高中數(shù)學(xué)在傳授數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，同樣重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的，通過有效的訓(xùn)練提高學(xué)生實(shí)際生活的能力，把數(shù)學(xué)思維應(yīng)用到實(shí)際生活中去，故本文在了解、理解數(shù)學(xué)思維的同時(shí)，對數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)進(jìn)行了部分探討。

首先，數(shù)學(xué)思維具有變通性，對應(yīng)的知識不一樣，思維思考方向也會不一樣，故需要學(xué)生根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活設(shè)想和解題方案。數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性。學(xué)生有善于觀察的習(xí)慣，心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

例如：求和[11·2+12·3+13·4+]……[+1n+1]，這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且[1n（n+1）=1n-1n+1]，因此，原式等于[1-12+12-13+]……[+1n-1n+1=1-1n+1]問題很快就解決了。

同時(shí)在思考問題時(shí)善于聯(lián)想，聯(lián)想以前見過的、思考過、聽過的等，聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。更深層次的我們要善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。

其次，數(shù)學(xué)為何成為學(xué)生從小必須學(xué)習(xí)的科目？因?yàn)樗鼘⒆訉淼淖鍪履芰Φ奶嵘葘?shí)際問題非常重要，故在學(xué)習(xí)時(shí)要注意數(shù)學(xué)思維的反思性，根據(jù)自身的情況提出獨(dú)特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信，這也是實(shí)際生活的需要。數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。故加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。在實(shí)際操作中，注意檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。在數(shù)學(xué)題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。同時(shí)驗(yàn)算的訓(xùn)練也是反思訓(xùn)練的一種，驗(yàn)算是解題后對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。通過驗(yàn)算，可以檢查解題過程的正確性，增強(qiáng)思維的反思性。養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。同時(shí)在實(shí)際生活中注意對事件的反省觀察，對事件結(jié)果的核實(shí)也是生活必須的。

在遇到實(shí)際的問題時(shí)要學(xué)會獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解，受思維定勢或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

再次，由于數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，考察問題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無誤，故在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)提升前因后果的意識，問題的嚴(yán)密性。

中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：概念模糊，判斷錯(cuò)誤，推理錯(cuò)誤概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。

例如：“函數(shù)[y=（13）-x]是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個(gè)論證都是由推理來實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說明思維不嚴(yán)密。

思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)，概念的訓(xùn)練，推理的訓(xùn)等。概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念。“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提。”數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。

例如：證明勾股定理：已知在[?ABC]中，[∠C=90°]，求證[c2=a2+b2]。

錯(cuò)誤證法：在[Rt?ABC]中，[sinA=ac]，[cosA=bc]而[sin2A][+cos2A=1]，[∴（ac）2+（bc）2=1]，即[c2=a2+b2]。

錯(cuò)誤分析：在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，[sin2A+cos2A=1]這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。

第四，對每個(gè)數(shù)學(xué)問題或生活的實(shí)際問題都具有多面性，解決問題可以從不同的地方著手，故需要關(guān)注數(shù)學(xué)思維的開拓性，對一個(gè)問題從多方面考慮、對一個(gè)對象從多種角度觀察、對一個(gè)題目運(yùn)用多種不同的解法，即一題多解。“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們在學(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：

一題的多種解法：

例如：已知復(fù)數(shù)[z]滿足[z=1]，求[z-i]的最大值。

我們可以考慮用下面幾種方法來解決：①運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；②運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式；③運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義；④運(yùn)用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)（三角不等式）[z1-z2≤z1-z2≤z1+|z2|]；⑤運(yùn)用復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系[z22=z·z]；⑥（數(shù)形結(jié)合）運(yùn)用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓[z1=1]與[z-i=r]有公共點(diǎn)時(shí)，[r]的最大值。

一題的多種解釋：

例如：函數(shù)式[y=12ax2]可以有以下幾種解釋：①可以看成自由落體公式[s=12gt2]；②可以看成動能公式[E=12mv2]；③可以看成熱量公式[Q=12RI2]。

又如“1”這個(gè)數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷?！?”可以變換為：[logaa]，[xx]，[sin2x+cos2x]，[logab·][logba]，[sec2x-tg2x]，等等。

總之?dāng)?shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動。對于數(shù)學(xué)解題思維過程，G.波利亞提出了四個(gè)階段，即弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個(gè)階段思維過程的實(shí)質(zhì)，可以用下列八個(gè)字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。理解問題是解題思維活動的開始。轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。計(jì)劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動的重要組成部分。反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動過程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動過程的開始。而數(shù)學(xué)思維能力正是實(shí)際生活事件的解決問題的理論化，數(shù)學(xué)化，所以我們在教學(xué)時(shí)需結(jié)合實(shí)際來理解數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)思維，從而讓學(xué)生解決實(shí)際問題的能力得到提升。

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作者簡介

何德偉，性別：男；民族：漢；學(xué)歷：本科；中學(xué)教師；工作單位：四川省石室中學(xué)。