付云博 顧家聞 李家偉 徐鑫

摘要：為了克服壓電疊堆的遲滯特性，實(shí)現(xiàn)壓電疊堆的精確控制，建立了壓電疊堆控制系統(tǒng)。對(duì)該系統(tǒng)所用到的粒子群、分?jǐn)?shù)階微積分等算法進(jìn)行了研究。首先，搭建了采集壓電疊堆位移的硬件系統(tǒng)，并對(duì)含有噪聲的位移數(shù)據(jù)進(jìn)行了濾波處理。然后，利用分?jǐn)?shù)階微積分描述了壓電疊堆輸出力與驅(qū)動(dòng)電壓之間的關(guān)系，以此構(gòu)建了壓電疊堆的分?jǐn)?shù)階模型。最后，利用粒子群算法整定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器控制參數(shù)對(duì)壓電疊堆輸出位移進(jìn)行控制。粒子群分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制下系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定，很好地跟隨了給定，最大誤差為實(shí)際輸出的1.74%要優(yōu)于粒子群整數(shù)階PID的2.95%。較整數(shù)階模型而言，分?jǐn)?shù)階模型能夠更加準(zhǔn)確描述壓電疊堆的遲滯特性，提高了建模精度，而結(jié)合了粒子群算法的分?jǐn)?shù)階PIλDμ較粒子群整數(shù)階PID也進(jìn)一步提高了控制精度。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階模型；分?jǐn)?shù)階PIλDμ；壓電疊堆；粒子群優(yōu)化算法

中圖分類號(hào)：TP275 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）21-0263-03

Abstract： In order to overcome the hysteresis characteristics of piezoelectric stack and control piezoelectric stack more accurately， a control system is established and corresponding algorithms such as particle swarm optimization，fractional order differential and integral calculus is investigated. First， a hardware platform was set up to collect displacement of piezoelectric stack and wavelet algorithm was used to removal noise. Then fractional order equation was used to correct linearity of output force and drive voltage of piezoelectric stack， combined with elastic damping model between output force and output displacement of piezoelectric stack， a fractional order model of piezoelectric stack was obtained. Finally， particle swarm optimization was used to set the parameters of fractional order PIλDμ to control displacement of piezoelectric stack. Under the controlling of particle swarm optimization fractional order PIλDμ， output displacement of piezoelectric stack had a good follow with input. Maximum error of control result of PSO-FOPID is 1.74% of the actual output， which is better than control result of particle swarm optimization integral order PID：2.95%. Fractional order model can describe hysteresis characteristics of piezoelectric stack more accurately than integral order model， which improved modeling precision. And particle swarm optimization fractional order PIλDμ can provide higher control accuracy than particle swarm optimization integral order PID to piezoelectric stack.

Key words： Fractional order model； Fractional order PIλDμ； Piezoelectric stack； Particle swarm optimization

精密定位技術(shù)當(dāng)前需求越來越廣，也越來越高，比如生物細(xì)胞手術(shù)、高密度集成電路檢測(cè)、人體藥物注射泵、光導(dǎo)光纖制造、超精密加工制造等的分辨率需求都是微米級(jí)或納米級(jí)的。壓電疊堆作為一種高性能的壓電陶瓷微位移執(zhí)行器，其工作原理就是利用了壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)，將電能轉(zhuǎn)換成機(jī)械能，它響應(yīng)時(shí)間短、輸出應(yīng)頻率高、剛度高、位移精度高，可以實(shí)現(xiàn)很多高頻、高精度的定位需求 [1]。盡管壓電疊堆具有上述優(yōu)點(diǎn)，但是通過一定疊合工藝制作合成的壓電材料具有的遲滯、蠕變等非線性特征，這不利于精密定位 [2]。

鑒于壓電疊堆的優(yōu)良性能，國(guó)內(nèi)外很多機(jī)構(gòu)和個(gè)人對(duì)壓電疊堆展開了研究。Miri， N. [3]等人利用Kelvin-Voigt， Maxwell-Slip， Duhem， Preisach等模型為壓電執(zhí)行器建模，并對(duì)比它們的計(jì)算量和建模精度；Quoc-Hung Nguyen[4]利用壓電疊堆驅(qū)動(dòng)噴射點(diǎn)泵，并利用PID進(jìn)行閉環(huán)控制。國(guó)內(nèi)的袁剛[5]等人將Bouc-Wen算子應(yīng)用于壓電式快速反射鏡的建模與控制，將線性度提高到2.3%；李朋志[6]等人迭代學(xué)習(xí)控制對(duì)壓電疊堆進(jìn)行控制取得了不錯(cuò)的結(jié)果；王耿[7]等對(duì)應(yīng)變式微型精密壓電驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行一體化設(shè)計(jì)并利用PID對(duì)其控制。

分?jǐn)?shù)階微積分作為整數(shù)階微積分的補(bǔ)充和延伸近年來得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，尤其是在控制領(lǐng)域中，利用分?jǐn)?shù)階微積分建?？梢愿訙?zhǔn)確、細(xì)膩的描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，有效提高動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、控制能力 [8-10]。本文將利用分?jǐn)?shù)階微積分為壓電疊堆建立數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合粒子群算法為其設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器。

1分?jǐn)?shù)階微積分

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

3 壓電疊堆的粒子群分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制

3.1 分?jǐn)?shù)階PIλDμ

Step 1：設(shè)置粒子群向量[xi=（kp，ki，kd，λ，μ）]，根據(jù)控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)影響對(duì)粒子群位置向量門限、速度向量門限、最大迭代次數(shù)等進(jìn)行初始化設(shè)置；

Step 2：更新粒子群位置和速度；

Step 3：求出粒子群適應(yīng)值[J（kp，ki，kd，λ，μ）]；

Step 4：分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器控制參數(shù)更新，利用式（13）求得的適應(yīng)值[J（kp，ki，kd，λ，μ）]如其小于ISE歷史最優(yōu)值，則將個(gè)體ISE歷史最優(yōu)控制器參數(shù)替換為當(dāng)前控制器參數(shù)[（kp，ki，kd，λ，μ）]，并將ISE歷史最優(yōu)值替換為當(dāng)前控制器參數(shù)的適應(yīng)值；

Step 5：如果全局最優(yōu)位置適應(yīng)值優(yōu)化到合理范圍，則結(jié)束運(yùn)算。

4 實(shí)驗(yàn)

4.1 模型參數(shù)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

利用Matlab/Simulink中XPCTarget搭建壓電疊堆實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，壓電疊堆實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖2所示。首先將XPC主機(jī)上的程序通過以太網(wǎng)傳輸?shù)侥繕?biāo)機(jī)，目標(biāo)機(jī)運(yùn)行過程中將驅(qū)動(dòng)信號(hào)通過采集板卡（NI PCI-6251）的DA傳送到功率放大器模擬輸入，經(jīng)過功率放大器放大的驅(qū)動(dòng)電壓用作于壓電疊堆（PSt 150/7/120 VS12），激光測(cè)位儀（LK-G5000）采集壓電疊堆位移并通過采集卡（NI PCI-6251）的AD傳輸?shù)絏PC目標(biāo)機(jī)中。

4.2 壓電疊堆位移控制實(shí)驗(yàn)

首先在仿真實(shí)驗(yàn)中辨識(shí)被控對(duì)象為式（11）所確定的壓電疊堆分?jǐn)?shù)階模型，然后實(shí)驗(yàn)利用粒子群算法整定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器以得到控制參數(shù)。在實(shí)物實(shí)驗(yàn)中，將整定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器應(yīng)用到壓電疊堆位移控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中，對(duì)分?jǐn)?shù)階模型和控制算法進(jìn)行驗(yàn)證。為了對(duì)比分析粒子群分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的控制性能，還利用粒子群整數(shù)階PID控制系統(tǒng)對(duì)壓電疊堆進(jìn)行控制。由圖4和圖5可以看出粒子群分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制下系統(tǒng)的最大誤差為實(shí)際輸出的1.74%要優(yōu)于粒子群整數(shù)階PID的2.95%。

5 結(jié)論

壓電疊堆作為一種高性能的壓電陶瓷微執(zhí)行器，通過逆壓電效應(yīng)，它具有響應(yīng)快、剛度強(qiáng)、精度高、輸出力大等優(yōu)點(diǎn)。但是由于其遲滯非線性特點(diǎn)使得它比較難以建模、控制。分?jǐn)?shù)階微積分無(wú)論是對(duì)積分的定義還是微分的定義都包含了對(duì)被運(yùn)算函數(shù)自初始時(shí)刻歷史數(shù)據(jù)的應(yīng)用，這種記憶特性將對(duì)壓電材料的遲滯建模提供很大幫助，使得分?jǐn)?shù)階對(duì)系統(tǒng)的描述和控制較整數(shù)階更為準(zhǔn)確細(xì)膩。

本文利用分?jǐn)?shù)階微積分為壓電疊堆建立數(shù)學(xué)模型，并用粒子群分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制壓電疊堆，實(shí)現(xiàn)壓電疊堆的閉環(huán)控制。在與壓電疊堆整數(shù)階模型的對(duì)比中可以看出分?jǐn)?shù)階模型更加接近實(shí)際輸出，從控制結(jié)果也可以看出粒子群分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制下壓電疊堆的輸出位移比較穩(wěn)定，最大誤差為實(shí)際輸出的1.74%，要優(yōu)于粒子群整數(shù)階PID的2.95%。

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【通聯(lián)編輯：梁書】