傅玨,蔣偉,柳一鳴,琚亞平,張楚華

(西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,710049,西安)

受加工誤差、服役環(huán)境等影響,離心葉輪葉頂間隙的幾何尺寸呈現(xiàn)出一定的隨機(jī)可變性,致使葉輪葉片上的載荷分布、邊界層流態(tài)、分離流等與理想狀態(tài)存在差異,導(dǎo)致葉輪實(shí)際運(yùn)行性能偏離理想期望值,甚至急劇下降,對(duì)整機(jī)高效穩(wěn)定和安全可靠運(yùn)行構(gòu)成嚴(yán)重威脅[1]。因此,精確量化葉頂間隙幾何不確定性對(duì)離心葉輪氣動(dòng)性能和內(nèi)部流場(chǎng)的影響具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

在葉頂間隙對(duì)離心葉輪氣動(dòng)性能的影響方面,芬蘭拉普蘭塔理工大學(xué)的Saaresti等對(duì)離心壓縮機(jī)的葉頂間隙展開(kāi)了數(shù)值模擬,結(jié)果表明,葉頂間隙對(duì)離心葉輪氣動(dòng)性能的影響呈線性關(guān)系[2]。趙會(huì)晶等以Krain葉輪為研究對(duì)象,研究了離心葉輪葉頂間隙泄漏渦的結(jié)構(gòu)[3]。張楚華等通過(guò)研究葉頂間隙對(duì)離心葉輪氣動(dòng)性能的影響,發(fā)現(xiàn)隨著葉頂間隙增大,離心葉輪氣動(dòng)效率、壓比及轉(zhuǎn)矩均降低,但變化曲線與線性函數(shù)相距甚遠(yuǎn),呈現(xiàn)出典型的雙平臺(tái)變化關(guān)系[4]。劉正先等分析了典型葉輪相對(duì)葉頂間隙值在0～10%之間的葉輪氣動(dòng)性能、葉片載荷分布、間隙泄漏量的變化規(guī)律[5]。由以上研究可知,葉頂間隙對(duì)離心葉輪氣動(dòng)性能及內(nèi)部流場(chǎng)的影響不容忽視,但這些工作主要集中于確定性流動(dòng)分析,鮮有涉及離心葉輪葉頂間隙幾何不確定性及其對(duì)葉輪氣動(dòng)性能的影響。

在離心葉輪氣動(dòng)性能不確定性分析方面,Javed等針對(duì)渦輪增壓器用離心葉輪,采用蒙特卡洛(MC)取樣方法[6],研究了葉片進(jìn)出口葉頂間隙等一維設(shè)計(jì)參數(shù)幾何不確定性對(duì)葉輪效率和壓比的影響。Panizza等針對(duì)不同形式閉式離心葉輪,先后采用蒙特卡洛法、多項(xiàng)式混沌(PC)法研究了葉輪一維設(shè)計(jì)參數(shù)幾何不確定性對(duì)葉輪乃至整級(jí)效率和做功能力的影響[7-9]。有必要對(duì)離心葉輪氣動(dòng)性能進(jìn)行不確定性分析,研究對(duì)了解離心葉輪氣動(dòng)性能受幾何不確定性因素影響下的統(tǒng)計(jì)變化規(guī)律具有指導(dǎo)意義,但缺乏對(duì)葉輪內(nèi)部不確定性流動(dòng)現(xiàn)象的研究,不利于深入認(rèn)識(shí)幾何不確定性因素對(duì)葉輪氣動(dòng)性能的影響機(jī)制。

因此,本文結(jié)合流體機(jī)械不確定性流動(dòng)分析的學(xué)術(shù)前沿,針對(duì)考慮葉頂間隙幾何不確定性的離心葉輪氣動(dòng)性能和內(nèi)部流動(dòng)展開(kāi)了研究,從葉輪效率和壓比性能曲線、葉輪出口流場(chǎng)、相對(duì)馬赫數(shù)分布等方面進(jìn)行探討,為深入認(rèn)識(shí)實(shí)際運(yùn)行離心葉輪內(nèi)部流場(chǎng)特征、提高葉輪性能對(duì)葉頂間隙幾何不確定性的抗干擾能力、保證離心葉輪高效安全穩(wěn)定運(yùn)行提供了一定的理論參考。

1 非嵌入式多項(xiàng)式混沌法

1.1 方法概述

多項(xiàng)式混沌法作為一種不確定性量化方法,相較于基于蒙特卡洛取樣的不確定性量化方法,能夠在確保高精度的同時(shí)大幅度降低不確定性分析的計(jì)算成本[10]。按照與確定性求解器的耦合方式,PC法可分為嵌入式多項(xiàng)式混沌(IPC)法和非嵌入式多項(xiàng)式混沌(NIPC)法。其中,IPC法需要對(duì)求解器程序代碼進(jìn)行大量修改,存在一定風(fēng)險(xiǎn)和困難;NIPC法與之相反,僅將求解器視為一個(gè)“黑匣子”,在不確定性分析研究中的應(yīng)用更為廣泛。本文采用NIPC方法進(jìn)行離心葉輪氣動(dòng)性能的不確定性分析,其基本原理概述如下。

假設(shè)U(θ)是概率空間(Θ,∑,P)上關(guān)于隨機(jī)事件θ的隨機(jī)過(guò)程,則U(θ)可表示成多項(xiàng)式混沌展式

(1)

式中:n為隨機(jī)空間維數(shù);p為多項(xiàng)式混沌展開(kāi)式階數(shù);ψn(ξi1,ξi2,…,ξin)為關(guān)于隨機(jī)變量ξ=(ξi1,ξi2,…,ξin)的正交多項(xiàng)式,其與概率密度函數(shù)ρ(ξ)相關(guān)。式(1)的簡(jiǎn)化形式為

(2)

利用NIPC方法求解不確定性分析問(wèn)題的核心在于對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)uk的求解。根據(jù)正交多項(xiàng)式的性質(zhì),可得

(3)

根據(jù)數(shù)值積分公式,有

(4)

式中:ξi、ωi分別為正交多項(xiàng)式ψk的零點(diǎn)以及相應(yīng)的權(quán)重;m為積分點(diǎn)個(gè)數(shù)。

最后,計(jì)算U的均值和方差,即

E(U)=〈U(ξ)〉=〈ψ0U(ξ)〉=

(5)

(6)

1.2 方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證NIPC方法在不確定性分析方面的有效性,分別以二維Sum Squares函數(shù)與三維Rosenbrock函數(shù)為例,將不同概率空間下預(yù)測(cè)所得輸出響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征與基于MC方法所得統(tǒng)計(jì)結(jié)果(MC采樣數(shù)為105)進(jìn)行對(duì)比。二維Sum Squares函數(shù)與三維Rosenbrock函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(7)

(8)

假定ξ分別服從指數(shù)分布、高斯分布和均勻分布,對(duì)應(yīng)的變化區(qū)間分別為[0,+∞)、(-∞,+∞)和[-1,+1]。采用NIPC方法生成關(guān)于ξ的4階5點(diǎn)多項(xiàng)式混沌展式。在指數(shù)分布、高斯分布和均勻分布情況下,構(gòu)造多項(xiàng)式混沌展式所需的正交多項(xiàng)式分別為L(zhǎng)aguerre多項(xiàng)式、Hermite多項(xiàng)式和Legendre多項(xiàng)式。表1、表2分別給出了上述測(cè)試函數(shù)預(yù)測(cè)所得輸出響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值與基于MC方法所得統(tǒng)計(jì)結(jié)果的比較,相應(yīng)的概率密度分布如圖1、圖2所示。由對(duì)比結(jié)果可知,預(yù)測(cè)結(jié)果與MC采樣分析的統(tǒng)計(jì)結(jié)果相當(dāng)吻合,說(shuō)明NIPC方法在不確定性分析方面具有較高的精度。

表1 二維Sum Square函數(shù)預(yù)測(cè)值與MC統(tǒng)計(jì)結(jié)果的比較

表2 三維Rosenbrock函數(shù)預(yù)測(cè)值與MC統(tǒng)計(jì)結(jié)果的比較

(a)指數(shù)分布

(b)高斯分布

(c)均勻分布圖1 二維Sum Squares函數(shù)預(yù)測(cè)值與統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)比圖

(a)指數(shù)分布

(b)高斯分布

(c)均勻分布圖2 三維Rosenbrock函數(shù)預(yù)測(cè)值與統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)比圖

2 離心葉輪內(nèi)流場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法

借助NUMECA Fine/Turbo軟件,求解三維定常雷諾時(shí)均N-S方程,獲得離心葉輪氣動(dòng)性能和內(nèi)部流場(chǎng)。采用4階Runge-Kutta法進(jìn)行時(shí)間項(xiàng)離散,采用2階中心格式并添加人工黏性的方法進(jìn)行對(duì)流項(xiàng)離散,湍流模型采用S-A模型,并采用多重網(wǎng)格、當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長(zhǎng)和隱式殘差光順技術(shù)進(jìn)行加速收斂。采用單通道計(jì)算模型,計(jì)算區(qū)域進(jìn)口給定總溫總壓分布曲線和軸向進(jìn)氣,出口給定質(zhì)量流量m,在周期性邊界設(shè)定周期性邊界條件,固壁為無(wú)滑移絕熱邊界條件。

本文研究對(duì)象為具有公開(kāi)幾何和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的Krain離心葉輪[11],其前后緣葉頂間隙分別為0.5、0.3 mm,在Autogrid模塊中生成葉輪單通道計(jì)算網(wǎng)格,如圖3所示。為捕捉葉輪氣動(dòng)性能和內(nèi)部流場(chǎng)受葉頂間隙幾何不確定性影響下的變化情況,在葉頂間隙處沿葉高方向布置17個(gè)節(jié)點(diǎn)。通過(guò)網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證,當(dāng)單通道網(wǎng)格總數(shù)約為630 000時(shí),計(jì)算達(dá)到網(wǎng)格無(wú)關(guān)性要求,數(shù)值計(jì)算方法的精度驗(yàn)證可參考文獻(xiàn)[12]。

圖3 葉輪計(jì)算網(wǎng)格

圖4、圖5分別給出了計(jì)算所得葉輪子午面速度矢量圖和葉輪出口1.05倍葉輪外徑處周向平均速度沿葉高方向的分布圖。由圖4可知,在葉輪出口靠近輪蓋側(cè)存在明顯流動(dòng)分離,這與圖5所示的局部速度波動(dòng)相對(duì)應(yīng),故可采用速度波動(dòng)峰值Vp的大小來(lái)定量反映葉輪出口流動(dòng)的非均勻程度[12]。

圖4 葉輪子午面速度矢量

圖5 葉輪出口附近周向平均速度沿葉高方向分布

3 離心葉輪不確定性流動(dòng)分析

本節(jié)基于NIPC和CFD方法,研究了Krain離心葉輪葉頂間隙幾何不確定性對(duì)葉輪氣動(dòng)性能和內(nèi)部流場(chǎng)的影響。為簡(jiǎn)化分析,選取葉輪葉片進(jìn)出口位置處的葉頂間隙為兩個(gè)獨(dú)立的幾何不確定量,沿流動(dòng)方向的葉頂間隙由進(jìn)出口的葉頂間隙線性插值得到,由于流場(chǎng)計(jì)算為單通道計(jì)算,暫不考慮葉頂間隙沿圓周方向的不均勻性?？紤]到葉輪葉頂間隙的真實(shí)分布規(guī)律難以準(zhǔn)確測(cè)量,故選取自然界中普遍存在的高斯分布對(duì)葉輪葉片進(jìn)出口位置處的葉頂間隙統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行描述;同時(shí),為保證葉頂間隙在合理的范圍內(nèi)波動(dòng),假定葉輪葉片進(jìn)出口葉頂間隙大小均服從標(biāo)準(zhǔn)差為10%均值的高斯分布,即進(jìn)口的葉頂間隙均值為0.5 mm、標(biāo)準(zhǔn)差為0.05 mm,出口的葉頂間隙均值為0.3 mm、標(biāo)準(zhǔn)差為0.03 mm。采用NIPC方法生成關(guān)于葉片進(jìn)出口葉頂間隙的4階5點(diǎn)多項(xiàng)式混沌展式,并針對(duì)7個(gè)流量工況點(diǎn)進(jìn)行不確定性分析,共開(kāi)展175次確定性CFD流場(chǎng)計(jì)算。

3.1 葉輪氣動(dòng)性能統(tǒng)計(jì)特征

(a)多變效率

(b)壓比圖6 葉輪氣動(dòng)性能統(tǒng)計(jì)均值與不確定帶分布

圖6給出了預(yù)測(cè)所得葉輪多變效率和壓比性能曲線的統(tǒng)計(jì)均值和不確定帶,不確定帶表示葉頂間隙在運(yùn)行中的波動(dòng)而導(dǎo)致的葉輪效率和總壓比的變化范圍。由圖6可知,不同流量工況下,葉輪多變效率和總壓比在葉頂間隙幾何不確定性影響下的變化范圍基本相當(dāng)。

3.2 葉輪出口流動(dòng)非均勻性統(tǒng)計(jì)特征

為探究葉頂間隙幾何不確定性對(duì)葉輪出口流動(dòng)均勻性的影響,給出了預(yù)測(cè)所得葉輪出口輪蓋側(cè)周向平均速度局部波動(dòng)峰值Vp在不同流量工況下的統(tǒng)計(jì)特性,如圖7所示。由圖7可知,從近喘振工況到近堵塞工況,葉輪出口Vp均值及不確定帶均隨流量的增大逐漸減小,這說(shuō)明隨著流量的增加葉輪出口靠近輪蓋側(cè)的流動(dòng)分離逐漸減小,分離流對(duì)葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度也逐漸降低。在近喘工況下,葉輪出口靠近輪蓋側(cè)的分離流最為明顯,流動(dòng)非均勻性最差,對(duì)葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度也最大。

圖7 不同工況下葉輪出口Vp均值與不確定帶分布

3.3 相對(duì)馬赫數(shù)分布統(tǒng)計(jì)特征

圖8給出了預(yù)測(cè)所得設(shè)計(jì)工況下不同葉高截面處相對(duì)馬赫數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差分布。由圖8可知,在不同葉高截面,相對(duì)馬赫數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差較大的位置主要集中于流道后部且靠近壓力面的地方,如圖9所示。這主要是因?yàn)樵搮^(qū)域相對(duì)流速較低,逆壓梯度較大,流動(dòng)較為不穩(wěn)定,易受葉頂間隙幾何不確定性的干擾。標(biāo)準(zhǔn)差極大值集中于葉輪葉片出口90%葉高截面區(qū)域附近,說(shuō)明該處流動(dòng)對(duì)葉頂間隙幾何不確定性的敏感度最強(qiáng),結(jié)合圖4可知,該區(qū)域毗鄰葉輪出口輪蓋側(cè)的流動(dòng)分離區(qū),流動(dòng)穩(wěn)定性較弱。此外,由圖8c可知,盡管98%葉高截面更加靠近葉頂間隙區(qū),且葉片出口位于輪蓋側(cè)的流動(dòng)分離區(qū)內(nèi),但該處流場(chǎng)對(duì)葉頂間隙不確定性的敏感程度較90%葉高截面反而有所降低。這主要是因?yàn)?8%葉高較90%葉高的氣動(dòng)載荷有所降低,流道內(nèi)逆壓梯度減小,未存在明顯的低速區(qū)。

(a)50%葉高

(b)90%葉高

(c)98%葉高圖8 設(shè)計(jì)工況下不同葉高相對(duì)馬赫數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差分布

圖9 設(shè)計(jì)工況下不同葉高處葉片載荷分布

考慮到90%葉高截面的流場(chǎng)最為敏感,圖10進(jìn)一步比較了另外兩種典型工況下90%葉高截面的相對(duì)馬赫數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差分布。對(duì)照?qǐng)D8b可知,隨著流量的增大,葉輪出口的標(biāo)準(zhǔn)差逐漸減小,說(shuō)明葉輪出口流動(dòng)對(duì)葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度逐漸降低,這和圖7所示Vp的變化趨勢(shì)相對(duì)應(yīng)。然而,隨著流量的增大,相對(duì)馬赫數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差極大值由葉輪葉片出口逐漸轉(zhuǎn)移至葉輪前緣和靠近吸力面的區(qū)域。由此可知,葉輪進(jìn)口及吸力面附近的流動(dòng)對(duì)葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度隨流量的增大而增大。對(duì)照?qǐng)D9、圖11所示葉片表面載荷分布圖可知,隨著流量的增大,葉輪進(jìn)口及吸力面附近逆壓梯度變大,流動(dòng)不穩(wěn)定,易受葉頂間隙變化的影響。綜上所述,隨著流量的增大,葉輪出口流動(dòng)對(duì)葉頂間隙的敏感性逐漸減小,而葉輪葉片進(jìn)口及吸力面附近的流動(dòng)對(duì)葉頂間隙的敏感性逐漸增大,二者相互抵消,這在一定程度上解釋了圖6所示葉輪效率和壓比的不確定帶變化范圍在不同流量工況下基本不變的原因。

(a)近喘振工況m=3.4 kg/s

(b)近堵塞工況m=4.6 kg/s圖10 近喘振與近堵塞工況下90%葉高處相對(duì)馬赫數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差分布

圖11 近堵塞工況下不同葉高處葉片載荷分布

4 結(jié) 論

(1)非嵌入式多項(xiàng)式混沌法在隨機(jī)變量服從不同概率分布的情況下,均具有良好的擬合精度,且相較于蒙特卡洛取樣方法,計(jì)算效率顯著提升;

(2)對(duì)于Krain離心葉輪,隨著流量的增大,葉輪多變效率和總壓比受葉頂間隙幾何不確定性影響下的不確定帶范圍基本相當(dāng),而葉輪出口流動(dòng)非均勻程度得到明顯改善,且葉輪出口流動(dòng)的非均勻性對(duì)葉頂間隙幾何不確定性的敏感度也逐漸減小;

(3)Krain葉輪90%葉高截面區(qū)域?qū)θ~頂間隙幾何不確定性的敏感度最強(qiáng),且隨著流量的增大,葉輪出口流動(dòng)對(duì)葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度逐漸降低,但葉輪進(jìn)口及吸力面附近流動(dòng)對(duì)葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度反而逐漸增大。