，

(太原理工大學(xué) a. 數(shù)學(xué)學(xué)院， b. 大數(shù)據(jù)學(xué)院， 山西 太原 030024)

多智能體系統(tǒng)的一致性因其在不同領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而一直是研究者關(guān)注的焦點(diǎn)。例如，在工程與計算機(jī)科學(xué)中的分布式計算[1]、傳感器網(wǎng)絡(luò)[2]、無人機(jī)車輛編隊(duì)控制[3]和機(jī)器人團(tuán)隊(duì)，以及生物學(xué)、生態(tài)學(xué)和社會科學(xué)中的羊群集體行為[4]等，已經(jīng)形成了較為成熟的理論體系。在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，有很多關(guān)于智能體的動態(tài)行為的研究用一階微分方程進(jìn)行描述[5-7]， 也有越來越多的研究者用二階微分方程描述智能體的動態(tài)行為[8-10]。

目前關(guān)于一致性問題研究的一個共同特點(diǎn)是關(guān)注協(xié)作系統(tǒng)。 各智能體通過協(xié)作進(jìn)行通訊， 從而最終實(shí)現(xiàn)共同的狀態(tài)。 代表它們之間聯(lián)系的權(quán)重邊均非負(fù)， 然而， 在現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中， 智能體之間的聯(lián)系有協(xié)作也有競爭。 例如， 在社會網(wǎng)絡(luò)理論中， 具有拮抗作用(既有競爭又有協(xié)作)的網(wǎng)絡(luò)是很常見的[11-12]。 用符號圖表示它們之間的聯(lián)系， 其中的邊可以是負(fù)權(quán)重， 因此， 其鄰接矩陣的元素可以是正的， 也可以是負(fù)的。 這是與已有研究中的通常情況的最大區(qū)別。

在具有拮抗作用的網(wǎng)絡(luò)中，被關(guān)注最多的還是智能體最終能否趨于共同的狀態(tài)，即一致性問題。研究[13-15]發(fā)現(xiàn)，存在另一種類型的一致現(xiàn)象，即所有的智能體會達(dá)到一個最終的狀態(tài)，大小相同但是符號相反，稱其為雙向一致或反同步。文獻(xiàn)[13]中引入一個合適的概念，在存在拮抗性連接的情況下，研究符號圖中的智能體如何通過分布式協(xié)議實(shí)現(xiàn)一致以及能達(dá)到何種程度的一致。文獻(xiàn)[14]中提出了一種基于事件的具有拮抗作用的多智能體系統(tǒng)的雙向一致性問題。利用多智能體網(wǎng)絡(luò)的符號拉普拉斯矩陣的譜性質(zhì)，分析了系統(tǒng)的雙向一致性。文獻(xiàn)[15]中將基于集中式事件驅(qū)動控制下的雙向一致性[14]推廣到具有無向拓?fù)浜陀邢蛲負(fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的分布式事件驅(qū)動控制策略，從而使所有智能體都能達(dá)到雙向一致。文獻(xiàn)[16]中建立了一組具有領(lǐng)導(dǎo)者的高階智能體的雙向一致性條件，所有智能體和領(lǐng)導(dǎo)者都有高階線性動態(tài)行為，智能體之間的交互拓?fù)溆梢粋€有向、加權(quán)的符號圖描述，得出了一組智能體到領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)和另一組智能體相反的收斂性。

通訊約束是影響系統(tǒng)性能的關(guān)鍵因素，在實(shí)際中不能忽視。其中最普遍的是局部信息傳輸，即智能體不能將其信息完全傳輸?shù)洁従又悄荏w，在這個過程中會有一部分信息丟失?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)中有很多相關(guān)研究[17-19]。文獻(xiàn)[17]中研究了基于局部信息傳輸?shù)膹?fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步分析，給出了耦合矩陣分別為對角矩陣和下三角矩陣時的同步條件；文獻(xiàn)[18]中針對2個目標(biāo)跟蹤傳感器網(wǎng)絡(luò), 提出了基于部分信息分布式濾波問題?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)中很少在智能體系統(tǒng)的雙向一致性問題中考慮通訊約束。

為了研究具有通訊約束的多智能體系統(tǒng)的雙向一致性問題，本文中在現(xiàn)有關(guān)于雙向一致的文獻(xiàn)中的控制輸入項(xiàng)加入信道矩陣，使得所考慮的問題更實(shí)際，從而得出系統(tǒng)的雙向一致性條件；首先介紹圖論知識和所要描述的問題，然后得出主要結(jié)論，再利用Lyapunov理論得出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)雙向一致的充分條件，最后進(jìn)行數(shù)值仿真，給出一個數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性。

1 圖論知識和問題描述

1.1 圖論知識

系統(tǒng)中每個智能體可以抽象為一個節(jié)點(diǎn)。一個權(quán)重符號圖G可以由G(V,E,A)表示，其中V={1,2,…,N}為節(jié)點(diǎn)(頂點(diǎn))集，E?V×V為有向邊的集合，A=(aij)N×N(i,j=1,2,…,N)為G的符號權(quán)重鄰接矩陣。如果邊(i,j)∈E，則A的元素aij非零，稱節(jié)點(diǎn)i、j相鄰。Ni={j∈V|(j,i)∈E}為節(jié)點(diǎn)i所有相鄰點(diǎn)的集合。|Ni|為Ni的基數(shù)(節(jié)點(diǎn)的鄰居個數(shù))。如果任意2個不同節(jié)點(diǎn)間都有有向路徑，則稱G是強(qiáng)連通的。E+={(i,j)|aji>0}和E-={(i,j)|aji<0}分別為正邊和負(fù)邊的集合。當(dāng)aji>0時，2個智能體i、j是協(xié)作關(guān)系；當(dāng)aji<0時，2個智能體i、j是競爭關(guān)系。本文中不考慮節(jié)點(diǎn)有自環(huán)的情形，即aii=0,?i=1,2,…,N，并且總假設(shè)節(jié)點(diǎn)i、j之間的權(quán)重滿足aijaji≥0。IN為N階單位矩陣，1N=(1,1,…,1)T為N維向量，ON×N為N×N型零矩陣。n×n為n階矩陣的全體，n為n維向量空間為歐氏范數(shù)。圖G的拉普拉斯矩陣L定義為L=(lij)∈N×N，且lij=-aij，i,j=1,2,…,N。

1.2 問題描述

考慮有N個節(jié)點(diǎn)的多智能體系統(tǒng)，系統(tǒng)的每個智能體的動態(tài)描述為

(1)

式中：t為運(yùn)動時間；xi(t)∈n和vi(t)∈n分別為第i個節(jié)點(diǎn)的位置狀態(tài)和速度狀態(tài)；ui(t)∈n為第i個節(jié)點(diǎn)的控制輸入。為了實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)(1)的雙向一致性，考慮控制輸入

[vi(t)-sgn(aij)vj(t)]}，

(2)

[vi(t)-sgn(aij)vj(t)]},

(3)

其中i,j=1,2,…,N。為了便于數(shù)學(xué)推導(dǎo)，定義信道拉普拉斯矩陣為

矩陣Rk是從Rij分解得來的。對于任意的i,j=1,2,…,N，Rk(i,j)是Rij的第k個對角線元素。顯然，Rk有行和為0的性質(zhì)。本文中總是假設(shè)Rk不可約，ζk=(ζk1,ζk2, …,ζkN)T∈N是矩陣Rk對應(yīng)于特征值的規(guī)范化左特征向量并且滿足根據(jù)文獻(xiàn)[20]，對于所有的i∈{1,2,…,N}以及k∈{1,2,…,n}，有ζki>0。令Φi=diag(ζ1i,ζ2i, …,ζni)，可以得到

定義1[13]向量δ=(δ1,δ2,…,δn)，δi={±1}是n中的一個局部象限階。一個規(guī)范變換是對n中的象限階通過矩陣D=diag(δ)進(jìn)行改變。Ω={D|D=diag(δ),δ=(δ1,δ2, …,δn),δi∈{±1}}表示n中所有的規(guī)范變換構(gòu)成的集合。

定義2[13]稱符號圖G結(jié)構(gòu)平衡， 如果它可以把節(jié)點(diǎn)分為2個部分V1、V2， 其中，V1∪V2=V， 且V1∩V2=○/，使得對任意的i,j∈Vq(q∈{1,2})有aij≥0， 以及任意的i∈Vq,j∈Vp,q≠p,(q,p)∈{1,2}有aij≤0。否則，稱之為結(jié)構(gòu)不平衡。

定義3[21]稱多智能體系統(tǒng)(1)雙向一致，如果滿足

(4)

引理1(舒爾補(bǔ)引理) 線性矩陣不等式

其中Q(x)=Q(x)T，R(x)=R(x)T，則該線性矩陣不等式等價于下列任一條件：

1)Q(x)>O,R(x)-S(x)TQ(x)-1S(x)>O，

2)R(x)>O，Q(x)-S(x)R(x)-1S(x)T>O。

2 主要結(jié)論

D=diag(δ),δ=(δ1,δ2, …,δN),δi∈{±1}。

則

x～·i(t)=v～i(t),v～·(t)=-∑j∈?iRij{[x～i(t)-x～j(t)]+[v～i(t)-v～j(t)]}。(5)

x^·i(t)=v^·i(t),v^·i(t)=v～·i(t)-∑Nk=1Φkv～·k(t)=-∑Nk=1ΦkRkkx～k(t)-∑Nk=1ΦkRkkv～k(t)+∑Nj=1Rijx～j(t)+∑Nj=1Rijv～j(t)。(6)

基于以上分析，可以得到多智能體系統(tǒng)(1)雙向一致性的條件。

定理1 假設(shè)符號圖G結(jié)構(gòu)平衡，則系統(tǒng)(1)在控制輸入(3)的作用下實(shí)現(xiàn)雙向一致性，如果存在標(biāo)量α>0且滿足下列的線性矩陣不等式，即對任意的i∈{1,2,…,N},k∈{1,2,…,n}，

(7)

其中

證明： 考慮Lyapunov函數(shù)

(8)

沿著系統(tǒng)(6)的軌跡對V(t)求導(dǎo)可得

當(dāng)智能體間的信息可以完全傳輸時，信道矩陣Hij=In。由Rij、Rk、Φi的定義，有Rij=|aij|In，Rk=-L，Φi=ζiIn，Wk=W=diag(ζ1,ζ2, …,ζN)， 其中，L為系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣。 對任意的i,j∈{1, 2, …,N}，多智能體系統(tǒng)(1)的模型變?yōu)?/p>

xi(t)=vi(t),vi(t)=ui(t)=-∑j∈?iaij{[xi(t)-sgn(aij)xj(t)]+[vi(t)-sgn(aij)vj(t)]}。(9)

推論1 假設(shè)符號圖G結(jié)構(gòu)平衡， 則系統(tǒng)(9)實(shí)現(xiàn)雙向一致， 如果存在標(biāo)量α>0且滿足下列的線性矩陣不等式， 即對任意i∈{1, 2, …,N},k∈{1,2,…,n}，

(10)

3 數(shù)值仿真

以下給出一個實(shí)例來驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性。

例1 考慮一個有5個節(jié)點(diǎn)的多智能體系統(tǒng)，每個智能體有2個維度的信息，即N=5，n=2。 每個智能體的連接情況如圖1所示，其中各智能體間的連接權(quán)重有正也有負(fù)。當(dāng)權(quán)重為正時，2個智能體之間為協(xié)作關(guān)系；當(dāng)權(quán)重為負(fù)時，2個智能體間為競爭關(guān)系。智能體間的連接關(guān)系用矩陣A表示,

可得D=diag(1,-1, 1,-1, 1)。給定信道矩陣H12=diag(0, 1),H15=diag(1, 1),H21=diag(1, 1),H23=diag(1, 0),H32=diag(1, 1),H43=diag(1, 1),H53=diag(1, 1),H54=diag(1, 1)。通過信道拉普拉斯矩陣的定義, 可以得出

智能體3、4之間的連接-3表示智能體4可以從智能體3獲得信息，權(quán)重為3，而且為競爭關(guān)系；智能體3、5可以互相獲得信息，但是權(quán)重不同：智能體3從智能體5獲得信息的權(quán)重為2，智能體5從智能體3獲得信息的權(quán)重為3，并且是協(xié)作關(guān)系。以此類推。

利用MATLAB軟件中的線性矩陣不等式工具箱，可以得出滿足定理1中線性矩陣不等式的可行解α=1.031 2。 圖2所示為系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)的位置狀態(tài)， 圖3所示為系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)的速度狀態(tài)。 由圖2、 3可知，V1={2, 4},V2={1, 3, 5}。 屬于同一個類的智能體之間為協(xié)作關(guān)系， 它們的狀態(tài)最終會趨于一致， 而不同類中的智能體之間為競爭關(guān)系， 它們最終會趨于相反的狀態(tài)。 圖4所示為位置誤差狀態(tài)， 圖5所示為速度誤差狀態(tài)， 圖6所示為控制輸入狀態(tài)。

(a)第1個維度(b)第2個維度圖2 各節(jié)點(diǎn)的位置狀態(tài)

(a)第1個維度(b)第2個維度圖3 各節(jié)點(diǎn)的速度狀態(tài)

(a)第1個維度(b)第2個維度圖4 各節(jié)點(diǎn)的位置誤差狀態(tài)

(a)第1個維度(b)第2個維度圖5 各節(jié)點(diǎn)的速度誤差狀態(tài)

(a)第1個維度(b)第2個維度圖6 各節(jié)點(diǎn)的控制輸入狀態(tài)

4 結(jié)論

本文中研究了具有通訊約束的多智能體系統(tǒng)雙向一致性問題，通過設(shè)計合適的控制輸入以及誤差系統(tǒng)，將原系統(tǒng)的雙向一致性問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，利用Lyapunov理論得到其一致性條件。今后的研究方向是控制輸入中的對應(yīng)于相對位移和相對速度的信道矩陣不相等時，實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的雙向一致性。