徐金鳳

摘 要 數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，比較思想，假設(shè)，演繹思想等。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思想 教學(xué)中的運(yùn)用

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

今年，我有幸參加六年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)。經(jīng)過(guò)一年的教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)六年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)和中學(xué)教學(xué)思維有很大區(qū)別。

六年級(jí)是中小學(xué)的一個(gè)過(guò)渡階段，也是學(xué)生創(chuàng)造性探索學(xué)習(xí)的起步階段，這就確定了我們總的教學(xué)方向——培養(yǎng)學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)問題，創(chuàng)造性地解決問題的能力。六年級(jí)與五年級(jí)最大區(qū)別是六年級(jí)是小學(xué)與初中的銜接時(shí)段，具有特有的過(guò)渡性，這就決定這個(gè)階段的教學(xué)要兼顧小學(xué)基礎(chǔ)的積累和初中能力的提升。從幾何教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，四至六年級(jí)的要求主要是讓學(xué)生掌握?qǐng)D形的變換和位置，而七至九年級(jí)就上升到圖形與坐標(biāo)，圖形與證明。因此，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)要突出培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅要求學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還要求發(fā)展學(xué)生的能力，培養(yǎng)他們良好的個(gè)性品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。在實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于打好基礎(chǔ)和加深對(duì)知識(shí)的理解、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有著獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)，它是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)外，還應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。從初中階段就重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，將為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，會(huì)使學(xué)生終生受益。

所以在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)思想很重要。所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。所謂數(shù)學(xué)方法，是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的途徑、程序、手段，它具有過(guò)程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，因此，人們把它們合稱為數(shù)學(xué)思想方法。以下是初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)滲透的一些思想方法：

1數(shù)形結(jié)合思想

一般地，人們把代數(shù)稱為“數(shù)”而把幾何稱為“形”，數(shù)與形表面看是相互獨(dú)立，其實(shí)在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。

數(shù)形結(jié)合在各年級(jí)中都得到充分的利用。例如，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以通過(guò)比較點(diǎn)到圓心的距離與圓半徑兩者的大小來(lái)確定，直線與圓的位置關(guān)系，可以通過(guò)比較圓心到直線的距離與圓半徑兩者的大小來(lái)確定，圓與圓的位置關(guān)系，可以通過(guò)比較兩圓圓心的距離與兩圓半徑之和或之差的大小來(lái)確定。又如，勾股定理結(jié)論的論證、函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)、利用圖象求二元一次方程組的近似解、用三角函數(shù)解直角三角形等等都是典型的數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。再如，有理數(shù)的加法法則、乘法法則，不等式組的解集的確定都是利用數(shù)軸或其它實(shí)圖歸納總結(jié)出來(lái)的；實(shí)踐與探索中行程問題教學(xué)，經(jīng)常是利用線段圖解的方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生分析題中的數(shù)量關(guān)系。例如：八年級(jí)上冊(cè)課本中有這樣一題：已知一次函數(shù)Y=X+m和Y=-X+n的圖像都經(jīng)過(guò)A（-2，3）點(diǎn)，且與Y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，求三角形ABC的面積。在解這題時(shí)，分別用到代入消元法，把（-2，3）代入，分別求出m=6，n=2，然后再畫出Y=X+m和Y=-X+n的函數(shù)圖像，找出A、B、C三點(diǎn)的位置，再利用三角形的面積等于椎讇贅擼瑎？？=4，才能解題。在解題過(guò)程中用到了函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想。這題對(duì)學(xué)困生來(lái)說(shuō)比較困難，同時(shí)對(duì)大多數(shù)學(xué)生具有一定的挑戰(zhàn)，當(dāng)他們成功解決問題時(shí)，帶來(lái)了成功的喜悅，學(xué)生有了成就感，就有了自信。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記和理解；在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，不僅能夠提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學(xué)生遷移思維能力。同時(shí)，數(shù)學(xué)中的分類討論思想也屢次出現(xiàn)，鍛煉學(xué)生思考問題要從多角度考慮，不能只從一方面去看，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中有很多問題都該從多角度看。

2分類討論思想

分類思想方法不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的方法，數(shù)學(xué)的分類思想方法體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的分類及其分類的標(biāo)準(zhǔn)。如自然數(shù)的分類，若按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù)；按因數(shù)的個(gè)數(shù)分素?cái)?shù)和合數(shù)。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念。對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的正確、合理的分類取決于分類標(biāo)準(zhǔn)的正確、合理性，數(shù)學(xué)知識(shí)的分類有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理和建構(gòu)。分類討論即根據(jù)教學(xué)對(duì)象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在教學(xué)中，如果對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，就可以使大量紛繁的知識(shí)具有條理性。

如，在同一個(gè)圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，教學(xué)時(shí)常將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過(guò)圓心和圓周角的頂點(diǎn)，這時(shí)可能出現(xiàn)三種情況：（1）折痕是圓周角的一條邊，（2）折痕在圓周角的內(nèi)部，（3）折痕在圓周角的外部。驗(yàn)證時(shí)，要分三種情形來(lái)說(shuō)明，這里實(shí)際上也體現(xiàn)了分類討論的思想方法。還有，對(duì)三角形全等識(shí)別方法的探索，教材中的思考題：如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分（邊或角）分別對(duì)應(yīng)相等，那么有哪幾種可能的情況？同時(shí)，教材中對(duì)處理幾種識(shí)別方法時(shí)也采用分類討論，由簡(jiǎn)到繁，一步步得出，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生體驗(yàn)這種思想方法。

轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)階段也經(jīng)常用，我認(rèn)為它是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化未知為已知，化高次為低次等來(lái)解決問題的一種思想方法。在教學(xué)中也常常用到。

3轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想方法體系的主梁之一。在實(shí)數(shù)的運(yùn)算、解方程（組）、多邊形的內(nèi)角和、幾何證明等等的教學(xué)中都有讓學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想方法的認(rèn)識(shí)，學(xué)生有意無(wú)意接受到了轉(zhuǎn)化思想。如已知（x+y）2=11，xy=1求x2+y2的值，顯然直接代入無(wú)法求解，若先把所求的式子轉(zhuǎn)化到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，則易得：原式=9；又如“多邊形的內(nèi)角和”問題通過(guò)分解多邊形為三角形來(lái)解決，這都是轉(zhuǎn)化思想在實(shí)際問題中的具體體現(xiàn)。再如解方程（組）通過(guò)“消元”、“降次”最后求出方程（組）的解等也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。轉(zhuǎn)化的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題來(lái)解。實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。如在加法的基礎(chǔ)上，利用相反數(shù)的概念，化歸出減法法則，使加、減法統(tǒng)一起來(lái)，得到了代數(shù)和的概念；在乘法的基礎(chǔ)上，利用倒數(shù)的概念，化歸出除法法則，使互逆的兩種運(yùn)算得到統(tǒng)一。又如，對(duì)等腰梯形有關(guān)性質(zhì)的探索，除了教材中利用軸對(duì)稱方法外，還經(jīng)常通過(guò)作一腰的平行線、作底邊上的高、延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)等方法，把等腰梯形轉(zhuǎn)化到平行四邊形和三角形的知識(shí)上來(lái)。

除此之外，很多知識(shí)之間都存在著相互滲透和轉(zhuǎn)化：多元轉(zhuǎn)化為一元、高次轉(zhuǎn)化為低次、分式轉(zhuǎn)化為整式、一般三角形轉(zhuǎn)化為特殊三角形、多邊形轉(zhuǎn)化為三角形、幾何問題代數(shù)解法、恒等的問題用不等式的知識(shí)解答……

4比較思想

所謂比較，就是指在思維中對(duì)兩種或兩種以上的同類研究對(duì)象的異同進(jìn)行辨別。比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生要掌握越來(lái)越多的知識(shí)，這就要求學(xué)生要善于比較知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系。

例如，在因式分解的教學(xué)中，通過(guò)復(fù)習(xí)整式乘法，讓學(xué)生比較這兩種運(yùn)算的異同，明確因式分解與整式乘法是恒等變形，又是互逆運(yùn)算。如（a+b）（a-b）=a2-b2是整式乘法，a2-b2=（a+b）（a-b）是因式分解。在不等式的解法教學(xué)時(shí)，可以對(duì)比一元一次方程解法：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1這些步驟是一樣的。當(dāng)然，要特別比較化系數(shù)為1時(shí)兩者的不同之處。又如，全等三角形是相似三角形在相似比為1時(shí)的特例，兩個(gè)三角形相似和全等有它特定的內(nèi)在聯(lián)系，因此，全等三角形的識(shí)別方法可以類比相似三角形的識(shí)別方法。再如，軸對(duì)稱圖形、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形是意義不盡相同的概念，通過(guò)類比可以發(fā)現(xiàn)它們之間的異同，從而加深對(duì)這幾個(gè)概念的本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)。

5假設(shè)思想

假設(shè)思想是一種常用的推測(cè)性的數(shù)學(xué)思考方法。利用這種思想可以解一些填空題、判斷題和應(yīng)用題。有些題目數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，難以建立數(shù)量之間的聯(lián)系，或數(shù)量關(guān)系抽象，無(wú)從下手?？上葘?duì)題目中的已知條件或問題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，最后找到正確答案的一種思想方法。假設(shè)思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使得要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。

6演繹思想

演繹也是理智的活動(dòng)，但是和直觀不同，它們不是理智的單純活動(dòng)，必須先假定了某些真理（或定義）之后，然后再憑借這些定義推出一些結(jié)論。譬如：我們知道了三角形的定義和定理之后，可以推出一個(gè)三角形內(nèi)角的總和等于兩直角之和。所以直觀的功用是在于提供科學(xué)和哲學(xué)的最新原則。而演繹則是應(yīng)用這些原則來(lái)建立一些定理和命題。演繹并不要求像直觀所擁有的那種直接呈現(xiàn)出來(lái)的證明，它的確實(shí)性在某種程度上可以說(shuō)是記憶賦予它的。它通過(guò)一系列的間接論證就能得出結(jié)論，這就像我們握著一根長(zhǎng)鏈條的第一節(jié)就可以認(rèn)識(shí)它的最后一節(jié)一樣。這就是說(shuō)，直觀是發(fā)明的基本原則，演繹是導(dǎo)致最基本的結(jié)論。不過(guò)也有哲學(xué)家認(rèn)為演繹是有缺陷的，因?yàn)橛赏粋€(gè)原則往往會(huì)演繹出不同的結(jié)論，所以應(yīng)當(dāng)有另一個(gè)方法來(lái)糾正它。這個(gè)糾正的方法就是經(jīng)驗(yàn)，即所謂的訴諸事實(shí)?？傊庇^就是找到最簡(jiǎn)單、最無(wú)可懷疑、最無(wú)須辯護(hù)的人類知識(shí)元素，即發(fā)現(xiàn)最簡(jiǎn)單和最可靠的觀念或原理。然后對(duì)它們進(jìn)行演繹推理，導(dǎo)出全部確實(shí)可靠的解決方案。例如數(shù)學(xué)定理證明就是一種演繹推理。

總之，數(shù)學(xué)思想有利于學(xué)生成長(zhǎng)，從多方面鍛煉一個(gè)人的思維。在教學(xué)中，要多運(yùn)用。因?yàn)閿?shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要切切實(shí)實(shí)把握好上述幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)注意滲透的過(guò)程，依據(jù)課本內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，從七年級(jí)開始就有計(jì)劃的滲透，就一定能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力。