李繁春 何超 鄧?yán)? 王中平 李秀梅

摘 要：基于求污染物濃度問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用有限元方法，構(gòu)造了由觀測(cè)值反求污染物流入濃度的近似表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：反問(wèn)題；有限元法；微分方程

中圖分類號(hào)：X524 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2018）18-0013-02

1 引言

工程領(lǐng)域中大部分的反問(wèn)題都是與微分方程相聯(lián)系的，反求污染物濃度的問(wèn)題就是一個(gè)常見(jiàn)的例子。它的正問(wèn)題是這樣描述的：給定一個(gè)有確定濃度的溶液，以及污染物流入的速度和經(jīng)充分混合后溶液流出的速度，計(jì)算下一時(shí)刻的溶液濃度。實(shí)際情況中，我們經(jīng)常碰到的是蘊(yùn)藏其中的有趣反問(wèn)題。例如，假定容器是個(gè)地下蓄水池，而且靠近污染源（比如化工廠、尾礦庫(kù)等），這樣蓄水池就有污染物滲入，通過(guò)預(yù)先設(shè)置的探測(cè)器可以測(cè)量出蓄水池中該污染物的濃度，這些測(cè)量結(jié)果可以用來(lái)反演流入蓄水池的污染物濃度[1-2]。這一模型可以被廣泛推廣，本文考慮流入與流出速度相同時(shí)（穩(wěn)定）的情形。

2 數(shù)學(xué)模型

這一類問(wèn)題的最簡(jiǎn)單的模型是，已知容積為V的容器，有濃度為a的污染物以一個(gè)給定速度v流入，經(jīng)充分?jǐn)嚭偷娜芤河忠酝瑯拥乃俣葀從容器中排出。模型的建立依賴于速度的平衡，設(shè)q代表容器中t時(shí)刻的溶質(zhì)的質(zhì)量，那么q隨時(shí)間變化的速度就是溶液流入容器的速度和它流出的速度之差，即：

.

或者給出容器中溶液濃度c（t）=的微分方程：

（a-c）. （1）

上述微分方程有唯一解：

c（t）=a+（c0-a）.

其中參數(shù)a為流入污染物濃度，v是速度，V為體積，c0是初始濃度。

3 有限元法

對(duì)于給定時(shí)間T>0，正整數(shù)n，令h=，ti=ih，i=1，2，…n，設(shè)lj為定義在[0，T]上的連續(xù)函數(shù)，它滿足：在每個(gè)子區(qū)間[tj，tj+1]上線性；當(dāng)i≠j時(shí)，li（tj）=0，當(dāng)i=j時(shí)，li（tj）=1。即：

，

，

.

由于lj函數(shù)圖像形似帳篷，故有時(shí)被稱作“帳篷”函數(shù)。

根據(jù)Lagrange插值的相關(guān)知識(shí)，得到溶液濃度函數(shù)c（tj），j=0，1，…，n的合理近似：

c（t）≈.

類似地，未知的流入物質(zhì)濃度近似表達(dá)式為：a（t）≈，其中系數(shù)aj待定。

由（1）式，有=a（t）-c（t），方程兩端乘以lj并在[0，T]上積分，則：

=-. （2）

上式左邊可寫(xiě)成：

=

=

=+ +

=-[ci-1-ci+1].

右邊可寫(xiě)成：

=-

-+ +

整理得：

令，i=2，3，…，n-1.

由此，得到（2）式對(duì)應(yīng)的矩陣形式：

（3）

采用追趕法可計(jì)算出t=tj時(shí)刻流入的污染物濃度的近似值aj，j=0，1，…，n.

參考文獻(xiàn)

[1]施吉林，劉淑珍，陳桂芝.計(jì)算機(jī)數(shù)值方法[M].高等教育出版社，2005.

[2]Charles W.Groetsh著，程晉，譚永基，劉繼軍，譯.反問(wèn)題—大學(xué)生的科技活動(dòng)[M].清華大學(xué)出版社，2006.