王磊 ，范宜仁 ，袁超，巫振觀 ，鄧少貴 ，趙偉娜

（1. 中國(guó)石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580；2. 海洋國(guó)家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)與探測(cè)技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266071；3. 中國(guó)石油大學(xué)CNPC測(cè)井重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266580；4. 中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京 100083；5. 中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所流固耦合系統(tǒng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190）

0 引言

地層界面位置的實(shí)時(shí)確定是隨鉆地質(zhì)導(dǎo)向的關(guān)鍵之一，其對(duì)準(zhǔn)確鉆井與油氣產(chǎn)能最大化具有重要意義[1-2]。雖然利用隨鉆方位電磁波測(cè)井響應(yīng)特征可以定性判斷界面位置，但復(fù)雜的井下環(huán)境導(dǎo)致測(cè)井響應(yīng)極為復(fù)雜[3]，井眼到地層界面的定量評(píng)價(jià)須通過(guò)資料的反演處理方可獲得。

大斜度井/水平井電測(cè)井資料處理通常為復(fù)雜的三維（3D）問(wèn)題，反演時(shí)需考慮地層的傾斜度、各向異性及鉆井液侵入等各種問(wèn)題[4-6]。當(dāng)忽略井眼大小、鉆井液侵入且假定地層傾斜方向沿某一方向保持不變時(shí)，電測(cè)井資料反演可簡(jiǎn)化為二維（2D）反演[7-8]。但是，電測(cè)井3D和2D反演總體仍不成熟，這主要?dú)w因于：①井下電測(cè)井測(cè)量信息數(shù)量和種類少，導(dǎo)致3D和2D反演結(jié)果存在一定不確定性；②缺乏3D/2.5D正演快速算法；③反演參數(shù)過(guò)多，Jacobian矩陣計(jì)算量大。目前，工業(yè)界普遍采用基于滑動(dòng)開(kāi)窗的降維處理策略對(duì)隨鉆電磁波類測(cè)井資料進(jìn)行快速處理。Yang等忽略地層橫向非均質(zhì)的影響，基于簡(jiǎn)化的 3層反演模型消除了視電阻率異?！瓣鹘恰盵9]。利用同樣的反演方法，Li和Zhou實(shí)現(xiàn)了鄰近地層界面的實(shí)時(shí)提取[10]。因此，將復(fù)雜的3D反演簡(jiǎn)化為1D問(wèn)題，可以大大簡(jiǎn)化反演算法和模型的復(fù)雜程度。

隨鉆方位電磁波資料 1D處理的關(guān)鍵在于簡(jiǎn)化模型的選取和反演算法的確定。目前，對(duì)隨鉆方位電磁波測(cè)井資料的處理僅限于雙界面模型，而雙界面模型的適用性和單、多界面模型的可行性仍有待研究。一般而言，反演算法的選取依賴于反演模型。梯度類算法具有迭代次數(shù)少、反演速度快等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于基于雙界面模型的隨鉆方位電磁波測(cè)井資料實(shí)時(shí)處理。但梯度算法的準(zhǔn)確性取決于模型的初始值，若初始模型選取不當(dāng)，則反演結(jié)果的準(zhǔn)確性難以保證，可能導(dǎo)致地質(zhì)導(dǎo)向決策失誤等問(wèn)題[11]。相比于雙界面模型，多界面模型的代價(jià)函數(shù)極小值更多，且待反演參數(shù)已知信息少，梯度類算法不再適用。隨機(jī) Bayesian反演算法具有全局收斂特性、無(wú)需計(jì)算 Jacobian矩陣等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)在電測(cè)井反演中的應(yīng)用逐漸增多[12]。目前，隨鉆方位電磁波測(cè)井資料處理一般采用 Gauss-Newton算法，Bayesian反演算法的應(yīng)用尚未見(jiàn)報(bào)道，其收斂性與反演速度等也有待研究。

本文首先介紹了復(fù)雜地層模型的反演降維策略和正則化Gauss-Newton算法、Bayesian算法原理；然后，針對(duì)降維后的 1D反演問(wèn)題，對(duì)比分析了不同反演模型、反演算法的適用性與反演效果；最后，分別利用優(yōu)選后的反演模型與最優(yōu)化算法對(duì)現(xiàn)場(chǎng)資料進(jìn)行處理，取得了良好的應(yīng)用效果。

1 隨鉆方位電磁波測(cè)井原理與反演降維策略

1.1 隨鉆方位電磁波測(cè)井原理

本節(jié)以PeriScope儀器為例，簡(jiǎn)要介紹隨鉆方位電磁波測(cè)井測(cè)量原理。PeriScope包括兩類測(cè)量信息：視電阻率信息與地質(zhì)信息（見(jiàn)圖1a），前者通過(guò)采集軸向發(fā)射線圈 T在軸向接收線圈 R1和 R2處激發(fā)的電勢(shì)，并利用（1）式求出兩者的幅度比（Att）和相位差（PS）。最后，利用轉(zhuǎn)換圖版，將相位差和幅度比轉(zhuǎn)換為視相位差電阻率和視幅度比電阻率。

圖1b引入傾斜線圈，線圈法向方向與儀器軸夾角為45°。利用鉆鋌旋轉(zhuǎn)，測(cè)量不同方位角情況下接收線圈處的電勢(shì)，根據(jù)（2）式將信息轉(zhuǎn)化為地下實(shí)際地質(zhì)條件下的相位差和幅度比。該相位差和幅度比包含地層電阻率及界面位置等信息，因此通常被稱為地質(zhì)信息。

圖1 PeriScope儀器基礎(chǔ)線圈設(shè)計(jì)

1.2 降維處理與反演模型

在電測(cè)井儀器探測(cè)尺度下，沿某一方向地層性質(zhì)可認(rèn)為保持不變，這樣褶皺等地質(zhì)構(gòu)造的電磁波測(cè)井資料反演可簡(jiǎn)化至 2D，地層模型如圖 2a所示；即認(rèn)為地層性質(zhì)沿x和y方向變化，沿z方向同一地層性質(zhì)保持不變。對(duì)2D模型進(jìn)行逐步開(kāi)窗處理，將復(fù)雜的反演問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列的1D地層反演（地層性質(zhì)僅沿y方向變化，沿x和z方向同一地層性質(zhì)保持不變）。經(jīng)降維處理后，反演速度的提升主要來(lái)自3個(gè)方面：①對(duì)每個(gè)窗口采用1D解析解可以滿足實(shí)時(shí)正演的需要[13]，每個(gè)測(cè)量點(diǎn)所需計(jì)算時(shí)間為10-4～10-3s；②簡(jiǎn)化后的1D反演模型待反演參數(shù)極少；③1D反演過(guò)程中，內(nèi)存等占用量可以忽略不計(jì)。對(duì)于隨鉆方位電磁波測(cè)井，1D反演模型包括：多界面反演模型（見(jiàn)圖2b，地層層數(shù)多于3層）、雙界面反演模型（見(jiàn)圖2c，地層層數(shù)為3層）與單界面反演模型（見(jiàn)圖2d，地層層數(shù)為2層）。

圖2 地層反演模型降維處理（圖中不同顏色代表不同地層）

2 梯度反演與隨機(jī)反演方法

本文首先采用常見(jiàn)的Gauss-Newton算法，在代價(jià)函數(shù)中引入自適應(yīng)乘子正則化項(xiàng)，以解決傳統(tǒng)方法正則化選取困難的問(wèn)題。同時(shí)，為獲取復(fù)雜模型的全局最優(yōu)解，引入了隨機(jī)Bayesian算法。

2.1 乘子正則化Gauss-Newton算法

針對(duì)隨鉆方位電磁波測(cè)井資料的非線性反演問(wèn)題，基于梯度反演方法，第k步迭代時(shí)代價(jià)函數(shù)可表示為[14]：

上式中δ為一個(gè)定值，其可通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)獲取。mp為參考模型矢量，反演過(guò)程中可將其設(shè)置為上一次迭代時(shí)的模型狀態(tài)，即：

采用 Gauss-Newton最優(yōu)化方法對(duì)（3）式求解，令其對(duì)m導(dǎo)數(shù)為零，第k次迭代 Ck0?/?m= ，得：

2.2 Bayesian反演算法

根據(jù)Bayesian理論，模型解可以看作一隨機(jī)變量，且滿足某一概率密度函數(shù)分布，即后驗(yàn)分布。假定先驗(yàn)概率密度滿足均勻分布，且似然概率密度函數(shù)滿足正態(tài)分布，則后驗(yàn)分布可由下式表示[12]：

對(duì)于Bayesian反演，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如何高效采樣以獲取似然函數(shù)分布，本文采用馬科夫鏈-蒙特卡洛算法（MCMC）實(shí)現(xiàn)上述采樣。

MCMC的關(guān)鍵在于構(gòu)建一條馬科夫鏈，使其滿足如下條件：

為滿足上式，采用“Metropolis-Hasting”（M-H）算法，引入接受概率函數(shù)，以使：

MCMC具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：根據(jù)當(dāng)前迭代模型m1和轉(zhuǎn)移函數(shù)，生成下一候選模型m2；然后計(jì)算接收概率并與隨機(jī)數(shù)β相比較，若則返回模型m2，反之返回模型m1，重復(fù)上述步驟直至滿足終止條件。

3 反演模型與反演算法對(duì)比

首先從最常用的雙界面模型入手，探討其適用范圍，同時(shí)探討Gauss-Newton和Bayesian反演效果的差異；然后考察單界面、多界面反演的可行性，并與雙界面模型的反演效果進(jìn)行對(duì)比；最后，綜合反演速度與反演精度，給出反演模型的選取方法。

3.1 雙界面反演

圖3 層厚為2 m砂泥巖互層模型的PeriScope響應(yīng)

圖4 中間層厚為2.0 m的砂泥巖互層雙界面反演模型反演結(jié)果

為驗(yàn)證雙界面反演模型與反演算法的正確性，建立如圖3a所示的砂泥巖互層模型，其中砂巖和泥巖電阻率分別為10.0 ?·m和1.0 ?·m。模型最上層和最下層層厚為2.5 m，中間地層層厚均為2 m。儀器自上而下穿過(guò)地層時(shí)，視電阻率與幅度比、相位差地質(zhì)信息的響應(yīng)見(jiàn)圖3b—3d，可見(jiàn)在測(cè)井儀器穿過(guò)地層界面附近時(shí)（如圖3中虛線所示），其響應(yīng)值均發(fā)生了突變。圖4a為采用Gauss-Newton算法反演得到的二維窗簾圖，其中每點(diǎn)的顏色表示地層電阻率值，可見(jiàn)在測(cè)井儀器穿過(guò)地層界面時(shí)（如圖中虛線所示），其電阻率值發(fā)生了明顯突變。對(duì)比圖3a、圖4a可知，圖4a中電阻率突變點(diǎn)（如圖中虛線所示）所對(duì)應(yīng)的界面位置與圖3a地層真實(shí)模型基本一致，從而驗(yàn)證了Gauss-Newton算法的準(zhǔn)確性與雙界面反演模型的可行性。值得注意的是，當(dāng)?shù)貙咏缑婢嗑草^遠(yuǎn)時(shí)，難以準(zhǔn)確重構(gòu)遠(yuǎn)處的地層界面，但這并不影響地質(zhì)導(dǎo)向的進(jìn)行。二維窗簾圖不僅給出了儀器附近地層的上/下界面位置，也直觀地初步顯示了地層結(jié)構(gòu)分布。圖4b為基于Bayesian算法的反演結(jié)果，與圖4a中Gauss-Newton反演結(jié)果相比，Bayesian算法也可準(zhǔn)確確定地層界面位置信息（如圖4b中虛線所示），但其地層界面處的電阻率有“毛邊”現(xiàn)象，穩(wěn)定性略差。

為研究雙界面模型在不同層厚地層的適用性，建立層厚1.0 m砂泥巖薄互層（最上層和最下層層厚為2.0 m），其中砂巖和泥巖電阻率分別為 10.0 ?·m和 1.0?·m（見(jiàn)圖5a）。分別利用Gauss-Newton和Bayesian算法進(jìn)行處理，其反演結(jié)果如圖5b—5d，可見(jiàn)兩種算法均可確定地層界面位置，但在地層界面處電阻率變化的穩(wěn)定性變差，尤其后者Bayesian算法反演結(jié)果“毛邊”現(xiàn)象嚴(yán)重（見(jiàn)圖中圓圈處）。對(duì)比圖4和圖5可以得到以下結(jié)論：①雙界面反演適用于層厚大于1.0 m的地層，層厚小于1.0 m時(shí)，反演結(jié)果的穩(wěn)定性變差；②Gauss-Newton反演結(jié)果略優(yōu)于Bayesian結(jié)果，對(duì)于Bayesian算法而言，不斷增加采樣次數(shù)可以提高反演精度。

3.2 單界面反演

為驗(yàn)證單界面反演模型的可行性與適用性，建立5層砂泥互層模型?；贕auss-Newton算法與基于單、雙界面模型，反演后的地層界面位置如圖 6所示，圖中紅、藍(lán)色點(diǎn)分別為雙、單界面模型反演地層界面位置。對(duì)層厚為3 m的儲(chǔ)集層（見(jiàn)圖6a），儀器距鄰近地層界面距離小于 0.9 m時(shí)，單界面反演可獲得準(zhǔn)確結(jié)果。當(dāng)儀器距鄰近地層界面距離大于0.9 m時(shí)，方位地質(zhì)信息受多個(gè)界面的影響，導(dǎo)致單界面反演得到的儀器距鄰近地層界面距離偏小。隨著地層厚度增大，單界面反演結(jié)果準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性不斷提高，地層厚度大于4.0 m時(shí)（見(jiàn)圖6b—6d），基于單界面和雙界面模型的反演結(jié)果基本一致（反演得到的地層界面位置基本一致）。一般而言，當(dāng)儲(chǔ)集層厚度大于4.0 m時(shí)，基于單界面模型能夠準(zhǔn)確反演距離儀器 1.8 m范圍內(nèi)地層上、下界面，可以滿足實(shí)時(shí)地質(zhì)導(dǎo)向的需要。同樣也可基于Bayesian算法和單界面反演模型獲取與圖6一致的反演效果，此處不再贅述。

圖5 中間層厚為1.0 m的砂泥巖薄互層雙界面反演模型反演結(jié)果

圖6 單界面模型與雙界面模型反演得到的地層界面位置

3.3 四界面反演

在層厚小于1.0 m時(shí)，儀器探測(cè)范圍內(nèi)可能存在多個(gè)界面，過(guò)度簡(jiǎn)化的單界面和雙界面模型不再適用。此時(shí)，需采用更為復(fù)雜的多界面模型方可精細(xì)刻畫儀器附近的地層界面分布。而模型層數(shù)的增加一方面導(dǎo)致反演參數(shù)變多，另一方面導(dǎo)致代價(jià)函數(shù)局部極小值數(shù)量迅速增加，梯度類算法不再適用，故在本節(jié)中筆者僅考慮Bayesian反演方法。為說(shuō)明多界面反演模型的優(yōu)越性，建立圖7a所示模型，其中中間層為0.6 m的高電阻率薄層（在測(cè)井軌跡上對(duì)應(yīng)的橫向距離分別約為135 m和165 m）。分別采用單界面、雙界面和四界面模型，反演得到的二維窗簾圖見(jiàn)圖7b—7d。由圖7b可以看出，單界面反演僅能在上、下無(wú)限厚地層處獲取鄰近地層界面位置，難以確定中間薄層的存在（在橫向距離135 m和165 m處電阻率幾乎無(wú)突變）；使用雙界面模型時(shí)（見(jiàn)圖7c），儀器由上而下接近或遠(yuǎn)離中間薄層時(shí)，可得到靠近儀器的一側(cè)界面位置，但儀器在中間薄層時(shí)，無(wú)法準(zhǔn)確確定薄層上下界面位置（在橫向距離135 m、165 m處電阻率值突變明顯，但135～165 m處電阻率值不穩(wěn)定）；相比之下，采用四界面反演模型（見(jiàn)圖7d），不僅可以給出儀器所在層的上下界面，還能得到鄰層界面（在橫向距離135 m、165 m處電阻率值突變明顯，135～165 m處電阻率值穩(wěn)定）。以橫向距離135 m處為例，經(jīng)四界面反演后可見(jiàn)在垂直深度1.0、2.3和2.9 m處存在3個(gè)電阻率突變界面（見(jiàn)圖7d橫向虛線），即存在3個(gè)地層界面，與圖7a中地層界面位置一致。四界面模型精確重構(gòu)了薄層處地層結(jié)構(gòu)，其可用于儲(chǔ)集層結(jié)構(gòu)的精細(xì)評(píng)價(jià)。

圖7 四界面模型及Bayesian反演后的二維窗簾圖

3.4 反演模型與反演算法優(yōu)選

反演速度是決定反演模型選取的另一重要因素。Gauss-Newton反演速度主要取決于初始值的數(shù)量及迭代次數(shù)，而Bayesian反演則是取決于MCMC采樣量。對(duì)單界面和雙界面反演模型，Gauss-Newton算法每個(gè)測(cè)量點(diǎn)用時(shí)分別為0.3 s和3.0 s，而Bayesian需要采樣點(diǎn)數(shù)分別為5 000和20 000次，每個(gè)測(cè)量點(diǎn)耗時(shí)15 s和60 s。對(duì)四界面反演模型，Bayesian需要進(jìn)行100 000次采樣耗時(shí)500 s。綜合考慮反演速度、反演精度與反演模型最簡(jiǎn)化的原則，反演模型與反演算法選取可參見(jiàn)表1。

表1 反演模型與反演算法選取表

4 實(shí)際資料處理

本節(jié)通過(guò)圖 8所示的某水平井實(shí)例說(shuō)明隨鉆方位電磁波測(cè)井儀器在地質(zhì)導(dǎo)向中的應(yīng)用。該水平井可分為 3部分：A段，水平井著陸；B段，水平井鉆穿靶層下界面后，調(diào)整鉆進(jìn)方向重新鉆入砂巖儲(chǔ)集層；C段，控制井眼軌跡，使其一直處于目的層內(nèi)。

若無(wú)相位差和幅度比地質(zhì)信息曲線時(shí)，一般利用實(shí)測(cè)電阻率、巖性曲線與鄰近導(dǎo)眼井提取的地層序列進(jìn)行相關(guān)對(duì)比，建立地層模型。在A段和B段，基于實(shí)時(shí)對(duì)比結(jié)果可以較好地確定地層界面與井眼軌跡的相對(duì)位置關(guān)系。而在C段橫向距離2 455～2 535 m處，隨鉆電磁波測(cè)井曲線出現(xiàn)異常下降（見(jiàn)圖8d中兩條藍(lán)色虛線間電阻率），僅通過(guò)相關(guān)對(duì)比難以判斷低電阻率圍巖上下位置，測(cè)井解釋存在不確定性且鉆井時(shí)很容易穿出目的層。相比而言，利用隨鉆方位電磁波測(cè)井（見(jiàn)圖8a—8c藍(lán)色虛線間測(cè)井曲線）可提前預(yù)知地層上界面位置（隨鉆方位電磁波測(cè)井值稍變大，遠(yuǎn)小于鉆穿目的層時(shí)異常值，說(shuō)明接近目的層上界面），從而調(diào)整井眼軌跡以避免鉆出目的層，同時(shí)也給出了明確的地層結(jié)構(gòu)分布。

圖8 基于隨鉆方位電磁波測(cè)井資料的水平井實(shí)時(shí)解釋結(jié)果（圖8e中不同顏色代表不同地層）

5 結(jié)論

通過(guò)降維可以把隨鉆方位電磁波測(cè)井資料 3D反演問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為可行的1D反演處理，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)地層界面位置信息的實(shí)時(shí)確定。當(dāng)靶層厚度大于 4.0 m時(shí)，采用單界面反演模型可獲取距離儀器最近的地層界面；靶層厚度為1.0～4.0 m時(shí)，采用雙界面反演模型可獲取準(zhǔn)確的地層上、下界面位置與儲(chǔ)集層電阻率信息；當(dāng)靶層厚度小于1.0 m時(shí)，單/雙界面反演模型不再適用，此時(shí)需采用多界面反演模型。對(duì)單界面和雙界面反演模型，采用正則化Gauss-Newton方法即可實(shí)現(xiàn)對(duì)隨鉆方位電磁波測(cè)井資料的地層界面實(shí)時(shí)提取，每個(gè)采樣點(diǎn)反演耗時(shí)分別為0.3 s和3.0 s；對(duì)多界面反演模型，基于MCMC采樣的Bayesian最優(yōu)化算法可實(shí)現(xiàn)地層界面的精細(xì)解釋，每個(gè)采樣點(diǎn)反演耗時(shí)為500 s。實(shí)際資料處理結(jié)果表明，基于優(yōu)選后的反演模型和反演算法可以實(shí)現(xiàn)鄰近地層界面的精確提取；隨鉆方位電磁波測(cè)井降低了傳統(tǒng)電磁波測(cè)井水平井解釋結(jié)果的不確定性，大大提高了隨鉆地質(zhì)導(dǎo)向能力。

致謝：感謝美國(guó)德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校 Carlos Torres-Verdin教授在反演算法上的指導(dǎo)，感謝Chevron公司汪涵明博士在方位電磁波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)處理過(guò)程中提供的幫助。

符號(hào)注釋：

Att——幅度比，dB；Att′——實(shí)際條件下幅度比，dB；Att′SAD1，Att′SAD4——頻率 100 kHz 和 400 kHz、源距 243.84 cm（96 in）的幅度比，dB；Att′SAS4——頻率 400 kHz、源距 86.36 cm（34 in）的幅度比，dB；——代價(jià)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)；——實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)；——實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與正演響應(yīng)的L2范數(shù)；H——靶層厚度，m；Hup，Hdown——儀器記錄點(diǎn)與地層上、下界面的距離，m；Imag——取虛部函數(shù)；J——雅克比矩陣；k——迭代次數(shù)；m——待反演的參數(shù)矢量；m1、m2——任意模型；N——地層界面數(shù)；——先驗(yàn)概率密度函數(shù)；——似然概率密度函數(shù)）——后驗(yàn)概率密度函數(shù)；PS——相位差，（°）；PS′——實(shí)際條件下相位差，（°）；PS′SPD1，PS′SPD4——頻率 100 kHz 和 400 kHz、源距 243.84 cm（96 in）的相位差，（°）；PS′SPS4——頻率 400 kHz、源距86.36 cm（34 in）的相位差，（°）；轉(zhuǎn)移核函數(shù)；Real——取實(shí)部函數(shù)；RA28H，RP28H——頻率 2 MHz、源距71.12 cm（28 in）的幅度比和相位差電阻率，?·m；RA40H，RP40H——頻率2 MHz、源距101.60 cm（40 in）的幅度比和相位差電阻率，?·m；——自適應(yīng)正則化項(xiàng)；Rs1，Rs2——單界面地層模型中圍巖電阻率，?·m；Rt——儀器所在層電阻率，?·m；Rup，Rdown——雙界面地層模型上、下圍巖等效電阻率——正演響應(yīng)；T——矩陣轉(zhuǎn)置；——同軸發(fā)射線圈在兩個(gè)同軸接收線圈處產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，——方位角為β1和β2時(shí)傾斜接收線圈處的電動(dòng)勢(shì)，V；x，y，z——直角坐標(biāo)系接受概率函數(shù)；β——隨機(jī)數(shù)；β1，β2——鉆鋌的旋轉(zhuǎn)方位角，（°）；θ——儀器與地層夾角，（°）；δ——實(shí)驗(yàn)獲取初始值。