丁銳，曹毅

(1. 江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122； 2. 上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；3. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214122)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度、高精度、承載能力強(qiáng)、反應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)[1]，因此適用于如納米級(jí)微動(dòng)機(jī)構(gòu)、傳感器設(shè)備等諸多宏觀與微觀領(lǐng)域。近年來，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)研究[2-4]已經(jīng)成為并聯(lián)機(jī)構(gòu)領(lǐng)域中重要的研究方向和前沿技術(shù)。對(duì)適用于傳感器的新結(jié)構(gòu)，對(duì)具有高精度、高速度等性能的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究也是世界各國爭先研究的傳感器技術(shù)課題之一。但是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能受其幾何參數(shù)的影響非常大，也影響了并聯(lián)機(jī)器人的廣泛運(yùn)用。因此在并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，選擇一套合理的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)來達(dá)到期望的、最佳的性能是特別重要的。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)這個(gè)領(lǐng)域，總是最具有挑戰(zhàn)性的課題之一。

目前對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸綜合研究，有運(yùn)用代數(shù)法針對(duì)工作空間[5]、條件數(shù)[6]等單方面進(jìn)行尺寸綜合。因此，尺寸綜合也需要考慮多個(gè)變量對(duì)多種目標(biāo)函數(shù)的影響，從而有效提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能。現(xiàn)有的綜合方法大多數(shù)是采用傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，存在著優(yōu)化效果不明顯、優(yōu)化方案不可行等問題。因此，根據(jù)Delta[7-9]并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特征，結(jié)合一般傳感器結(jié)構(gòu)的性能指標(biāo)。設(shè)計(jì)多組優(yōu)化方案，對(duì)多目標(biāo)尺寸綜合的方法進(jìn)行研究，為適用于傳感器設(shè)備等諸多領(lǐng)域提供技術(shù)支持。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 綜合方法

尺寸綜合是實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)的最終目標(biāo)，具體考慮動(dòng)平臺(tái)需要實(shí)現(xiàn)的能力例如運(yùn)動(dòng)靈活度、精度等，并兼顧工作空間、支鏈干涉多種因素，以其中某種性能最優(yōu)為目標(biāo)，求出最合適的尺度參數(shù)。

針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)多的問題，采取目標(biāo)函數(shù)的綜合方法。其核心是將所有需要考慮的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，能夠解決傳統(tǒng)方法不能解決設(shè)計(jì)參數(shù)過多的問題。利用優(yōu)化算法在設(shè)計(jì)參數(shù)的可能解空間搜索出使目標(biāo)函數(shù)值最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)。

1) 優(yōu)化算法

由于傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不僅需要目標(biāo)函數(shù)的數(shù)值，還需要其他輔助信息，例如導(dǎo)數(shù)值才能進(jìn)行搜索和優(yōu)化。針對(duì)傳統(tǒng)優(yōu)化方法的缺陷，采用遺傳算法[10]作為優(yōu)化算法。其將目標(biāo)函數(shù)直接轉(zhuǎn)化為適應(yīng)度函數(shù)。由于其進(jìn)化特質(zhì)，遺傳算法可以處理實(shí)際問題中非常復(fù)雜的設(shè)計(jì)問題。

表1所示是遺傳算法GA的優(yōu)化參數(shù)設(shè)置，包括初始種群的數(shù)量、最大遺傳代數(shù)、變異率和代溝率的設(shè)定。其中變量數(shù)目則根據(jù)實(shí)際機(jī)構(gòu)設(shè)定，Delta機(jī)構(gòu)變量數(shù)目則定為3。

表1 優(yōu)化參數(shù)

2) 約束處理

在遺傳算法中，核心是適應(yīng)度函數(shù)的建立。在尺寸綜合的過程中，通常會(huì)有約束條件。由于約束條件在遺傳算法中無法直接運(yùn)用，需將有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題，進(jìn)而構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，并根據(jù)流程實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題的求解。

求解約束優(yōu)化的方法包括罰函數(shù)法、梯度投影法、網(wǎng)格法等。其中罰函數(shù)法的應(yīng)用最廣泛。罰函數(shù)法的核心就是將約束和目標(biāo)函數(shù)融合為新的函數(shù)，也就是將有約束轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束。所以針對(duì)上述問題采用罰函數(shù)法進(jìn)行約束處理。

綜上，提出采用目標(biāo)函數(shù)、罰函數(shù)法和遺傳算法的多目標(biāo)尺寸優(yōu)化作為機(jī)構(gòu)尺寸設(shè)計(jì)的方法。

1.2 研究對(duì)象簡介

以少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中適用于高速場(chǎng)合的Delta機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，其三維仿真模型如圖1所示。

圖1 三維模型

該機(jī)構(gòu)由動(dòng)靜平臺(tái)和3條完全一致的支鏈組成。在每條支鏈上，定桿下端與下面的靜平臺(tái)以轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，平行四邊形機(jī)構(gòu)及定桿和上面的動(dòng)平臺(tái)均以轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡潔易分析[7]91，可知其具有3個(gè)自由度，因?yàn)槠渲?組平行四邊形機(jī)構(gòu)消除了動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，只保留了空間3個(gè)平動(dòng)自由度。

1) 雅可比矩陣

因?yàn)檠趴杀染仃囀菍?duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)、誤差等研究的一個(gè)重要參考，所以尺寸綜合必須先進(jìn)行雅可比矩陣求解。雅可比矩陣是動(dòng)平臺(tái)在笛卡爾空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)速度與驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度之間的映射。

機(jī)構(gòu)輸入和輸出之間的關(guān)系式如下所示。

(1)

根據(jù)雅可比矩陣的定義，整理并簡化式(1)得到雅可比矩陣：

J=JQ-1Jq

(2)

(3)

(4)

式中JQ、Jq分別表示約束方程對(duì)輸出位移和輸入驅(qū)動(dòng)角的偏導(dǎo)。

2) 性能指標(biāo)

為了衡量機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的好壞，需要定義目標(biāo)函數(shù)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。其中衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)上某一位置運(yùn)動(dòng)靈巧度的值為局部條件數(shù)k，公認(rèn)雅可比矩陣的范數(shù)是條件數(shù)，具體表達(dá)式如式(5)：

(5)

為了更全面進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，還需考慮機(jī)構(gòu)的速度指標(biāo)。而衡量機(jī)構(gòu)速度大小的值為速度極值，定義為矩陣JTJ的最小特征值的開方。其中J為上節(jié)雅可比矩陣。除了上述運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，機(jī)構(gòu)的剛度性能不僅能影響機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，而且決定機(jī)構(gòu)在負(fù)載下的定位精度，因此剛度是機(jī)構(gòu)非常重要的設(shè)計(jì)指標(biāo)。對(duì)于1個(gè)機(jī)械系統(tǒng)，機(jī)構(gòu)的剛度矩陣為S=K(JTJ)，K為系統(tǒng)變形系數(shù)；因此可以利用剛度矩陣的特征數(shù)值作為衡量機(jī)構(gòu)剛度性能的性能指標(biāo)。

定義剛度矩陣的條件數(shù)Ks為剛度指標(biāo)，具體表達(dá)式如式(6)：

(6)

因此，得到3個(gè)衡量機(jī)構(gòu)性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

2 尺寸綜合實(shí)例

多個(gè)要求即需要設(shè)計(jì)多個(gè)目標(biāo)，讓所有目標(biāo)都達(dá)到最小，幾乎是不可能的事?；谝陨蠁栴}，提出將優(yōu)化目標(biāo)按照重要性進(jìn)行分類，主要分為4類：必要性能(優(yōu)化約束)、最優(yōu)性能、重要性能、次要性能。 根據(jù)工程實(shí)際確定性能的重要性，基于權(quán)重系數(shù)變換法對(duì)于需要優(yōu)化的多個(gè)目標(biāo)，分別賦予權(quán)重wi。wi的大小表示目標(biāo)的重要程度，對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行求解。

下面針對(duì)多種具體設(shè)計(jì)要求，采用上述優(yōu)化方法對(duì)Delta機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺寸綜合。

2.1 基本參數(shù)

a) 機(jī)構(gòu)參數(shù)

設(shè)定Delta機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量：X=[R,L1,L2]T，其中:R為動(dòng)靜平臺(tái)半徑差，L1和L2分別為機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)桿和從動(dòng)桿桿長。根據(jù)工程實(shí)際，設(shè)定Delta機(jī)構(gòu)的初始參數(shù)：L1=72cm，L2=50cm，R=1cm。

b) 設(shè)計(jì)條件

設(shè)定需要設(shè)計(jì)的必要條件。

1) 將工作空間設(shè)定為必要性能，設(shè)定其工作空間≥50 cm3(以50 cm為半徑的球體空間)。

2) 設(shè)定機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)優(yōu)化的具體位姿P0(0,0,50)，表示目標(biāo)函數(shù)需在P0處達(dá)到最小值。

c) 約束條件

生產(chǎn)實(shí)際中，存在很多因素影響機(jī)構(gòu)運(yùn)行，所以設(shè)計(jì)需滿足以下條件。

1) 機(jī)構(gòu)總體尺寸需在合理的范圍，桿件之間的軸線距離應(yīng)該大于桿件的直徑，并且機(jī)構(gòu)上需要安裝電機(jī)，所以需滿足條件：驅(qū)動(dòng)桿L1≥L1min。L1min為桿件直徑的最小值，可得約束1：

y1=L1min-L1≤0

(7)

2) 因?yàn)殂q鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)是有限制的，不能超過一定的值，所以存在約束：θi<θmax。θmax為鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)角的最大值，可得約束2：

y2=θi-θmax<0

(8)

除上述條件，Delta綜合設(shè)計(jì)模型還需要具體的設(shè)計(jì)要求。

2.2 雙目標(biāo)優(yōu)化

a) 雙目標(biāo)優(yōu)化模型

考慮到實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)構(gòu)會(huì)廣泛應(yīng)用到各種環(huán)境，所以對(duì)設(shè)計(jì)而言就需要多樣化?；谏鲜鼋Y(jié)論，方案1以靈巧度k、剛度最優(yōu)為目標(biāo)。由上節(jié)性能指標(biāo)和設(shè)定條件可知方案1的目標(biāo)函數(shù)：

(9)

式(9)表示分別以條件數(shù)最小和剛度條件數(shù)最小的2個(gè)目標(biāo)函數(shù)?；谠O(shè)計(jì)多樣性，對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行分類。此方案以條件數(shù)為最優(yōu)性能，則其數(shù)量級(jí)系數(shù)n1=1，權(quán)重系數(shù)w1=0.7；以速度極值為重要性能，則其數(shù)量級(jí)系數(shù)n2=106，權(quán)重系數(shù)w2=0.3。因此，得到適應(yīng)度函數(shù)：

(10)

上述為方案1的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

b) 結(jié)果分析

根據(jù)雙目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，利用遺傳算法對(duì)Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行方案1的優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終得到尺寸參數(shù)。對(duì)運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行圓整，將優(yōu)化后的圓整結(jié)果與優(yōu)化前數(shù)值進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)比結(jié)果如表2所示；優(yōu)化過程中解和種群均值隨迭代次數(shù)而變化的過程如圖2所示。分析結(jié)果可總結(jié)如下：

1) 由表2與圖2可知，方案1的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果與優(yōu)化前數(shù)值相比，條件數(shù)k減小到3.025 6，剛度條件數(shù)ks減小到3.451 7e+03；

2) 將遺傳算法優(yōu)化得到的優(yōu)化變量代入約束條件函數(shù)式當(dāng)中，均能夠滿足約束條件的要求；

3) 如圖2所示方案1經(jīng)過1 000次迭代，種群對(duì)環(huán)境的適應(yīng)能力逐漸提高，適應(yīng)度函數(shù)最佳值最終趨于平穩(wěn)，并且其優(yōu)化速度非常高。

表2 雙目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

圖2 雙目標(biāo)優(yōu)化過程

2.3 三目標(biāo)優(yōu)化

a) 三目標(biāo)優(yōu)化模型

為了更好更全面地設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，方案2以靈巧度k、速度極值、剛度最優(yōu)為目標(biāo)，相比雙目標(biāo)優(yōu)化多了速度極值為最優(yōu)的條件。

因此其目標(biāo)函數(shù)由3個(gè)性能指標(biāo)構(gòu)成，具體如式(11)：

(11)

式(11)表示求條件數(shù)最小、剛度條件數(shù)最小以及速度極值倒數(shù)最小的解。根據(jù)性能分類，以條件數(shù)為最優(yōu)性能，其數(shù)量級(jí)系數(shù)n1=1，權(quán)重系數(shù)w1=0.5；以剛度為重要性能，其數(shù)量級(jí)系數(shù)n2=106，權(quán)重系數(shù)w2=0.3。以速度極值為次要性能，其數(shù)量級(jí)系數(shù)n3=106，權(quán)重系數(shù)w3=0.2。因此，得到適應(yīng)度函數(shù)：

(12)

上述為三目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

b) 結(jié)果分析

利用遺傳算法對(duì)Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行方案2的優(yōu)化設(shè)計(jì)，根據(jù)三目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型進(jìn)行尺寸綜合，優(yōu)化過程與結(jié)果如圖3、表3所示。

圖3 三目標(biāo)優(yōu)化過程

表3 三目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

分析結(jié)果可總結(jié)如下：

1) 由圖3與表3可知，方案2的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果與優(yōu)化前數(shù)值相比，條件數(shù)k減小到4.525 7，剛度條件數(shù)ks減小到1.515 2e+05，速度極值增大到118.383 0。

2) 遺傳算法優(yōu)化得到的優(yōu)化變量代入約束條件函數(shù)式當(dāng)中，均能夠滿足約束條件的要求。

3) 如圖3所示經(jīng)過1 000次迭代，和方案1類似種群對(duì)環(huán)境的適應(yīng)能力逐漸提高，適應(yīng)度函數(shù)最佳值最終趨于平穩(wěn)，而優(yōu)化速度相比方案1則有所下降。

3 結(jié)語

以Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，針對(duì)不同設(shè)計(jì)要求，提出以性能要求分類為前提基于遺傳算法和目標(biāo)函數(shù)的尺寸綜合方法。以實(shí)例驗(yàn)證了綜合方法的可行性。方案1和方案2綜合出雙目標(biāo)和三目標(biāo)為最優(yōu)的Delta機(jī)構(gòu)，并且保證其符合工作過程中設(shè)定的約束。

后續(xù)可以考慮動(dòng)力學(xué)方面的性能和更多方面的約束，進(jìn)一步深入研究本課題。本文研究有利于提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能，為傳感器新結(jié)構(gòu)提供理論依據(jù)及技術(shù)支持。