金板式節(jié)點網(wǎng)殼的基頻可采用式(1)進行估算。通過和數(shù)值分析結(jié)果以及試驗結(jié)果的對比表明，擬合式(1)具有較高的精度。

(3)當考慮板式節(jié)點剛度影響時，網(wǎng)殼的基頻會有所提高，其提高系數(shù)可采用偏于安全的式(6)進行估算。