姜曉帥，李剛炎，王平俊，熊峰

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 湖北 武漢 430070)

0 引言

彈性齒輪是指腹板具有一定柔性的齒輪，又稱為柔性腹板齒輪[1-2]。彈性齒輪能夠減小輪齒接觸應(yīng)力[1] 43，降低傳動(dòng)過程中的振動(dòng)和噪聲[2-5]，廣泛地應(yīng)用在機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中，也因此成為國內(nèi)外眾多學(xué)者研究的重點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)方面，顧玉華[2] 15-16、Helmut Swars[3]等提出了在齒輪腹板上添加柔性件的彈性齒輪設(shè)計(jì)，輪轂和齒圈為一個(gè)整體；王建軍[5]提出了齒圈與輪轂分離式的彈性齒輪，通過螺栓或鍵連接的方式在齒圈與輪轂中間附加橡膠；黎冠中、戚文星[6]介紹了多種形式的彈性齒輪制作和橡膠材料的研究。雖然國內(nèi)外對(duì)齒輪的研究已有很多，但對(duì)彈性齒輪橡膠參數(shù)對(duì)其應(yīng)力應(yīng)變的影響的相關(guān)研究鮮見，而齒輪接觸疲勞強(qiáng)度和齒根疲勞強(qiáng)度是避免齒輪發(fā)生齒面磨損或齒根斷裂等破壞現(xiàn)象，并保障設(shè)備運(yùn)行安全、可靠的關(guān)鍵，因此，本文的研究具有一定的工程指導(dǎo)意義。

1 彈性齒輪及其參數(shù)化模型

1.1 彈性齒輪結(jié)構(gòu)與功用

三缸發(fā)動(dòng)機(jī)平衡系統(tǒng)彈性齒輪由輪轂、橡膠和外齒圈3部分組成。輪轂和外齒圈采用分離式設(shè)計(jì)，由粉末冶金工藝制造而成，不通過螺栓或鍵等機(jī)械方式聯(lián)接，而是通過橡膠硫化工藝在二者中間形成一定厚度的橡膠環(huán)，同時(shí)，將輪轂和外齒圈粘接成為一個(gè)整體，彈性齒輪結(jié)構(gòu)如圖1所示。彈性齒輪粉末冶金材料為FC-0205-80HT(美國MPIF標(biāo)準(zhǔn)35)，橡膠材料為氫化丁腈膠(HNBR，hydrogenate nitrile)。

圖1 彈性齒輪結(jié)構(gòu)

發(fā)動(dòng)機(jī)平衡系統(tǒng)彈性齒輪作為發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸與平衡軸之間的傳動(dòng)構(gòu)件，保證平衡軸與曲軸之間按一定轉(zhuǎn)速比旋轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)平衡發(fā)動(dòng)機(jī)傾覆力矩的作用。同時(shí)，相對(duì)全金屬齒輪，彈性齒輪能夠降低傳動(dòng)過程中的振動(dòng)和噪聲。

1.2 彈性齒輪參數(shù)化模型

1) 齒輪參數(shù)

彈性齒輪為漸開線齒輪，模數(shù)為1.5，齒數(shù)67，壓力角20°，齒寬12mm，變位系數(shù)-1.332。

2) 齒廓方程

如圖2所示，以齒輪幾何中心o點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以齒厚對(duì)稱線為坐標(biāo)系y軸，建立直角坐標(biāo)系o-xy。實(shí)際的齒輪齒廓由齒頂圓圓弧AB，漸開線BC，齒根過渡圓CD和齒根圓圓弧DE組成。

圖2 齒輪齒廓示意圖

在齒輪建模中，齒頂圓、齒根圓以及漸開線方程的建立已研究較多，這里不再贅述。齒根過渡圓曲線CD與齒輪的加工刀具參數(shù)有關(guān)，文獻(xiàn)[7] 給出了由齒條型刀具加工的齒輪齒根過渡圓曲線方程：

(1)

3) 參數(shù)化模型

基于以上彈性齒輪的參數(shù)與齒廓曲線，利用Pro/E軟件建立精確的齒輪模型如圖1(b)所示。

2 彈性齒輪有限元分析

2.1 彈性齒輪有限元分析理論

經(jīng)典力學(xué)理論確定了物體動(dòng)力學(xué)的通用方程為:

(2)

[K]{x}={F}

(3)

齒輪的受力和變形主要在嚙合傳動(dòng)過程中，彈性齒輪橡膠結(jié)構(gòu)必將對(duì)其綜合嚙合剛度帶來影響，繼而影響其力學(xué)特性。采用集中質(zhì)量方法，將彈性齒輪外齒圈簡化為質(zhì)量塊M；驅(qū)動(dòng)齒輪與彈性齒輪外齒圈的嚙合剛度km和嚙合阻尼簡化cm為由彈簧和阻尼器構(gòu)成的連接件；橡膠的扭轉(zhuǎn)剛度轉(zhuǎn)變?yōu)檠貒Ш暇€方向的位移剛度kT與位移阻尼cT，同樣將其視為一個(gè)由彈簧和阻尼器構(gòu)成的連接件。簡化后的兩個(gè)連接件為串聯(lián)關(guān)系，如圖 3 所示，ke、cm分別等效后的嚙合剛度和嚙合剛阻尼。

圖3 彈性齒輪嚙合剛度等效模型

由剛度的串聯(lián)關(guān)系可得，彈性齒輪等效嚙合剛度為:

(4)

2.2 材料及其參數(shù)

1) 粉末冶金材料參數(shù)

粉末冶金材料牌號(hào)為FC-0205-80HT，其楊氏模量為130 GPa，泊松比為0.27，密度為6.8 g/cm3。

2) 橡膠材料常數(shù)

根據(jù)橡膠本構(gòu)關(guān)系模型選擇要求，結(jié)合彈性齒輪橡膠小變形等特點(diǎn)，選擇Mooney-Rivlin模型[9]作為橡膠的分析模型。HNBR為軟質(zhì)橡膠，其硬度HS與Mooney-Rivlin模型中材料常數(shù)C10，C01之間的關(guān)系[10]為：

(5)

根據(jù)式(5)，可確定不同橡膠硬度HS(HS55、HS60、HS65、HS70、HS75)，不同C01/C10值[11](0.05、0.1、0.15、0.2、0.25)下的橡膠材料常數(shù)C10、C01的值。

2.3 彈性齒輪工況分析與邊界條件設(shè)置

彈性齒輪作為發(fā)動(dòng)機(jī)的平衡系統(tǒng)的傳動(dòng)構(gòu)件，其轉(zhuǎn)速高、受變載荷沖擊頻繁，承受最大動(dòng)態(tài)扭矩為40N·m，軸承、缸體等支撐剛度較大，忽略其彈性變形對(duì)齒輪受力的影響。

驅(qū)動(dòng)齒輪與彈性齒輪的齒形及大小相同，設(shè)置對(duì)稱接觸，摩擦系數(shù)為0.08，考慮大變形影響，接觸剛度設(shè)為1.0；對(duì)兩齒輪均設(shè)置相對(duì)地面的轉(zhuǎn)動(dòng)副，限制其他自由度，驅(qū)動(dòng)齒輪設(shè)置轉(zhuǎn)速，彈性齒輪設(shè)置轉(zhuǎn)矩，因轉(zhuǎn)矩是影響齒輪受力情況的主要因素，考慮最惡劣工況下的齒輪受力情況，設(shè)置最大承載力矩為40N·m。

3 彈性齒輪應(yīng)力與應(yīng)變特性分析

3.1 彈性齒輪與全金屬齒輪應(yīng)力與應(yīng)變特性對(duì)比

取彈性齒輪橡膠參數(shù)：厚度為3.5mm，寬度為13mm，硬度HS60，C01/C10=0.25(經(jīng)驗(yàn)證C01/C10值對(duì)齒輪應(yīng)力應(yīng)變幾乎沒有影響)下材料常數(shù)。相同工況下，彈性齒輪和全金屬剛性齒輪的應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)鐖D4—圖7所示。

圖4 彈性齒輪應(yīng)力

圖5 金屬齒輪應(yīng)力

利用Hertz接觸理論求得全金屬齒輪的最大接觸應(yīng)力約為193 MPa，誤差為5%，說明有限元分析結(jié)果正確。

由圖4、圖5可知，彈性齒輪和金屬齒輪的齒根部位應(yīng)力較為集中，最大應(yīng)力均出現(xiàn)在齒頂部位，符合齒輪受力特征。金屬齒輪最大應(yīng)力為184 MPa，彈性齒輪最大應(yīng)力為140 MPa，應(yīng)力減少約24%，初步說明彈性齒輪降低了接觸應(yīng)力，結(jié)論與文獻(xiàn)[1] 結(jié)果相符。

圖6 彈性齒輪應(yīng)變

圖7 金屬齒輪應(yīng)變

由圖6、圖7可知，全金屬齒輪應(yīng)變集中與輪齒部位，彈性齒輪降低了輪齒接觸的應(yīng)力變形，最大應(yīng)變位置和主要應(yīng)變位置由輪齒部位轉(zhuǎn)變?yōu)楦拱逄幍南鹉z部位，最大應(yīng)變?yōu)?.309mm。這是因?yàn)橄鹉z比金屬材料強(qiáng)度、硬度小，而阻尼高，能夠吸收沖擊能量。

3.2 橡膠參數(shù)對(duì)彈性齒輪應(yīng)力與應(yīng)變的影響

在彈性齒輪有限元模型的基礎(chǔ)上，研究橡膠的硬度、厚度(沿齒輪徑向尺寸)和寬度(沿齒輪軸線尺寸)對(duì)彈性齒輪應(yīng)力與應(yīng)變的影響。

1) 正交實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)

正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)[12]的關(guān)鍵在于明確實(shí)驗(yàn)指標(biāo)，確定實(shí)驗(yàn)因素及水平，選擇合適的正交實(shí)驗(yàn)表。本文以彈性齒輪應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉治鲋笜?biāo)，其值越小越好，選取橡膠的硬度、厚度和寬度作為正交實(shí)驗(yàn)的考查因素。

在正交實(shí)驗(yàn)中，一般實(shí)驗(yàn)因素的水平以2～4個(gè)水平為宜，本文取3個(gè)因素水平。依據(jù)工程實(shí)際的要求和專業(yè)知識(shí)確定實(shí)驗(yàn)的因素水平，選擇正交表L9(34)，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案并得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，表中數(shù)字(1，2，3)表示水平，括號(hào)內(nèi)為對(duì)應(yīng)的因素水平值。

表1 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)與結(jié)果

2) 結(jié)果的極差分析

Rj為第j列因素的極差，其表達(dá)式為：

(6)

計(jì)算得到彈性齒輪應(yīng)力與應(yīng)變的極差如表2所示。

表2 彈性齒輪應(yīng)力與應(yīng)變極差分析

由表2可知，橡膠硬度對(duì)彈性齒輪應(yīng)力影響極小，但對(duì)應(yīng)變影響較大；橡膠厚度和寬度對(duì)彈性齒輪應(yīng)力與應(yīng)變均有影響，但影響程度有所不同。根據(jù)極差的大小可知，橡膠厚度對(duì)彈性齒輪的應(yīng)力影響最大，橡膠寬度次之；橡膠硬度對(duì)彈性齒輪應(yīng)變的影響最大，橡膠厚度次之，橡膠寬度最小。

3) 結(jié)果的方差分析

由于極差不能給出判斷因素對(duì)結(jié)果影響是否顯著的標(biāo)準(zhǔn)，因此對(duì)其進(jìn)行方差分析，將結(jié)果進(jìn)行偏差平方和分解，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，生成方差統(tǒng)計(jì)表，利用P值法判斷各因素對(duì)結(jié)果影響的顯著性。P值是顯著性概率，P值越小，表示該因素對(duì)結(jié)果的影響程度越大，當(dāng)P值<0.05時(shí)認(rèn)為該因素對(duì)結(jié)果有顯著影響，各因素P值如表3所示。

表3 因素顯著性分析

由表3可知，在應(yīng)力方面，橡膠厚度的P值最小，且小于0.05，是影響應(yīng)力的顯著性因素，橡膠寬度的顯著性次之，橡膠硬度P值為0.94，遠(yuǎn)大于0.05，是應(yīng)力的非顯著性因素；在應(yīng)變方面，橡膠硬度、厚度和寬度的P值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05，三者均為彈性齒輪應(yīng)變的顯著性影響因素。

3.3 橡膠參數(shù)水平優(yōu)組合的確定

圖8 橡膠硬度、厚度和寬度與指標(biāo)關(guān)系趨勢圖

由圖8可知，橡膠硬度增大，彈性齒輪應(yīng)力幾乎不變，橡膠應(yīng)變減?。幌鹉z厚度增大，彈性齒輪應(yīng)力減小，橡膠應(yīng)變增大；橡膠寬度增大，彈性齒輪應(yīng)力減小，橡膠應(yīng)變減小。經(jīng)驗(yàn)證，正交實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論與單因素分析的結(jié)論具有一致性趨勢。

綜合考慮以確定橡膠厚度：橡膠厚度過大，在齒輪嚙合傳動(dòng)中容易引起較大的軸向振動(dòng)和變形，厚度太小，生產(chǎn)加工困難，質(zhì)量控制成本過高。從安全性和經(jīng)濟(jì)性方面綜合考慮，選取橡膠厚度優(yōu)水平為3.5mm，此時(shí)，優(yōu)水平組合為橡膠硬度HS70，橡膠厚度為3.5mm，橡膠寬度為13mm。

在工程實(shí)際中HNBR硬度最高可達(dá)HS75，根據(jù)圖8所示橡膠硬度對(duì)應(yīng)力應(yīng)變影響趨勢，從減小橡膠應(yīng)變考慮，橡膠硬度的優(yōu)水平為HS75。經(jīng)驗(yàn)證，該水平下的彈性齒輪應(yīng)力為138.61MPa，應(yīng)變?yōu)?.161 4mm，為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)。因此，橡膠參數(shù)的優(yōu)組合為：橡膠硬度HS75，厚度為3.5mm，寬度為13mm。

4 結(jié)語

本文基于Pro/E建立了精確的彈性齒輪的參數(shù)化模型，對(duì)比了同工況下全金屬齒輪和彈性齒輪應(yīng)力與應(yīng)變情況，基于正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法分析了橡膠參數(shù)對(duì)齒輪應(yīng)力與應(yīng)變的影響，得出以下結(jié)論：1) 彈性齒輪能夠有效降低齒輪接觸應(yīng)力，應(yīng)力減小約24%；2) 橡膠硬度增大，彈性齒輪應(yīng)力幾乎不變，橡膠應(yīng)變減??；橡膠厚度增大，彈性齒輪應(yīng)力減小，橡膠應(yīng)變增大；橡膠寬度增大，彈性齒輪應(yīng)力減小，橡膠應(yīng)變減?。?) 彈性齒輪橡膠參數(shù)的優(yōu)組合：橡膠硬度HS75，橡膠厚度為3.5 mm，橡膠寬度為13 mm。

由于目前條件限制，未能進(jìn)行彈性齒輪的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，有待后續(xù)完善。此外，橡膠參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響有待進(jìn)一步研究。