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大量粒子運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

2018-11-08 02:34:54陶漢斌
數(shù)理化解題研究 2018年28期
關(guān)鍵詞:正方形磁場(chǎng)粒子

陶漢斌

(浙江金華第一中學(xué) 321015)

浙江省的選考物理試題中常出現(xiàn)“大量粒子”的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,由于這類問(wèn)題涉及的研究對(duì)象是大量的粒子,而我們不可能對(duì)大量粒子中的每一個(gè)粒子都進(jìn)行分析,那么我們應(yīng)該如何選取恰當(dāng)?shù)牧W幼鰹檠芯繉?duì)象呢?從粒子源射出的大量粒子有自己的個(gè)性與共性問(wèn)題,比如大量粒子的速率相同而方向不同,比如大量粒子的速度方向相同而速率大小不同.同學(xué)們要根據(jù)運(yùn)動(dòng)的臨界條件,恰當(dāng)?shù)剡x取“臨界”粒子,利用“臨界”粒子進(jìn)行分析使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了、形象生動(dòng).

例1如圖1所示,x軸上方存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),坐標(biāo)原點(diǎn)處有一正離子源,單位時(shí)間在xOy平面內(nèi)發(fā)射n0個(gè)速率均為v的離子,分布在y軸兩側(cè)各為θ的范圍內(nèi).在x軸上放置長(zhǎng)度為L(zhǎng)的離子收集板,其右端點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2L,當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0時(shí),沿y軸正方向入射的離子,恰好打在收集板的右端點(diǎn).整個(gè)裝置處于真空中,不計(jì)重力,不考慮離子間的碰撞,忽略離子間相互作用.

(2)如果發(fā)射的離子被收集板全部收集,求θ的最大值;

(3)假設(shè)離子到達(dá)x軸時(shí)沿x軸均勻分布.當(dāng)θ=37°,磁感應(yīng)強(qiáng)度在B0≤B≤3B0的區(qū)間取不同值時(shí),求單位時(shí)間內(nèi)收集板收集到的離子數(shù)n與磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間的關(guān)系.(不計(jì)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間)

解析正離子源射出的離子速率是相同的,因此它們?cè)诖艌?chǎng)中都做相同半徑的勻速圓周運(yùn)動(dòng),只是轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角不同,也就是經(jīng)歷的圓弧長(zhǎng)度不同.那么分布在y軸兩側(cè)各為θ的范圍內(nèi)大量粒子,哪個(gè)是臨界粒子呢?我們知道圓周中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是直徑,因此沿y軸正方向射入的粒子是打到收集板上最遠(yuǎn)的臨界粒子,而沿y軸兩側(cè)以θ角射入的兩個(gè)離子也是臨界粒子,因?yàn)檫@兩個(gè)離子的弦長(zhǎng)是最短的,是打到收集板上最近的臨界粒子,其中一個(gè)是優(yōu)弧,另一個(gè)是劣弧.具體解答如下:

(1)對(duì)帶電粒子的圓周運(yùn)動(dòng)

而沿y軸正方向入射粒子軌跡為半圓R=L

(2)選取與y軸正方向夾角相同的向左和向右2個(gè)粒子為臨界粒子.當(dāng)粒子恰好達(dá)到收集板最左端時(shí),θ達(dá)到最大,粒子軌跡如圖2所示

由圖中幾何關(guān)系得2Rcosθm=L=R

因此可得θmax=600

(3)以沿y軸正方向入射的粒子為臨界粒子,打在x軸上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離為2R.

沿與y軸正方向馬θ=37°入射的臨界粒子,打在x軸上距離原點(diǎn)最近距離為2Rcosθ=1.6R

也就是說(shuō)粒子打在x軸上的區(qū)間為1.6R~2R,而在x軸上吸收板的區(qū)間為L(zhǎng)~2L,如圖3所示.若全部收集到離子時(shí)的最小半徑為R1,則有

當(dāng)B0≤B≤1.6B0時(shí)收集板上收集到的離子數(shù)n1=n0

若恰好收集不到離子時(shí)的半徑為R2,則有2R2=L

當(dāng)2B0

例2 如圖4所示,在B=0.1 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中畫(huà)出 邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=8 cm的正方形EFGH,內(nèi)有一點(diǎn)p,它與EF和FG的距離均為1 cm,在P點(diǎn)有一個(gè)發(fā)射正離子的裝置,能夠連續(xù)不斷地向紙面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射出速率不同的正離子,離子的質(zhì)量為1.0×10-14kg,電荷量為1.0×10-5C,離子的重力不計(jì),不考慮離子之間的相互作用.(計(jì)算結(jié)果可保留根號(hào))

(1)速率在什么范圍內(nèi)的離子不可能射出正方形區(qū)域?

(2)速率為1×106m/s的離子在紙面上向各個(gè)方向均勻發(fā)射,求不會(huì)射出正方形區(qū)域的離子與能射出正方形區(qū)域的離子的個(gè)數(shù)之比.

(3)速率大于多少的離子將全部射出正方形區(qū)域?

解析這些大量粒子的速率不同,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑也不同,但這些粒子是從同一個(gè)點(diǎn)P出發(fā)的.在粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,弦長(zhǎng)最長(zhǎng)的是直徑.具體解法如下:

(1)P到正方形邊界最近的距離為1 cm,選取直徑為1 cm向左或向上的粒子為臨界粒子,臨界條件是粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡剛好與邊界相切.

解得v=5×105m/s

因此只要v<5×105m/s離子不可能射出正方形區(qū)域.

(2)速率為v1=1×106m/s的離子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r1=1.0 cm

選取向下和向右運(yùn)動(dòng)的粒子為臨界粒子,此粒子的臨界條件是運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與邊界相切,如圖5所示.兩個(gè)臨界粒子速度間角度為900,在360°的整個(gè)空間平面內(nèi),粒子速度從水平向右順時(shí)針轉(zhuǎn)到豎直向下的90°范圍內(nèi)的粒子將不會(huì)射出磁場(chǎng)區(qū)域,而再?gòu)呢Q直向下順時(shí)針轉(zhuǎn)270°范圍內(nèi)的粒子將射出磁場(chǎng)區(qū)域,因此,不會(huì)射出正方形區(qū)域的離子與能射出正方形區(qū)域的離子的個(gè)數(shù)之比為1比3.

上文中的兩個(gè)案例對(duì)大量粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了分析闡述,求解大量粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí),根據(jù)臨界條件恰當(dāng)?shù)剡x取臨界粒子,搞清楚什么物理事件,物理事件的臨界條件是什么.

一旦找到了滿足臨界條件的臨界粒子,就可以利用“臨界”粒子進(jìn)行分析使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了、形象生動(dòng).

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