侯躍飛 張利絨 劉俊杰

(內(nèi)蒙古大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010020)

理想波導(dǎo)是用來無損耗傳輸高頻電磁波的裝置，研究理想波導(dǎo)內(nèi)部的電磁場(chǎng)分布特性對(duì)促進(jìn)波導(dǎo)在實(shí)際中的應(yīng)用具有十分重要的意義.以理想矩形波導(dǎo)為例，從電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程組出發(fā)，代入邊界條件，可以獲得波導(dǎo)內(nèi)部電磁場(chǎng)關(guān)于空間、時(shí)間的函數(shù)方程，簡(jiǎn)稱場(chǎng)方程.通過場(chǎng)方程理解電磁場(chǎng)分布比較抽象，對(duì)此文獻(xiàn)[1]介紹了一種基于Matlab矩形波導(dǎo)的TE10模時(shí)變電磁場(chǎng)三維動(dòng)態(tài)演示，方便了對(duì)電磁波傳播特性的理解，但缺少對(duì)波導(dǎo)截止情形的討論，同時(shí)演示結(jié)果中缺少適當(dāng)?shù)亩筷P(guān)系.文獻(xiàn)[2]基于軟件HFSS實(shí)現(xiàn)了矩形波導(dǎo)電場(chǎng)分布仿真，利用顏色色度的變化表示波導(dǎo)內(nèi)電場(chǎng)密度的變化.文獻(xiàn)[3]給出了TE11和TM11兩種模式下矩形波導(dǎo)橫截面與縱剖面的二維電磁場(chǎng)分布，但圖像與描述不一致，極易造成誤導(dǎo).

本文受到Y(jié).Shibuya發(fā)布在Wolfram網(wǎng)站的平行板波導(dǎo)演示項(xiàng)目的啟發(fā)[1]，同時(shí)為了克服以上工作的局限，發(fā)展了基于Mathematica矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁波的三維演示項(xiàng)目(下載地址：https://pan.baidu.com/s/1nRv-iErQyUWyjgfVujHl3Q)，可以實(shí)現(xiàn)矩形波導(dǎo)TE波或TM波、主?；蚋唠A模、傳輸狀態(tài)或截止?fàn)顟B(tài)波導(dǎo)內(nèi)空間各點(diǎn)的仿真.涉及的演示對(duì)象包括電磁場(chǎng)矢量分布、能量密度分布與能流密度沿傳播方向強(qiáng)度的分布.可調(diào)自由度高，可挖掘的信息量大.參照比例尺還可獲得各物理量之間的數(shù)量級(jí)關(guān)系，可促進(jìn)對(duì)矩形波導(dǎo)特性的學(xué)習(xí)與理解.

1 場(chǎng)方程

如圖1所示，理想導(dǎo)體邊界的矩形波導(dǎo)內(nèi)部電磁場(chǎng)滿足方程組

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1 矩形波導(dǎo)

電磁波沿z方向傳輸，設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為

E(x,y,z,t)=E(x,y)ei(kzz-ωt)

(5)

分離變量并引入矩形波導(dǎo)邊界條件[4]，得到如下形式的電場(chǎng)解

(6)

由式(3)，系數(shù)A1，A2，A3滿足如下關(guān)系

A1kx+A2ky-iA3kz=0

(7)

取A3=0，聯(lián)立式(2)與式(5)，得到振幅常量中只含有一個(gè)獨(dú)立變數(shù)的橫電波(TE波)電磁場(chǎng)分布方程[5]

(8)

取A2kx-A1ky=0,同理得到橫磁波(TM波，電磁場(chǎng)分布方程

(9)

波矢沿z方向分量

式中a和b為矩形波導(dǎo)截面寬邊長(zhǎng)度和窄邊寬度，m和n取值為0，1，2，…，A和A0為振幅常數(shù)，數(shù)值由激發(fā)源功率確定.

為方便數(shù)值模擬，取

(10)

這樣使得Ex的系數(shù)為1，對(duì)應(yīng)其他場(chǎng)分量的系數(shù)也化為了較簡(jiǎn)單的形式.但對(duì)于TEm0與TE0n兩種模式，特別地，取A=A0=1，以免因ky或kx的值為零造成場(chǎng)方程無意義或行波不存在.

2 傳輸情形下的場(chǎng)和能量特性

依據(jù)式(7)、(8)，通過模擬實(shí)現(xiàn)了矩形波導(dǎo)內(nèi)部行波電磁場(chǎng)的可視化.設(shè)矩形波導(dǎo)寬邊長(zhǎng)度3 cm，窄邊長(zhǎng)度2 cm，兩邊分別置于直角坐標(biāo)系的x軸和y軸，電磁波沿z方向傳輸.如圖2(a)所示，顯示截面在y=1.25 cm處，藍(lán)色箭頭與紅色箭頭分別表示電場(chǎng)強(qiáng)度矢量與磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量.箭頭起始端為場(chǎng)點(diǎn)位置，箭頭長(zhǎng)度反映了矢量相對(duì)強(qiáng)弱.右側(cè)曲線表示能流密度矢量z分量沿x軸方向的強(qiáng)度分布，可以看出該分量的強(qiáng)度呈周期性變化，且波導(dǎo)寬邊模數(shù)m為該曲線出現(xiàn)的周期數(shù).從另一角度觀察，如圖2(b)所示，可以看出電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度處處正交.

(藍(lán)色箭頭表示電場(chǎng)，紅色箭頭表示磁場(chǎng)，曲線表示能流)

圖2

如圖3(a)、(b)所示，在垂直于y軸的波導(dǎo)邊界上，TM波的電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直于波導(dǎo)內(nèi)壁，磁感應(yīng)強(qiáng)度平行于波導(dǎo)內(nèi)壁.矩形波導(dǎo)中的電磁場(chǎng)在傳播方向上表現(xiàn)為行波，在垂直于傳播方向的截面、平行于邊界的方向表現(xiàn)為駐波.由圖3(a)不難看出，波導(dǎo)寬邊模數(shù)m為該方向駐波的半波數(shù).在使用本演示程序時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在電場(chǎng)、磁場(chǎng)均沒有沿z方向分量的截面，這種特殊的截面位于駐波的波節(jié)處.應(yīng)當(dāng)注意這并不表示矩形波導(dǎo)可以傳輸TEM波，改變顯示截面位置，可以發(fā)現(xiàn)電場(chǎng)或磁場(chǎng)重新出現(xiàn)了縱向分量.

圖3

事實(shí)上，與平面電磁波不同，矩形波導(dǎo)內(nèi)某時(shí)刻任意場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)能一般不等于磁場(chǎng)能.由圖4(a)可以看出某一時(shí)刻在垂直于傳播方向的截面上電磁能量分布存在周期性，m和n分別為沿寬邊與窄邊分布的周期數(shù).如圖4(b)所示，沿著傳播方向能量分布亦存在周期性，單位長(zhǎng)度的能量峰值數(shù)應(yīng)與電磁波源的頻率成正比.

圖4

3 截止情形下的場(chǎng)和能量特性

截止波導(dǎo)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛，它對(duì)低于截止頻率的電磁波的“截?cái)唷惫δ苁且粋€(gè)十分有趣的物理現(xiàn)象，截止頻率的大小與模式和矩形波導(dǎo)的尺寸有關(guān).當(dāng)場(chǎng)源激發(fā)出的電磁波頻率低于截止頻率，矩形波導(dǎo)不會(huì)傳播電磁波，表現(xiàn)形式為沿傳播方向振幅急劇衰減的電磁振蕩[6].

電磁能量也主要區(qū)域性地集中在激發(fā)源附近，不會(huì)向遠(yuǎn)方傳輸.在電磁波頻率由低到高逐漸接近截止頻率的過程中，電磁場(chǎng)衰減速率變慢，進(jìn)入波導(dǎo)內(nèi)部的電磁能量逐漸增多，如圖5(a)、(b)所示.當(dāng)激發(fā)源頻率升高至大于截止頻率，波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)性質(zhì)發(fā)生突變，重新出現(xiàn)行波，此時(shí)回歸到傳輸情形，如圖5(c)所示.

圖5

4 參數(shù)設(shè)置說明

演示程序操作界面如圖6所示.

波導(dǎo)參數(shù)設(shè)置中，“模式”選項(xiàng)切換TE或TM波形，“模數(shù)m”與“模數(shù)n”的取值為0，1，2，3.應(yīng)注意，矩形波導(dǎo)不存在TMm0與TM0n模式的電磁波.“頻率f”可調(diào)范圍為4.0 GHz～30.0 GHz；“相位φ”調(diào)節(jié)范圍為0～16π；“截面位置(x方向)”可調(diào)范圍0～2 cm，“截面位置(y方向)”可調(diào)范圍0～6 cm，不斷改變截面位置可觀察出場(chǎng)在波導(dǎo)內(nèi)全空間的變化規(guī)律.

對(duì)象顯示設(shè)置中，“電/磁場(chǎng)”選項(xiàng)控制打開或關(guān)閉電磁場(chǎng)演示；“能量密度分布”選項(xiàng)控制打開或關(guān)閉能量密度分布演示；“場(chǎng)矢量密度(z方向)Nz”與“場(chǎng)矢量密度(x方向)Nx”選項(xiàng)調(diào)節(jié)單位空間內(nèi)矢量箭頭數(shù)量，較大的箭頭數(shù)量便于觀察波動(dòng)性質(zhì)，較小的箭頭數(shù)量便于觀察單個(gè)場(chǎng)點(diǎn)性質(zhì)；“能量密度比例尺”可改變能量密度標(biāo)度，來解決不同模式下能量密度數(shù)量級(jí)差距較大，難以用唯一的標(biāo)度較好演示的問題.

圖6 演示項(xiàng)目操作界面

5 結(jié)束語

本文應(yīng)用軟件Mathematica實(shí)現(xiàn)了矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)的可視化，三維的圖像進(jìn)一步加深了讀者對(duì)波導(dǎo)中電磁場(chǎng)分布特性的理解，使原本抽象的TE波、TM波、模數(shù)、截止等概念的物理意義更加明確.同時(shí)通過對(duì)演示結(jié)果的研究，得到以下結(jié)論：

(1)理想矩形波導(dǎo)內(nèi)電場(chǎng)與磁場(chǎng)處處正交，且滿足理想導(dǎo)體邊界條件，即矩形邊界處電場(chǎng)垂直波導(dǎo)內(nèi)壁，磁場(chǎng)平行波導(dǎo)內(nèi)壁.

(2)理想矩形波導(dǎo)不能傳播純粹的橫電磁波，模數(shù)m和n分別代表沿寬邊、窄邊的電磁駐波半波數(shù)或能量分布的周期數(shù).

(3)造成理想矩形波導(dǎo)出現(xiàn)截止現(xiàn)象的原因是電磁波的急速衰減，且隨著頻率的降低，衰減速率變快.最后讀者可依據(jù)比例尺和給出的數(shù)值進(jìn)行相關(guān)演算，了解數(shù)量級(jí)關(guān)系，增強(qiáng)物理感覺.