摘 要：到了高三，同學們都要做大量的數(shù)學題，不得不在題海里“暢游”，很苦也很累，追求題目數(shù)量的人多，追求題目質量的人相對較少，事倍功半者大有人在。如果同學們對經典的題目多一些思考，質疑，特別是當題目解出后，能不滿足現(xiàn)狀，打破思維定式，更進一步反思，從不同的側面，不同的角度，用不同的思路，不同的方法，去琢磨有沒有更好的，更簡捷的方法去解答，探索一題多解，拓寬自己的解題思路，一旦有了這種想法和意識，往往會收到意想不到的效果，找到更加獨特新穎的解法，并享受成功后的快樂，提高學習興趣，為進一步學習數(shù)學打下良好基礎。下面通過兩個例題，希望對同學們有所啟迪，供參考。

關鍵詞：一題多解；興趣；基礎

【例1】 已知正方體ABCD棱長為a，求相鄰兩面對角線BD和CD1間的距離。

解法1 定義法

分析 圖（一） 如何找到異面直線的公垂線段是關鍵。

因BD⊥AC，BD⊥CC1，所以BD⊥面ACC1，所以BC⊥AC1，同理CD1⊥AC1，這樣AC1就是BD和CD1的公垂線，那么BD和CD1的公垂線段應于AC1平行且于BD和CD1相交。取AD中點E，連接EC交BD于F，過F作EM的平行線交CD1于N，則FN就是BD和CD1的公垂線段。因△BFC∽△DFE，所以DEBC=EFFC=12，F(xiàn)N=23EM=33a。

解法2 轉化法（1）

分析 圖（二） 因CD1∥BA1，所以CD1∥面A1BD，那么BD和CD1的距離就是CD1和面A1BD的距離，也就是點C到面A1BD的距離d，可用等體積法來求。由VA1-BCD=VC-A1BD得d=33a。

解法3 轉化法（2）

分析 圖（三） 因BD∥B1D1，CD1∥BA1，知面A1BD∥面B1CD1，那么BD和CD1的距離就是面A1BD/和面B1CD1間的距離，設AC1于面A1BD交與點O1，AC1于面B1CD1交與點O2，點A到面A1BD之距為d1，點C1到面B1CD1之距為d2，用等體積法易得d1=33a，d2=33a，所以O1O2=3a-（d1+d2）=33a。

解法4 坐標法

分析 圖（四） 建立如圖所示空間直角坐標系，則A（0，0，0），C（a，a，0），C1（a，a，a），D（0，a，0），由于AC1是異面直線BD和CD1的公垂線，所以異面直線BD和CD1的距離d=AC1·DC|AC1|=33a。

解法5 基底向量法

分析 取{AB，AD，AA1}為空間的一組基底，并設AB=e1，AD=e2，AA1=e3，則AC1=e1+e2+e3，所以異面直線BD和CD1的距離d=AC1·DC|AC1|=33a。

現(xiàn)在的學生大多都用建立空間直角坐標系的方法解高考中的立體幾何題，但是，如果給出的幾何圖形不規(guī)范的話，建系就不太方便，用取基底向量法就容易一些。

解法6 運動的觀點

分析 圖（五） 建立如圖所示的空間直角坐標系，點P為BD上動點，Q為AD1上動點，設P（x，a-x，0），Q（0，y，y），x∈[0，a]，y∈[0，a]，因為BD與CD1之距就是BD與AD1之距，即|PQ|min，

則|PQ|2=x2+（a-x-y）2+y2

=2（x+y）2-2a（x+y）-2xy+a2

≥32（x+y）2-2a（x+y）+a2

=32（x+y）-23a2+13a2

當x+y=23a且x=y=13a時，|PQ|2min=13a2，故|PQ|min=33a。

【例2】 【2014年廣東，理3】若變量x，y滿足約束條件y≤xx+y≤1y≥-1且z=2x+y的最大值和最小值分別為M和m，則M-m= 。

解法1 線性規(guī)劃法

由已知得y=-2x+z，z為直線在y軸上的截距，如圖，顯然，在點A（-1，-1）處Zmin=-3，在點B（2，-1）處Zmax=3，所以M-m=6。

解法2 待定系數(shù)法

把2x+y用x-y和y表示出來，z=2（x-y）+3y≥-3，此時x-y=0y=-1，即x=-1y=-1時，Zmin=-3；同理z=2（x+y）+（-y）≤3，此時x+y=1-y=1，即x=2y=-1時，Zmax=3。

解法3 向量法

設a=（2，1），b=（x，y），z=2x+y=（2，1）·（x，y）=5·x2+y2·cosθ。其中θ為向量a=（2，1）與b=（x，y）的夾角。這樣只需求區(qū)域內動向量b=（x，y）在定向量a=（2，1）上的投影，將點A（-1，-1）和點B（2，-1）代入即得Zmin=-3，Zmax=3。

解法4 增量法

因為z=2x+y=x+x+y，設x=z3+ty=z3-2t，代入y≤xx+y≤1y≥-1，解得t≥0z≤32+32tz≥6t-3，即6t-3≤z≤32+32t，所以t∈[0，1]，當t=1時，Zmax=3，此時x=2y=1；當t=0時，Zmin=-3，此時x=-1y=-1。

解法5 構造法

聯(lián)想到點到直線的距離公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2，構造d=5·|2x+y|5，可將上式看作動點（x，y）到定直線2x+y=0的距離，易知在點B（2，-1）或在點A（-1，-1）處，dmax=3，所以有0≤|z|≤3，即Zmin=-3，Zmax=3，從而M-m=6。

【例3】 【2017高考，山東文12題】若直線xa+yb=1（a>0，b>0），過點（1，2），則2a+b的最小值為 。

解法1 “1”的替換

因xa+yb=1（a>0，b>0），過點（1，2），所以1a+2b=1，2a+b=（2a+b）·1a+2b=ba+4ab+4≥2ba·4ab+4=8，當且僅當ba=4ab，即a=2，b=4時取“=”。

解法2 消元法

因為1a+2b=1，所以b=2aa-1，所以2a+b=2a+2aa-1=2a+2+2a-1=2（a-1）+2a-1+4≥8，當且僅當a=2，b=4時取“=”。

解法3 構造柯西不等式

2a+b=（2a+b）·1a+2b≥（2+2）2=8，當且僅當2a1a=b2b，即a=2，b=4時取“=”。

解法4 構造基本不等式

由1a+2b=1得，2a+b=ab，2（2a+b）=2a·b≤2a+b22，所以2a+b≥8，當且僅當2a=b即a=2，b=4時取“=”。

解法5 構造一元二次方程

設2a+b=t，則b=t-2a，代入2a+b=ab中整理得2a2-at+t=0，因為方程有正根，所以Δ=t2-8t≥0即t≥8且當t=8時a=2，b=4時2a+b的最小值為8。

【例4】 【2016課標全國1】在直角坐標系xOy中，圓C的方程（x+y）2+y2=25。

（1）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C得極坐標方程；

（2）直線l的參數(shù)方程是x=tcosαy=tsinα（t為參數(shù)），l與C交于A，B兩點，|AB|=10求l的斜率。

解析 （1）由x=ρcosθy=ρsinθ可得圓C的極坐標方程為ρ2+12ρcosθ+11=0。

（2）解法1 直線l的直角坐標方程為y=tanα·x=kx，因為|AB|=10，由點到直線的距離公式得，圓心（-6，0）到直線l的距離d=|-6k|1+k2=3102，所以k2=53，即k=±153。

解法2 在（1）中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρ=θ（ρ∈R），設A、B兩點對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcosθ+11=0，于是ρ1+ρ2=-12cosθ，ρ1·ρ2=11，所以|AB|=|ρ1-ρ2|=（ρ1+ρ2）2-4ρ1ρ2=144cos2α-44，由|AB|=10得，cos2α=38，tanα=±153，即l的斜率為153或-153。

解法3 將l的參數(shù)方程x=tcosαy=tsinα（t為參數(shù)）代入圓C的方程（x+6）2+y2=25，得t2+12cosαt+11=0，于是t1+t2=-12cosα，t1·t2=11，由直線參數(shù)方程t的幾何意義得|AB|=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2=144cos2α-44，由|AB|=10得，cos2α=38，tanα=±153，即l的斜率為153或-153。

【例5】 【必修5第44頁】在等差數(shù)列{an}中，已知第1項到第10項的和為310，第11項到第20項的和為90，求第21項到第30項的和。

解法1 公式法

由題意知s10=310，s20-s10=910，將它們代入公式s=na1+n（n-1）2d，得10a1+45d=31020a1+190d-310=910，解得a1=4d=6，所以a21=4+20×6=124，a30=4+29×6=178，于是，第21項到第30項的和為10（124+178）2=1510。

解法2 性質法

因為{an}是等差數(shù)列，所以，s10，s20-s10，s30-s20，也成等差數(shù)列，2（s20-s10）=s10+（s30-s20），得s30-s20=1510。

解法3 函數(shù)法

設sn=An2+Bn，由s10=310，s20-s10=910，得s20=1220，所以100A+10B=310400A+20B=1220，解得A=3B=1，所以sn=3n2+n，即s30-s20=1510。

解法4 構造法

構造一個新數(shù)列snn，由于{an}是等差數(shù)列，所以數(shù)列snn也是等差數(shù)列，不妨設其公差為d，則因s10=310，s20=120，所以d=s2020-s101020-10=3，snn=s1010+（n-10）d=3n+1，所以sn=3n2+n，這樣，第21項到第30項的和為s30-s20=1510。

美國數(shù)學家哈爾莫斯認為，問題是數(shù)學的心臟。波利亞強調指出：“掌握數(shù)學就是意味著善于解題”。同學們只要在平時的解題后積極反思，不斷反思總結自己的解題經驗，善于抓住時機，捕捉靈感，有意適當?shù)剡M行一題多解，每當遇到新題時才可能會產生出一個解題的好念頭，這個好念頭會給你指出整個或部分解題途徑，它或多或少地向你建議該怎么做，長期堅持一題多解可以激發(fā)自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的強烈欲望，加深對所學知識的理解，增強學習數(shù)學的興趣和對數(shù)學思想，數(shù)學方法的靈活運用能力，開闊解題視野，進而訓練自己思維的靈活性，深刻性，創(chuàng)造性。正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”。

參考文獻：

[1]羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].陜西師范大學出版社，2016.8.

[2]中學數(shù)學教學參考[J].2017.上旬.9.

[3]數(shù)學教學研究[J].2015.8.

作者簡介：

朱榮，甘肅省臨夏回族自治州，康樂一中。