張海廷，楊林青，郭 芳

(1.河南水利與環(huán)境職業(yè)學(xué)院， 河南 鄭州 450008； 2.廣東技術(shù)師范學(xué)院 天河學(xué)院， 廣東 廣州 510540； 3.河南農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院， 河南 中牟 451450)

地下管道已經(jīng)廣泛地被用于能源、市政和水利工程等領(lǐng)域中，且國際上稱地下管道工程為生命線工程[1]。目前求解地基中埋管的動力阻抗函數(shù)的主要方法為數(shù)值法和解析法相結(jié)合。數(shù)值法包括經(jīng)典有限元法(FEM)、有限差分法(FDM)、邊界法(BEM)等[2-3]；解析法通常采用波函數(shù)求解地基中埋管的動力阻抗函數(shù)。Pao等[4]利用數(shù)值法求解了半無限空間中洞室在入射波作用下的響應(yīng)問題。Lee等[5]隨后計算了半無限空間中有洞室存在的情況下SH波的散射問題。在彈性半空間的研究領(lǐng)域，蔣通等[6]利用解析法求解埋管的地基軸向剛度函數(shù)，然后蔣通等[7]對薄層法的原理與應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的描述，并用薄層法對彈性層狀地基中條形基礎(chǔ)及各種基礎(chǔ)的阻抗函數(shù)進(jìn)行了分析[8]。由于薄層法具有一定的局限性，對于層狀地基的動力分析計算，韓澤軍等[9-11]針對復(fù)雜層狀地基進(jìn)行深入研究，利用精細(xì)積分算法提出了更加精確的算法，隨后王朋等[12]利用此算法求解得到了層狀地基內(nèi)樁基礎(chǔ)的動力阻抗函數(shù)。

目前對于地基的研究，多是將地基各向同性層狀屬性，而實際工程中的地基都有著不同程度的各向異性屬性，本文就針對層狀地基橫觀各向同性這一屬性進(jìn)行理論分析，利用方程變換和精細(xì)積分算法得到地基表面和內(nèi)部任意點的位移響應(yīng)，然后與容積算法相結(jié)合得到地基中埋置管道的動力阻抗函數(shù)。與文獻(xiàn)結(jié)果對比的數(shù)值算例驗證了本文算法的準(zhǔn)確性，本文同時分析了層狀地基的橫觀各向同性屬性對地基中埋管動力阻抗函數(shù)的影響，將為今后的實際工程提供理論支持。

1 橫觀各向同性層狀地基波動方程

圖1層狀橫觀各向同性地基中埋置管道

層狀橫觀各向同性地基廣義平面波動問題波動方程中應(yīng)力和位移只是x、z的函數(shù)，其頻率-空間域內(nèi)廣義平面波動問題的動力控制方程為：

(1)

彈性矩陣系數(shù)與彈性參數(shù)的關(guān)系為：

R13=(Eh/v)vvh(1+vhh)

(2)

(3)

利用傅里葉積分變換，可定義頻率-空間域和頻率-波數(shù)域之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換式為：

(4)

式中：ω表示的是角頻率，k表示沿x方向上的波數(shù)；f(x,z,ω)和f(k,z,ω)表示位移或應(yīng)力函數(shù)，前者是空間域內(nèi)的，后者是波數(shù)域內(nèi)的。

由方程(1)可以看出，波動方程解耦為x-z平面內(nèi)的P-SV波(第(1)式和第(3)式)和x-z平面外的SH波(第(2)式)，本文只針對關(guān)于平面內(nèi)的P-SV波的問題進(jìn)行分析。因此，將方程(1)中的(1)式和(3)式合并后，利用公式(4)所示的傅里葉積分變換的第(1)式可以得到層狀橫觀各向同性地基頻率-波數(shù)域內(nèi)的波動方程為：

K22q″+(K21-K12)q′-(K11-ρω2I)q=0

(5)

其中，I為2×2的單位矩陣；且

(6)

引入一個位移變量q的對偶應(yīng)力向量p=-[τzxσz]T，其與廣義平面波動問題中的層狀橫觀各向同性地基問題的位移向量q滿足以下關(guān)系：

p=-(K22q′+K21q)

(7)

利用位移向量q和引入的對偶應(yīng)力向量p可以將層狀橫觀各向同性地基頻率-波數(shù)域內(nèi)的波動方程(5)轉(zhuǎn)換為以下形式的狀態(tài)方程：

Φ′=HΦ

(8)

其中Φ=[qp]T，且

(9)

層狀地基自由表面需要滿足邊界條件：

p0(z=0)=0

(10)

另外，層與層之間的交界處還應(yīng)滿足連續(xù)條件：

(11)

式中：+和-分別表示相鄰兩地基層交界處的上、下平面。

多層地基底部仍假定為半無限地基，l層底部的邊界條件為：

pl=K∞ql

(12)

式中：K∞為半無限地基表面的動力剛度矩陣。

對于層狀地基中的波動問題，本文采用精細(xì)積分算法進(jìn)行求解，不僅可以有效地避免指數(shù)溢出的問題，并且具有較高的精度，具體求解過程可參見文獻(xiàn)[14]。

2 層狀地基內(nèi)部任意點的位移響應(yīng)

為了求解層狀橫觀各向同性地基內(nèi)部任意點的位移響應(yīng)，必須要先得到層狀地基內(nèi)部體系的動力柔度矩陣。對于多層體系，假設(shè)在zk層面施加半寬為Δb幅值為pk的均布線荷載，求解任意層面(zk(k=0,1,2...n))上節(jié)點的位移響應(yīng)，如圖1所示。利用精細(xì)積分算法求解公式(8)，可以得出在任意線性保守體系內(nèi)，層狀地基上下面位移和應(yīng)力向量的關(guān)系并將其轉(zhuǎn)化成以下統(tǒng)一形式：

(13)

利用公式(12)和公式(13)組裝得到所有層面的應(yīng)力-位移方程：

(14)

上式中K為頻率-波數(shù)域內(nèi)的剛度矩陣；P和U分別為層面處施加的荷載向量和位移向量。對矩陣K求逆可得任意點的位移解為：

U(κ,zi,ω)=FikP(κ,zk,ω) (i=0，1，2，…n)

(15)

式中F=K-1，動力柔度矩陣中的每一項Fik表示zi平面上單位均布荷載作用下上的位移響應(yīng)。

公式(15)可以寫成以下形式：

(16)

式中u(k,z,ω)和px(k,z,ω)為點在頻率-波數(shù)域內(nèi)的x向位移和荷載；w(k,z,ω)和pz(k,z,ω)為豎直z向位移和荷載。

對于公式(16)，利用傅里葉積分變換(公式(4))的第二式進(jìn)行逆變換后可得地基內(nèi)任意點位移和施加荷載點荷載的關(guān)系式為：

(17)

(18)

圖2水平x向某個區(qū)間內(nèi)作用有均布諧和力

對于水平x向均布荷載，利用公式(17)可得節(jié)點(x,z)處的位移響應(yīng)為：

(19)

(20)

圖3豎直z向某個區(qū)間內(nèi)作用有均布諧和力

對于豎直z向均布荷載，利用公式(17)可得節(jié)點(x,z)處的位移響應(yīng)為：

(21)

需要提出的是，公式(19)和公式(21)中的積分雖然為無窮Bessel函數(shù)積分，但低波數(shù)段部分對積分的結(jié)果起到了決定性作用，因此可以將無窮積分轉(zhuǎn)化為有限積分進(jìn)行處理，根據(jù)經(jīng)驗選取截斷區(qū)間，對積分結(jié)果的影響很小。本文采用五點高斯積分進(jìn)行求解，保證了數(shù)值計算的精度。

3 埋置管道的動力阻抗函數(shù)

本文針對埋管-層狀地基體系，結(jié)合容積算法進(jìn)行求解。埋置管道-地基體系動力阻抗函數(shù)的主要求解思路為(見圖4)。

圖4容積法的原理

(1) 先不在原層狀橫觀各向同性地基內(nèi)埋置管道，然后將準(zhǔn)備要埋置管道的區(qū)域離散成節(jié)點群(含n個節(jié)點)，求解區(qū)域內(nèi)離散節(jié)點群各自的位移響應(yīng)，組成節(jié)點群的動力柔度矩陣：

(22)

(23)

(24)

式中：K(ω)為節(jié)點群的動力剛度矩陣。

(25)

4 數(shù)值算例與參數(shù)分析

4.1 均質(zhì)半無限地基中埋置剛性條帶基礎(chǔ)

因為廣義平面波動問題中橫觀各向同性半無限地基中埋置管道的動力剛度矩陣計算方法類似于橫觀各向同性半無限地基中埋置有剛性條帶基礎(chǔ)的計算方法，所以這里引入一個剛性條帶基礎(chǔ)埋置于均質(zhì)半無限地基中動力剛度矩陣的算例進(jìn)行驗證。寬度為2R的剛性條帶基礎(chǔ)埋置于均質(zhì)半無限地基中，埋置深度為D=R/4(參考點到地基表面的距離，參考點取條帶基礎(chǔ)底部中心)。本算例中將分別選取兩種均質(zhì)材料來進(jìn)行求解，兩種材料各自的屬性參數(shù)見表1，其中G為水平面的剪切模量，阻尼比ξs=ξp均取5%。為方便與已有的文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對比，條帶基礎(chǔ)的動力剛度矩陣系數(shù)按照下式轉(zhuǎn)化為無量綱形式：

(26)

表1 橫觀各向同性半無限地基材料屬性

4.2 橫觀各向同性的影響

半徑為R的圓形管道埋置于層狀橫觀各向同性半無限地基中，埋置深度為D=2R。為了研究層狀地基的橫觀各向同性屬性對地基中埋置管道動力阻抗函數(shù)的影響，本算例中選取兩層地基且下臥彈性半無限地基的情況來進(jìn)行分析。兩個地基層及半無限地基層的材料屬性見表2所示，對不同的地基層選取相同的比值n=Eh/Ev，并針對不同的水平向和豎直向彈性模量的比值n對埋管動力阻抗函數(shù)的影響進(jìn)行分析研究(n=0.33，n=1.00，n=2.00)。將計算得到的埋管的動力剛度矩陣系數(shù)按照公式(26)轉(zhuǎn)化為無量綱形式。計算結(jié)果顯示n取不同的值時，地基中埋管動力剛度矩陣系數(shù)曲線的形狀大致相同。當(dāng)無量綱頻率a0很小時，盡管比值n不同，水平、豎直剛度矩陣系數(shù)的實部和虛部變化均較小。隨著a0的增大，水平剛度矩陣系數(shù)Khh的實部和虛部與比值n的大小成正比；豎直剛度矩陣系數(shù)Kvv的實部和虛部曲線就越早趨于平緩。而搖擺剛度矩陣系數(shù)Krr的實部和虛部與比值n的大小成反比。

表2 兩層層狀地基和半無限地基材料屬性

5 結(jié) 論

本文運用方程變換和精細(xì)積分算法，并結(jié)合容積法來求解層狀地基中埋置管道的動力阻抗函數(shù)。此算法不僅對層狀地基的厚度、層數(shù)及材料屬性沒有任何限制，而且過程中利用到精細(xì)積分算法，使得計算結(jié)果具有很高的精度。求解過程中涉及到的矩陣維數(shù)均較少，使計算更加簡便，求解效率也得以保證，且矩陣數(shù)值求解穩(wěn)定。利用算例得出的結(jié)果與文獻(xiàn)的計算結(jié)果相比較，驗證了本文算法的準(zhǔn)確性。并結(jié)合算例針對層狀地基的橫觀各向同性進(jìn)行參數(shù)分析，結(jié)果表明地基的橫觀各向同性屬性對層狀地基中埋置管道的動力阻抗函數(shù)有著十分重要的影響。