毛北行,喬宗敏

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院,河南 鄭州 450015;2.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601 )

學(xué)者們抽象出很多動(dòng)力學(xué)模型并加以研究，得到很多結(jié)果[1-4]，但很少有人對(duì)幸福模型進(jìn)行研究.文獻(xiàn)[5]研究了愛(ài)情的幸福模型，該模型對(duì)人們的心理治療、處世方法有一定的積極作用.幸福不是簡(jiǎn)單的標(biāo)量，它包括快樂(lè)、高興、興奮、寧?kù)o、知足、圓滿及滿意度等[6-7].文獻(xiàn)[8] 基于特征值方法研究了幸福的動(dòng)力學(xué)模型.文獻(xiàn)[9]基于Routh-Hurwitz判據(jù)，研究了受驅(qū)動(dòng)非線性幸福模型的動(dòng)力學(xué)解析問(wèn)題.但以上文獻(xiàn)都沒(méi)有考慮外加激勵(lì)的影響，事實(shí)上，遭遇一個(gè)外來(lái)事件的激勵(lì)后，情緒會(huì)有多種響應(yīng)表現(xiàn)，或者產(chǎn)生深度混沌(超混沌)，可能表現(xiàn)為忘乎所以、歇斯底里；或者原來(lái)不安的情緒(混沌)被鎮(zhèn)定，突然安靜下來(lái)；或者保持原來(lái)(混沌)的狀態(tài)，外來(lái)事件對(duì)他毫無(wú)影響.這說(shuō)明事件的突然發(fā)生，另一外來(lái)事件的出現(xiàn)，會(huì)導(dǎo)致人們不同的反應(yīng).論文考慮外加激勵(lì)的影響，研究一類具有外加激勵(lì)的整數(shù)階幸福模型的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題，以及分?jǐn)?shù)階幸福模型的穩(wěn)定性問(wèn)題，并進(jìn)一步研究了幸福模型的混沌同步問(wèn)題.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論，得到了系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定以及取得同步的充分性條件，仿真結(jié)果表明了方法的可行性.

1 主要結(jié)果

文獻(xiàn)[5]研究了羅密歐與朱麗葉彼此相愛(ài)的時(shí)間振蕩關(guān)系，愛(ài)情R的動(dòng)力學(xué)模型為

這是表征羅密歐的愛(ài)情及他感到幸福的動(dòng)力學(xué)模型，β為阻尼衰減率，ω為自然諧振頻率.

以下考慮有外部激勵(lì)u(t)的幸福模型

(1)

由假設(shè)1，由

定義1[10]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

考慮分?jǐn)?shù)階幸福模型

(2)

假設(shè)2 ‖x1‖≤‖x2‖.

定理2在假設(shè)2下，若設(shè)計(jì)外部激勵(lì)u(t)=(β-ε)x2-(1+ω2)x1，ε>0 ，則上述系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的.

證明根據(jù)假設(shè)2，由引理1，有

考慮整數(shù)階幸福模型

(3)

定理3在假設(shè)3下，若設(shè)計(jì)外部激勵(lì)

解該微分不等式，很容易得到結(jié)論.

考慮分?jǐn)?shù)階幸福模型

(4)

假設(shè)4 ‖x1‖≤‖x2‖≤‖x3‖.

證明根據(jù)假設(shè)2，有

受外界事件的驅(qū)動(dòng)，幸福模型能夠產(chǎn)生混沌、超混沌、周期等特性.以下著手研究在混沌狀態(tài)下幸福模型的混沌同步問(wèn)題.

考慮幸?；煦缒Ｐ?/p>

(5)

以系統(tǒng)(5)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，將響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(6)

定義系統(tǒng)誤差e(t)=y(t)-x(t) ，(6)式減去(5)式得到誤差系統(tǒng)

(7)

根據(jù)假設(shè)1，有

考慮分?jǐn)?shù)階幸福混沌模型

(8)

以上述系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)響應(yīng)系統(tǒng)為

(9)

定義系統(tǒng)誤差ei(t)=yi(t)-xi(t),i=1,2 ，(9)式減去(8)式得到誤差系統(tǒng)

(10)

假設(shè)6 ‖e1‖≤‖e2‖.

定理6在假設(shè)6下，若設(shè)計(jì)控制器u(t)=(β-ε)e2-(1+ω2)e1，ε>0 ，則系統(tǒng)(8)與(9)是混沌同步的.

證明根據(jù)假設(shè)6，由引理1，有

很容易得到J<0.

考慮如下整數(shù)階幸?；煦缒Ｐ?/p>

(11)

以上述系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)響應(yīng)系統(tǒng)為

(12)

定義系統(tǒng)誤差e(t)=y(t)-x(t) ，(12)式減去(11)式得到誤差系統(tǒng)

(13)

定理7在假設(shè)7下，若設(shè)計(jì)控制器

則系統(tǒng)(11)與(12)是有限時(shí)間混沌同步的，其中

解該微分不等式，很容易得到結(jié)論.

考慮分?jǐn)?shù)階幸?；煦缒Ｐ?/p>

(14)

以上述系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)響應(yīng)系統(tǒng)為

(15)

定義系統(tǒng)誤差ei(t)=yi(t)-xi(t),i=1,2,3 ，(15)式減去(14)式得到誤差系統(tǒng)

(16)

假設(shè)8 ‖e1‖≤‖e2‖≤‖e3‖.

證明根據(jù)假設(shè)8，有

2 結(jié)束語(yǔ)

研究一類幸福模型穩(wěn)定性問(wèn)題及其混沌同步問(wèn)題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階微積分理論，得到系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定及漸近穩(wěn)定以及混沌同步的充分性條件.研究表明：一定條件下，該模型漸近穩(wěn)定；一定條件下，系統(tǒng)取得混沌同步.