孫一

摘 要：普拉托根據(jù)“肥皂泡現(xiàn)象”提出了有關(guān)極小曲面的問題，因此又稱為普拉托問題。該問題自提出以來就引起了許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，并不斷取得突破性進(jìn)展。極小曲面是微分幾何領(lǐng)域中的一類重要的特殊曲面。由于其優(yōu)美的幾何性質(zhì)和力學(xué)性質(zhì)，極小曲面在眾多領(lǐng)域尤其是建筑方面有著非常重要的應(yīng)用，并在自然界中廣泛存在。本文從普拉托實(shí)驗(yàn)入手，介紹了極小曲面的由來及發(fā)展過程，列出了極小曲面方程并給出了幾種類型，最后重點(diǎn)討論了極小曲面的廣泛應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：普拉托實(shí)驗(yàn)；極小曲面方程；伯恩斯坦定理；膜結(jié)構(gòu)

中圖分類號(hào)：G633.65 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2018）19-0220-02

1 普拉托實(shí)驗(yàn)

著名的普拉托問題源于一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)。將一根金屬絲彎出一條封閉曲線，然后浸入肥皂液中，再輕輕提出，那么金屬框架上就會(huì)蒙上一層絢麗的肥皂膜。在表面張力的作用下，肥皂膜的勢(shì)能趨于最小，此時(shí)肥皂膜的形狀也具有最小的面積[1]。比利時(shí)物理學(xué)家普拉托對(duì)肥皂膜現(xiàn)象進(jìn)行了大量研究，總結(jié)其顯現(xiàn)的形狀，并于1873出版了著作《實(shí)驗(yàn)和理論流體靜力學(xué)》。他通過肥皂膜的有趣實(shí)驗(yàn)，確定了肥皂膜曲面的許多幾何性質(zhì)。他在書中提到，不論封閉曲線如何扭曲，神奇的自然界總能找到一種方式在上面張成一層肥皂膜。如果不考慮肥皂膜自身的重力，僅在表面張力作用下，固定邊界曲線上自然張成的曲面，在所有可能的曲面中面積總是最小。這種封閉曲線上表面積最小的曲面被稱為極小曲面。由于普拉托的貢獻(xiàn)，后來習(xí)慣把如何從數(shù)學(xué)上尋求這種曲面的問題稱為普拉托問題。該問題提出后吸引了許多學(xué)者的關(guān)注，并逐漸從物理學(xué)領(lǐng)域轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

2 極小曲面方程

普拉托問題可以描述為：給定一條可求長(zhǎng)的光滑封閉曲線，尋求以這條空間曲線為邊界的具有極小面積的曲面。實(shí)際上，1744年歐拉在其著作《尋求具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧》中就提過類似問題。1760年，拉格朗日首次給出了這類曲面應(yīng)該滿足的方程。

考慮三維歐氏空間中的光滑函數(shù)決定的圖M，如果于M上某曲面D在所有與D邊界相同的曲面面積中最小，那么該函數(shù)滿足下列方程：

這就是著名的極小曲面方程[2]。線性函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，顯然是上述方程的解，它的圖是平面。

1776年，法國(guó)數(shù)學(xué)家梅斯尼埃給出了上述方程的幾何解釋，即上述曲面的平均曲率等于零。曲率表明曲線在某一點(diǎn)處的彎曲程度。曲率越大，則曲率半徑越小，曲線的彎曲程度就越大。平均曲率是指空間曲面上某一點(diǎn)處任意兩個(gè)相互垂直的正交曲率的平均值，它可以用來局部描述一個(gè)曲面嵌入周圍空間的程度。因此，我們可以這樣定義：三維歐氏空間中平均曲率恒等于零的曲面是極小曲面。梅斯尼埃還給出了方程的兩個(gè)非線性解，它們的圖分別是懸鏈面和正螺旋面。隨后，方程的一些特解陸續(xù)被挖掘出來。1866年，魏爾斯特拉斯利用復(fù)變函數(shù)論的方法首次得到了上述方程的通解。

隨著極小曲面研究的不斷深入，極大地促進(jìn)了分析、幾何、泛函以及拓?fù)涞仍S多方向的發(fā)展。數(shù)學(xué)家們所熱衷的課題主要有兩個(gè)方面：一個(gè)是普拉托問題解的存在性，另一個(gè)是伯恩斯坦型定理的證明。伯恩斯坦定理描述為：E3中完備的極小圖必是平面[3]。即對(duì)于上述極小曲面方程，在全平面上的解是線性函數(shù)。用幾何語(yǔ)言來描述，就是全平面上定義的極小圖是平面。數(shù)學(xué)家菲舍爾和舍恩首先證明了該定理，不久，杜卡莫和彭家貴共同合作也獨(dú)立地予以證明。伯恩斯坦定理在三維歐氏空間中是成立的，那么在高維空間的推廣是否仍然成立呢？人們很早就提出這樣的問題：設(shè)S是En中的完備極小超曲面，那么函數(shù)z（x1，x2，…，xn）是否必是線性的？

1965年，E.迪喬吉證明了n=3時(shí)成立；1966年，F(xiàn).J.阿姆格倫證明了n=4時(shí)仍然成立。1967年，J.西蒙斯證明了當(dāng)n≤7時(shí)都是成立的。伯恩斯坦定理看似仍然可以推廣到高維空間。然而，有趣的是，E.邦別里、E.迪喬吉和E.朱斯蒂在1968年聯(lián)合證明：當(dāng)n=8時(shí)，上述推廣則不成立。關(guān)于極小曲面及其在高維流形的推廣，陳省身、項(xiàng)武義、丘成桐等都作出了突出貢獻(xiàn)。

3 極小曲面的經(jīng)典實(shí)例

根據(jù)極小曲面的定義，我們可以找出關(guān)于極小曲面的許多經(jīng)典例子[4]。以下是先后發(fā)現(xiàn)的一些極小曲面：

（1）歐幾里得平面。它也是無特別約束條件下最為常見的極小曲面。（2）懸鏈面。懸鏈面是一種旋轉(zhuǎn)極小曲面，它是由懸鏈線圍繞其水平準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)而得到的曲面。懸鏈線是一條兩端固定的均勻柔軟但不能伸長(zhǎng)的鏈條。在重力作用下，鏈條會(huì)呈現(xiàn)曲線形狀，它的方程是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)。將金屬絲彎成兩個(gè)等大的圓環(huán)，緊貼浸入肥皂液中，一段時(shí)間后輕輕拿出并緩慢分開，就可以得到一個(gè)懸鏈面狀的肥皂膜。（3）正螺旋面。正螺旋面是一種特殊的直紋極小曲面。在三維坐標(biāo)系中，將一條直線l與x軸重合，然后讓直線l繞z軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)沿z軸方向勻速上升，即沿z軸作勻速螺旋上升，其掃過的曲面就是正螺旋面。（4）Enneper曲面等。另外，將極小曲面引入CAGD（計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)），還可以得到各種類型的優(yōu)美的極小曲面。

4 極小曲面的廣泛應(yīng)用

極小曲面具有優(yōu)美的幾何性質(zhì)和力學(xué)性質(zhì)，是一類非常重要的特殊曲面。因此，極小曲面在許多領(lǐng)域包括建筑、航空、輪船制造及生物醫(yī)學(xué)等都有著重要應(yīng)用。將極小曲面引入CAGD造型領(lǐng)域后，既增加了人們對(duì)極小曲面的理解，又提高了其在實(shí)際生活中的應(yīng)用[5]。

極小曲面在建筑設(shè)計(jì)方面有著廣泛的應(yīng)用。因?yàn)闃O小曲面形狀的屋頂，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，美觀大方，并且不易積水，建筑師們往往喜歡按照極小曲面的模型來進(jìn)行設(shè)計(jì)。遠(yuǎn)古時(shí)代，人類利用支桿、繩索和獸皮搭建的帳篷就呈現(xiàn)出極小曲面的造型，這也是最早的索膜結(jié)構(gòu)。隨著文明的進(jìn)步和科技的發(fā)展，建筑膜材料也變得越來越高級(jí)，具備各種功能，比如防水、透光、高強(qiáng)度、耐腐蝕等，索膜建筑結(jié)構(gòu)體系引起了廣泛的重視。在許多文藝、體育、博覽會(huì)等大型公共建筑上，都可以找到極小曲面的影子，比如慕尼黑奧林匹克體育館，亞特蘭大奧運(yùn)會(huì)主館，泰晤士河畔的千年穹頂，法蘭克福航空港飛機(jī)庫(kù)的屋頂?shù)?，都是采用索膜結(jié)構(gòu)的標(biāo)志性建筑。索膜結(jié)構(gòu)可以充分利用陽(yáng)光和空氣，可以與自然環(huán)境融為一體，并且易建易拆，綠色環(huán)保，已成為當(dāng)今世界最流行的空間建筑結(jié)構(gòu)之一。近年來，索膜建筑技術(shù)在中國(guó)的建筑市場(chǎng)也需求大增。膜結(jié)構(gòu)工程在造船業(yè)和航空業(yè)同樣有著重要的作用，比如經(jīng)常用于船體與船首的過渡曲面，以及用于飛機(jī)機(jī)翼部分的設(shè)計(jì)也可以增大升力等。在膜結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)過程中，找膜分析是最為關(guān)鍵的一環(huán)。早期的找形技術(shù)正是采用皂泡形成法。

肥皂泡中任一點(diǎn)對(duì)任意軸的拉應(yīng)力都相等，因此會(huì)形成等應(yīng)力極小曲面。

極小曲面還是一種特殊的能量極小曲面。在普拉托實(shí)驗(yàn)中，肥皂膜正是在表面張力的作用下，勢(shì)能趨于最小，因此最為穩(wěn)定，此時(shí)面積也達(dá)到最小。在自然界中，能量最小狀態(tài)是一種十分穩(wěn)定的狀態(tài)。我們可以在自然界找到許多能量極小曲面的身影。例如，某些海底的軟體動(dòng)物的部分表面就與Enneper曲面類似，而芙蓉花的花蕊部分與某些極小曲面的形狀也非常接近。

另外，極小曲面的形狀獨(dú)特，具有超凡的美感，因此也為很多藝術(shù)家所青睞。在許多藝術(shù)作品中，同樣可以找到極小曲面的影子。例如F.Bouehm的油畫作品“A Boy with a Girl blowing Bubbles”，O.Taeuberhahn依據(jù)Enneper極小曲面的雕塑等。

參考文獻(xiàn)

[1]趙曉彤.三維歐氏空間中的極小曲面[D].東北大學(xué)，2014.

[2]郝永霞.極小曲面造型中的相關(guān)問題研究[D].大連理工大學(xué)，2013.

[3]韓英波.拉格朗日子流形幾何及相關(guān)問題[D].復(fù)旦大學(xué)，2007.

[4]R·奧斯曼.極小曲面概論[M].遼寧大學(xué)出版社，1988.

[5]徐崗，汪國(guó)昭.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中極小曲面造型的研究進(jìn)展[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2008，（8）：984-992.