牛子孺，辛振波，趙新學(xué)，李 揚(yáng)，李剛炎，涂 鳴，劉向峰

(1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)械與電子工程學(xué)院，山東 泰安 271018； 2.武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070； 3.華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，湖北 武漢 430070； 4.山東華盛農(nóng)業(yè)藥械有限責(zé)任公司，山東 臨沂 276017)

0 引言

汽車轉(zhuǎn)向器決定的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)傳動(dòng)比，是影響汽車轉(zhuǎn)向品質(zhì)的重要因素。一般而言，汽車高速直線行駛時(shí)，為保證行駛穩(wěn)定性，期望轉(zhuǎn)向器傳動(dòng)較?。黄嚨退俅筠D(zhuǎn)彎行駛時(shí)，為了使轉(zhuǎn)向輕便快速，期望轉(zhuǎn)向器傳動(dòng)較大，定傳動(dòng)比轉(zhuǎn)向器顯然無法滿足這一要求。面向汽車轉(zhuǎn)向的更高要求，機(jī)械式變比轉(zhuǎn)向器應(yīng)運(yùn)而生，齒輪齒條變比轉(zhuǎn)向器由一級(jí)交錯(cuò)軸變比齒輪齒條副構(gòu)成，斜齒輪漸開線齒廓與齒條變比齒廓嚙合實(shí)現(xiàn)變比傳動(dòng)，變比齒廓是與之嚙合的漸開線齒廓按照變比曲線約束的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，包絡(luò)后形成的非漸開線曲面。如何優(yōu)化設(shè)計(jì)并保證制造滿足設(shè)計(jì)要求，是變比齒廓設(shè)計(jì)中的理論問題。

復(fù)雜齒廓的建模方法主要包括布爾運(yùn)算法[1-2]和嚙合原理數(shù)字解析法[3-7]。布爾運(yùn)算法基于齒廓范成加工原理，通過三維建模軟件布爾宏程序編譯與運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)齒廓實(shí)體建模，其理論簡(jiǎn)單、過程直觀，但是齒廓?dú)埩舻牟紶柷泻蹏?yán)重影響了模型精度。王犇等[1]結(jié)合建模軟件的仿真功能和曲面擬合技術(shù)建立了弧齒錐齒輪齒廓的實(shí)體模型;李統(tǒng)中等[2]建立了刀具展成加工凹節(jié)曲線斜齒非圓齒輪的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了非圓齒輪齒廓的三維建模。數(shù)字解析法基于嚙合原理，通過分析齒輪副嚙合關(guān)系建立嚙合方程，采用數(shù)值計(jì)算生成離散化的齒廓點(diǎn)云，通過曲面擬合得到齒廓實(shí)體模型，其建模精度較高。魏偉鋒等[3]研究了直線共軛內(nèi)嚙合泵內(nèi)外齒輪齒廓的設(shè)計(jì)問題，建立了共軛齒廓法線反轉(zhuǎn)法求解理論，研究了采用嚙合線求嚙合角、滑動(dòng)率、壓力角的方法;TSAI等[4]推導(dǎo)了具有點(diǎn)接觸特性的弧齒錐齒輪的嚙合方程，通過設(shè)計(jì)齒面接觸路徑構(gòu)建齒廓;CHEN等[5]以空間嚙合理論為基礎(chǔ)，研究了微小彈性嚙合輪的空間曲線嚙合理論，推導(dǎo)了嚙合曲線方程;Zhang等[6]介紹了齒面法線方向角的概念，建立了描述非圓斜齒輪齒廓幾何特性的通用數(shù)學(xué)模型;劉志等[7]運(yùn)用空間包絡(luò)原理和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等解析方法構(gòu)建了表征平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿和蝸輪的齒廓的數(shù)字模型，計(jì)算出了環(huán)面蝸桿副齒廓的全部嚙合點(diǎn)。

在變比齒廓建模方面，布爾運(yùn)算法[8-10]的代表性研究有：Hu等[8]將變比曲線表征的漸開線齒輪轉(zhuǎn)角和變比齒條位移關(guān)系數(shù)字化，在CATIA中建立了變比齒廓實(shí)體模型;胡大偉等[9]在三維建模軟件中，基于變比運(yùn)動(dòng)規(guī)律建立布爾減運(yùn)算宏程序，模擬變比齒廓范成加工過程生成變比齒廓三維模型;張斯宇等[10]提出一種基于布爾減運(yùn)算和曲線擬合的變比齒廓建模方法，在一定程度上彌補(bǔ)了布爾減運(yùn)算建模不精確的弊端。變比齒廓嚙合原理數(shù)字解析法[11-16]建模的代表性研究有：唐進(jìn)元等[11]采用嚙合原理，對(duì)齒輪共軛曲面幾何和接觸性質(zhì)進(jìn)行了深入研究;賀敬良等[12]研究了循環(huán)球變比轉(zhuǎn)向器變比原理，推導(dǎo)了變比齒輪副嚙合方程，生成了變比齒廓模型;Hu等[13]采用嚙合原理，建立了變厚變比齒輪齒條副中的變比齒條齒廓數(shù)字點(diǎn)云模型;顏甜莉等[14]采用一種數(shù)值方法計(jì)算變比齒廓點(diǎn)高度值，得到了變比齒廓點(diǎn)云模型，通過對(duì)比理論變比曲線與樣件測(cè)試變比曲線，驗(yàn)證了該方法的有效性;牛子孺等[15-16]基于數(shù)字設(shè)計(jì)思想，建立了平行軸及交錯(cuò)軸變比齒條齒廓點(diǎn)求解數(shù)學(xué)模型，生成了變比齒廓點(diǎn)云模型，并通過樣件試制與測(cè)試驗(yàn)證了方法的正確性。

上述研究發(fā)現(xiàn)，采用布爾運(yùn)算法建立變比齒廓實(shí)體模型具有以下不足：由于建模軟件的限制，建模時(shí)的計(jì)算步長(zhǎng)不能無限取小(當(dāng)步長(zhǎng)趨近于零時(shí)，得到精確的變比齒廓)，使得建立的變比齒廓實(shí)體模型有明顯切割痕跡，為非連續(xù)曲面，建模精度很差，目前已不是學(xué)術(shù)界研究的重點(diǎn)；采用嚙合原理數(shù)字解析法求解變比齒廓也存在種種弊端：當(dāng)變比齒輪副重合度大于1時(shí)，所建立的嚙合方程解不唯一；變比齒廓邊界條件復(fù)雜，無法獲得變比齒廓齒頂、齒根邊界點(diǎn)的精確值；所建立的變比齒廓點(diǎn)沿嚙合線分布，不能直接應(yīng)用于數(shù)控加工，需要曲面擬合后二次生成加工用點(diǎn)云，這勢(shì)必導(dǎo)致制造誤差的累積；無法避免地要計(jì)算變比齒輪齒根和齒頂?shù)姆亲儽三X廓點(diǎn)云，計(jì)算繁復(fù)，建模效率低下。

本文提出的全新變比齒廓數(shù)字設(shè)計(jì)方法，克服了上述嚙合原理數(shù)字解析法研究中存在的各種弊端，所提求解算法能夠高效、精確地計(jì)算變比齒廓點(diǎn)，生成的變比齒廓點(diǎn)云可直接應(yīng)用于數(shù)控加工，從而實(shí)現(xiàn)變比齒廓的高精度制造。

1 齒條變比齒廓求解的概念模型

為實(shí)現(xiàn)齒條變比齒廓的求解，將變比齒輪齒條副中的漸開線斜齒輪看作無數(shù)個(gè)垂直于其軸線的、無限接近平面截切其實(shí)體后得到的截交線集合。變比齒輪齒條副傳動(dòng)可以看作齒條變比齒廓與截交線集漸開線齒廓的嚙合，參與嚙合的截交線漸開線齒廓與變比齒廓為點(diǎn)接觸，所有嚙合點(diǎn)的集合構(gòu)成變比齒廓。齒條變比齒廓求解概念模型如圖1所示，定義過變比齒廓上的任意一點(diǎn)為M，且平行于齒條長(zhǎng)度方向的直線為“計(jì)算直線”，與變比齒條固連。變比傳動(dòng)過程中，計(jì)算直線與對(duì)應(yīng)的各個(gè)截交線漸開線齒廓相交，所有交點(diǎn)中，齒條長(zhǎng)度方向取得極值點(diǎn)，為此計(jì)算直線對(duì)應(yīng)的變比齒廓點(diǎn)。

2 齒條變比齒廓的數(shù)字建模

2.1 變比齒輪齒條副坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換

首先建立轉(zhuǎn)向器變比齒輪齒條副坐標(biāo)系統(tǒng)。根據(jù)裝配關(guān)系，建立的坐標(biāo)系統(tǒng)(如圖2)包括4個(gè)笛卡爾直角坐標(biāo)系，s1(o1-x′y′z′)為變比齒條固聯(lián)坐標(biāo)系，s2(o2-xyz)為變比齒條參考坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸初始時(shí)刻分別重合，s3(o3-ε′ηz″)為斜齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系，s4(o4-εηz)為斜齒輪參考坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸初始時(shí)刻分別重合。初始時(shí)刻，上述4個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于斜齒輪齒寬方向中間截面的幾何對(duì)稱中心，即原點(diǎn)o1，o2，o3，o4重合于圖2所示的點(diǎn)o，初始時(shí)刻斜齒輪齒寬方向中間截面的截交線某一齒在變比齒條齒頂面以下，且關(guān)于z軸對(duì)稱，坐標(biāo)軸η沿斜齒輪軸線方向，坐標(biāo)軸y沿變比齒條齒寬方向，二者間的夾角為變比齒輪齒條副的交錯(cuò)角ζ，初始時(shí)刻變比齒輪齒條副對(duì)應(yīng)變比曲線對(duì)稱中心的傳動(dòng)比。

根據(jù)齒條變比齒廓求解概念模型的描述，需計(jì)算生成變比齒條固聯(lián)坐標(biāo)系中的變比齒廓點(diǎn)，因此需要將在斜齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系下得到的計(jì)算直線與截交線漸開線齒廓的交點(diǎn)值，轉(zhuǎn)換到變比齒條固聯(lián)坐標(biāo)系。由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換理論，定義變比齒條固聯(lián)坐標(biāo)系的矢向量為r1，斜齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系的矢向量為r3，則兩個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

r1=Mo1o3r3，

(1)

即

(2)

由于

Mo1o3=Mo1o2Mo2o4Mo4o3，

(3)

其中：

(4)

(5)

(6)

可得

(7)

由此可得，斜齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系和變比齒條固聯(lián)坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

(8)

式中：φc為斜齒輪轉(zhuǎn)角；s為變比齒條位移。

2.2 漸開線曲線族方程

基于齒條變比齒廓求解概念模型的描述，為了得到計(jì)算直線與截交線(定義為參考截交線)各個(gè)齒左右漸開線齒廓的交點(diǎn)，結(jié)合初始時(shí)刻的定義，需要在斜齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系中建立各個(gè)截交線各個(gè)齒左右齒廓漸開線的曲線族方程。齒廓漸開線曲線族指截交線漸開線齒廓隨其繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)在空間形成的曲線束。

首先建立ε′oz″平面內(nèi)的截交線(定義為參考截交線)各個(gè)齒左右漸開線曲線族方程，其他截面內(nèi)的截交線相對(duì)于ε′oz″平面內(nèi)的參考截交線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，該角度由斜齒輪螺旋角和定義的截交線集決定。如圖3a所示，定義σ0為初始時(shí)刻參考截交線在變比齒條齒頂面以下且關(guān)于z″軸對(duì)稱齒(定義為參考齒)的右側(cè)漸開線起點(diǎn)與基圓圓心連線和z″軸夾角。初始時(shí)刻，任意截交線在參考齒所屬的斜齒輪輪齒上的漸開線右齒廓初始角

σi=σ0+μ′ηtanβ/R，

(9)

則截交線集中任意截交線各個(gè)齒右側(cè)漸開線曲線族方程為：

i,κ=0,1,2,…,n。

(10)

如圖3b所示，截交線集中任意截交線各個(gè)齒左側(cè)漸開線曲線族方程為：

?c);

i,κ=0,1,2,…,n。

(11)

2.3 計(jì)算直線與漸開線交點(diǎn)方程

x′=ε′cosζcosφc+ηsinζ+z″cosζsinφc+s;

m,q=0,1,2,…,n。

(12)

計(jì)算直線與截交線各個(gè)齒右側(cè)漸開線的交點(diǎn)應(yīng)滿足方程(10)，計(jì)算直線與截交線各個(gè)齒右側(cè)漸開線的交點(diǎn)計(jì)算方程為：

x′=ε′cosζcosφc+ηsinζ+z″cosζsinφc+s;

φc=f-1(s);

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(13)

計(jì)算直線與截交線各個(gè)齒左側(cè)漸開線的交點(diǎn)應(yīng)滿足式(11)，直線與截交線各個(gè)齒左側(cè)漸開線的交點(diǎn)計(jì)算如下：

x′=ε′cosζcos?c+ηsinζ+z″cosζsin?c+s;

yq′=-ε′sinζcos?c+ηcosζ-z″sinζsin?c;

zm′=-ε′sin?c+z″cos?c;

?c=f-1(s);

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(14)

式中φc=f-1(s)為變比曲線表征的變比齒條位移與斜齒輪轉(zhuǎn)角關(guān)系方程。計(jì)算變比齒廓點(diǎn)時(shí)，截交線齒頂圓與基圓之間的漸開線為有效漸開線，其上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一組壓力角和展角，定義截交線漸開線齒廓某點(diǎn)處的壓力角和展角之和為“判斷角”，判斷角與交點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算時(shí)通過判斷角的值，判斷交點(diǎn)是否在截交線的有效漸開線上，即滿足

(15)

2.4 變比齒廓求解數(shù)學(xué)模型

根據(jù)變比齒輪齒條副坐標(biāo)系統(tǒng)，可以確定計(jì)算直線與截交線各個(gè)齒右側(cè)漸開線齒廓相交時(shí)，變比齒廓點(diǎn)的長(zhǎng)度值為最大值；計(jì)算直線與截交線各個(gè)齒左側(cè)漸開線齒廓相交時(shí)，變比齒廓點(diǎn)的長(zhǎng)度值為最小值，結(jié)合約束最優(yōu)的數(shù)學(xué)思想，建立變比齒廓點(diǎn)求解數(shù)學(xué)模型。與截交線集各個(gè)截交線各個(gè)齒右側(cè)漸開線齒廓嚙合的變比齒廓點(diǎn)長(zhǎng)度值的計(jì)算數(shù)學(xué)模型為：

min-x′=-ε′cosζcos?c-ηsinζ-z″cosζsin?c-s。

?c)=ε′;

-ε′sinζcos?c+ηcosζ-z″sinζsin?c=yq′;

-ε′sin?c+z″cos?c=zm′;

μb′≤μ≤μa;

?c=f-1(s);

ηmin≤η≤ηmax;

?cmin≤?c≤?cmax;

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(16)

與截交線集各個(gè)截交線各個(gè)齒左側(cè)漸開線齒廓嚙合的變比齒廓點(diǎn)長(zhǎng)度值的計(jì)算數(shù)學(xué)模型為：

minx′=ε′cosζcos?c+ηsinζ+z″cosζsin?c+s。

?c)=ε′;

-ε′sinζcos?c+ηcosζ-z″sinζsin?c=yq′;

-ε′sin?c+z″cos?c=zm′;

μb′≤μ≤μa;

?c=f-1(s);

ηmin≤η≤ηmax;

?cmi≤?c≤?cmax;

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(17)

式中：[?cmin,?cmax]為變比齒廓點(diǎn)長(zhǎng)度值對(duì)應(yīng)的斜齒輪轉(zhuǎn)角范圍；[ηmin,ηmax]為變比齒廓點(diǎn)的長(zhǎng)度值對(duì)應(yīng)的截交線子集范圍。采用上述模型計(jì)算得到變比齒廓點(diǎn)的長(zhǎng)度值，并得到模型的返回值y′和z′，進(jìn)而得到變比齒廓點(diǎn)在變比齒條固聯(lián)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值(x′,y′,z′)。

3 齒條變比齒廓數(shù)字求解

3.1 變比曲線與運(yùn)動(dòng)方程

齒輪齒條變比轉(zhuǎn)向器變比齒輪齒條副的傳動(dòng)比是斜齒輪轉(zhuǎn)角的函數(shù)。目前，采用較多的變比曲線如圖4所示，變比曲線通式為

(18)

(1)當(dāng)φc∈[-φc1,φc1]時(shí),

(19)

(2)當(dāng)φc∈[φc1,φc2]時(shí),

(20)

(3)當(dāng)φc∈[-φc2,-φc1]時(shí)，

(21)

(4)當(dāng)φc∈[φc2,φcmax]時(shí)，

(22)

(5)當(dāng)φc∈[-φcmax,-φc2]時(shí)，

(23)

(6)特殊轉(zhuǎn)角、和處的變比齒條位移為：

s1=i1φc1;

(24)

(25)

(26)

3.2 變比齒廓點(diǎn)云域

3.2.1 變比齒廓點(diǎn)云二維域

首先確定變比齒廓設(shè)計(jì)的二維域，這里定義的二維域與傳統(tǒng)意義上的齒輪副嚙合區(qū)間不同，當(dāng)變比齒輪齒條副按照變比曲線約束的運(yùn)動(dòng)變比傳動(dòng)時(shí)，計(jì)算直線只與二維域內(nèi)的截交線漸開線齒廓產(chǎn)生交點(diǎn)。如圖2所示，在變比齒輪齒條副的坐標(biāo)系中，變比齒條參考坐標(biāo)系s2(o2-xyz)的任意y截面內(nèi)，變比齒條齒頂面z=-Rx與截交線集齒頂圓柱兩個(gè)交點(diǎn)的x坐標(biāo)分別為：

(27)

式中Ra為斜齒輪齒頂圓半徑。定義區(qū)間[x1,x2]為變比齒廓設(shè)計(jì)的二維域。如圖2所示，計(jì)算直線上的點(diǎn)M處，變比齒條齒坯頂面以下與該點(diǎn)具有相同坐標(biāo)的點(diǎn)，只有可能被線段ab與cd之間的截交線集的漸開線齒廓包絡(luò)去除，定義線段ab與cd之間的截交線集為點(diǎn)M所在計(jì)算直線的遍歷截交線子集;并且點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的y截面內(nèi)的任意一條計(jì)算直線上的點(diǎn)也只可能被ab與cd之間的截交線子集的漸開線齒廓包絡(luò)去除，定義線段ab與cd之間的截交線集為截面內(nèi)的任意一條計(jì)算直線的遍歷截交線子集。二維域在斜齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系s3(o3-ε′ηz″)內(nèi)表示為[η1,η2],

(28)

3.2.2 變比齒廓點(diǎn)云三維域

(29)

式中B為斜齒輪齒寬。由于變比齒條位移范圍和斜齒輪轉(zhuǎn)角范圍的限制，求解變比齒廓時(shí)，只有在某一個(gè)長(zhǎng)度范圍內(nèi)求得的變比齒廓點(diǎn)才有實(shí)際意義，變比齒廓求解的包絡(luò)長(zhǎng)度區(qū)間由變比曲線限定的截交線集的最大轉(zhuǎn)角φcmax決定。變比齒輪齒條副中的變比齒條和截交線集的相對(duì)位置如圖5所示，圖5a為變比齒廓求解的初始時(shí)刻；當(dāng)截交線集轉(zhuǎn)動(dòng)到最大角度φcmax時(shí)，變比齒條對(duì)應(yīng)的最大位移為smax，如圖5b所示。

根據(jù)變比曲線，在斜齒輪傳動(dòng)行程內(nèi)，變比齒條的最大位移為

(30)

由變比齒廓求解的二維域可得

(31)

由于存在變比齒輪齒條副交錯(cuò)角，為了保證變比齒廓點(diǎn)計(jì)算的正確性，還要附加一個(gè)長(zhǎng)度s″，

(32)

包絡(luò)長(zhǎng)度區(qū)間為[s1,s2]，

(33)

包絡(luò)高度區(qū)間由斜齒輪的齒頂圓Ra、變比齒條齒根與斜齒輪齒頂之間的頂隙C′，以及以斜齒輪軸線為軸線且與變比齒條齒頂面相切的圓柱的半徑Rx確定(如圖2)，包絡(luò)高度區(qū)間為[h1,h2]

(34)

3.3 變比齒廓求解算法

變比齒廓求解算法流程如圖6所示，具體步驟如下：

步驟2根據(jù)變比齒輪齒條副設(shè)計(jì)參數(shù)，確定變比齒廓求解的二維域和三維域。

4 齒條變比齒廓數(shù)字建模方法驗(yàn)證

4.1 變比齒廓建模實(shí)例

為驗(yàn)證前述變比齒廓建模方法，下面給出一個(gè)工程實(shí)例，某型齒輪齒條變比轉(zhuǎn)向器變比齒輪齒條副中的斜齒輪參數(shù)如表1所示，轉(zhuǎn)向器的變比曲線為

-324°≤|φc|≤324°。

(35)

表1 斜齒輪參數(shù)

續(xù)表1

4.2 變比齒廓數(shù)控加工實(shí)例

齒輪齒條變比轉(zhuǎn)向器齒條變比齒廓采用數(shù)控端銑加工，粗加工采用CAM系統(tǒng)實(shí)施加工仿真，完成無干涉檢查后輸出數(shù)控G代碼，代碼為后綴為.NC的文件，根據(jù)實(shí)際零件的幾何特征對(duì)代碼進(jìn)行修正后，輸入數(shù)控機(jī)床，完成變比齒廓數(shù)控粗加工。粗加工仿真如圖9所示。

表2 齒條變比齒廓加工參數(shù)

4.3 變比齒廓傳動(dòng)比和傳動(dòng)穩(wěn)定性測(cè)試

齒輪齒條變比轉(zhuǎn)向器最重要的傳動(dòng)特征是“變速傳動(dòng)”，機(jī)構(gòu)變速傳動(dòng)性能的重要衡量指標(biāo)是其“傳動(dòng)穩(wěn)定性”。因此，設(shè)計(jì)的變比齒廓是否滿足變比曲線，其傳動(dòng)穩(wěn)定性如何，可以有效反映設(shè)計(jì)的正確性。變比齒廓傳動(dòng)穩(wěn)定性的表征參數(shù)包括傳動(dòng)誤差、傳動(dòng)速度和傳動(dòng)加速度，本文通過對(duì)傳動(dòng)比、傳動(dòng)穩(wěn)定性測(cè)試與測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析，驗(yàn)證變比齒廓設(shè)計(jì)方法。

根據(jù)國標(biāo)QC/T29097-2010，變比曲線和傳動(dòng)穩(wěn)定性測(cè)試方法為：固定齒輪齒條變比轉(zhuǎn)向器樣件，輸入軸聯(lián)接驅(qū)動(dòng)裝置，輸出端的變比齒條聯(lián)接光柵尺和速度傳感器，并通過加載裝置施加定載荷。轉(zhuǎn)動(dòng)輸入軸，使變比齒條從一端極限位置移動(dòng)到另一端極限位置，測(cè)量變比齒條的位移瞬時(shí)值和速度瞬時(shí)值，采用求導(dǎo)函數(shù)對(duì)速度求導(dǎo)得到變比齒條加速度值，測(cè)試工況為：轉(zhuǎn)向器輸入端轉(zhuǎn)速10 r/min，輸出端載荷為2 000 N。

齒輪齒條變比轉(zhuǎn)向器的傳動(dòng)比為齒條位移增量Δs與齒輪轉(zhuǎn)角增量Δφc之比，為線角傳動(dòng)比(單位：mm/(°)):

(36)

根據(jù)式(36)，采用上述測(cè)試工況時(shí)，齒輪齒條變比轉(zhuǎn)向器輸入端轉(zhuǎn)速dφ/dt為常數(shù)，齒條變比齒廓傳動(dòng)比與輸出端齒條位移成正比，因此傳動(dòng)誤差可以表征傳動(dòng)比。變比曲線和傳動(dòng)穩(wěn)定性測(cè)試如圖11所示。

齒條變比齒廓傳動(dòng)誤差測(cè)試結(jié)果如圖12所示，測(cè)試表明：測(cè)試工況下，最大瞬時(shí)傳動(dòng)誤差為0.131 mm，誤差百分比最大值為9.53%，齒輪齒條變比轉(zhuǎn)向器樣件一個(gè)轉(zhuǎn)向行程內(nèi)，總傳動(dòng)誤差為0.229 mm，平均傳動(dòng)誤差為0.031 mm。齒條變比齒廓傳動(dòng)速度測(cè)試結(jié)果如圖13所示，傳動(dòng)加速度測(cè)試結(jié)果如圖14所示，測(cè)試表明：測(cè)試工況下，速度波動(dòng)幅值為4.14 mm/s，速度誤差百分比最大值為8.03%，速度波動(dòng)平均值為1.20 mm/s；加速度波動(dòng)幅值為126.052 mm/s2，加速度波動(dòng)平均值為65.524 mm/s2。樣件測(cè)試結(jié)果滿足國標(biāo)QC/T29097-2010。

5 結(jié)束語

本文提出一種變比轉(zhuǎn)向器齒條變比齒廓數(shù)字求解方法，在變比齒廓點(diǎn)求解概念模型的基礎(chǔ)上，完成了變比齒廓點(diǎn)計(jì)算的理論推導(dǎo)，建立了變比齒廓點(diǎn)計(jì)算的數(shù)學(xué)模型；提出變比齒廓點(diǎn)計(jì)算數(shù)學(xué)模型的求解算法，并實(shí)現(xiàn)了面向數(shù)控端銑精加工刀具路徑規(guī)劃的變比齒廓點(diǎn)云的直接生成，實(shí)現(xiàn)了變比齒廓的數(shù)控加工；提出變比齒廓設(shè)計(jì)驗(yàn)證方法，將傳動(dòng)穩(wěn)定性參數(shù)作為驗(yàn)證目標(biāo)，通過測(cè)試分析，驗(yàn)證了本文變比齒廓設(shè)計(jì)理論及方法的正確性。

本文研究成果克服了現(xiàn)有轉(zhuǎn)向器齒條變比齒廓設(shè)計(jì)理論的種種弊端，形成了面向數(shù)控加工的非漸開線變比齒廓數(shù)字建模理論及方法，提升了制造精度和效率，成果將推進(jìn)變比齒廓數(shù)控加工的進(jìn)程，并對(duì)采用變比齒廓的變比轉(zhuǎn)向器及其他機(jī)械裝置的推廣應(yīng)用產(chǎn)生了積極的推動(dòng)作用。本文在變比齒廓設(shè)計(jì)過程中，考慮了變比齒輪副傳動(dòng)的幾何特征，但并未涉及例如強(qiáng)度、溫度等物理因素對(duì)變比齒廓設(shè)計(jì)的綜合影響。因此，建立衡量物理因素的變比齒廓設(shè)計(jì)關(guān)聯(lián)模型，將是變比齒廓設(shè)計(jì)進(jìn)一步研究的重點(diǎn)；研究變比齒廓寬行數(shù)控加工技術(shù)，將是進(jìn)一步提升變比齒廓加工效率的有效手段。