☉[德]瑪麗安·佛里伯格 [英]瑞秋·湯馬斯 著 徐雅 譯

早晨，看著窗外灰色的天空，我想起了今天的天氣預(yù)報。怎么，下雨的概率真的只有1%嗎？難以置信！1%這個預(yù)報結(jié)果對英國的任何一天都顯得過于樂觀，更別提是對一個灰蒙蒙的九月天了。沒有辦法，盡管有先進的科技和數(shù)學(xué)，我們還是經(jīng)常上天氣預(yù)報的當，尤其是在我們忘了帶雨傘的時候。好像天氣有意讓我們體會什么叫“意外事件”似的。

我們每天都會遇到與概率、風(fēng)險和機會有關(guān)的事。根據(jù)對食品的研究結(jié)果，我們會選擇吃或不吃某種食物，以減少患某種疾病的概率。比如抽煙吧，在醫(yī)學(xué)的忠告下，雖然也聽說某個大煙鬼一直活了103歲，我們還是讓抽煙從一種無害的行為變成了一個會增加肺癌發(fā)病率的罪魁禍首。

一個事件發(fā)生的概率是怎樣度量的呢？在17世紀有一場關(guān)于賭博的討論，布萊士·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬都參加了這場討論。通過這場討論，“機會的數(shù)學(xué)”——概率誕生了。當時的概率思想是以事物的對稱性為基礎(chǔ)的。例如，一個硬幣，它有正、反兩個面，只要這個硬幣造得勻稱規(guī)則，你把它拋向空中，當它落地時，每一個面都應(yīng)該有相等的機會朝上。這就是說它有50%的機會(或說有1/2的概率)是正面朝上。英國的彩票也是同樣的道理。你從49個數(shù)字中抽出6個，根據(jù)不同的組合，你會面臨1400萬個可能的結(jié)果。假如每一個結(jié)果出現(xiàn)的機會相同，也就是說，當抽英國彩票的機器不會“偏心”任何一個數(shù)字時，你贏彩票的概率是一千四百萬分之一。

在現(xiàn)實生活中，這個建立在事物的對稱性上的方法并不十分理想，所以，我們轉(zhuǎn)而用一種比例的方法。如果醫(yī)生說，你有5%的概率患某種癌癥，他的意思是，對一批與你狀況相似的人群的研究顯示，他們中有5%的人得了那種癌癥。對下雨的預(yù)測往往來自模型的綜和預(yù)測。天氣對初始條件的變化，哪怕十分微小，也很敏感。既然我們無法準確測量到預(yù)測所需的地球上每一處的溫度、壓力和其他變量，氣候?qū)＜抑缓美媚Ｐ蛠砟M天氣。每次模擬的初始條件都會根據(jù)實際情況做一些微調(diào)。如果有1%的模擬顯示今天有雨，他們就發(fā)出今天下雨的概率是1%的天氣預(yù)報。

這個方法的背后是頻率論：它認為一個事件(比如硬幣落地后正面朝上)的概率應(yīng)該被解釋成，在經(jīng)過大量(拋擲硬幣的)試驗后，某個事件發(fā)生的比率，或說某個事件發(fā)生的相對頻率。頻率論與另外一個概率理論——貝葉斯理論，一直爭執(zhí)不休。湯馬斯·貝葉斯是18世紀英國數(shù)學(xué)家和英格蘭長老會的牧師。他認為概率是一個主觀變量，用來衡量人們在已有的觀察基礎(chǔ)上，對某件即將發(fā)生的事的判斷。如果新的情況出現(xiàn)，我們就會更新我們的判斷。

平均法則的真假

無論哪一種解釋或衡量概率的方法，其背后都有一整套支持這種方法的數(shù)學(xué)理論。這些概率理論雖然大都直接明了，然而它并不總是和我們的直覺一致。我們都很熟悉平均法則，或稱大數(shù)定律：如果不斷地拋擲一個硬幣，只要進行的次數(shù)足夠多，而且正面朝上和反面朝上都有相同的機會出現(xiàn)，那么，你會期望在投擲過程中，正面朝上和反面朝上出現(xiàn)的比例基本是50%對50%。所以，當你看到一個硬幣被拋擲了999次、而每次都是正面朝上時，你會傾向于覺得下一次拋擲的結(jié)果是反面朝上，由此來打破出現(xiàn)的不均等的現(xiàn)象。

但是，像千百萬賭博賭輸?shù)娜艘粯?，你錯了。下一次投幣與前一次投幣無關(guān)，所以，反面出現(xiàn)的機會依舊只是50%。以前每次是這樣，以后每一次也將是這樣。這是不是違反了大數(shù)定律了呢？不是的。大數(shù)定律只是說，當你把拋擲硬幣的次數(shù)增加到接近無窮多次的時候，正面出現(xiàn)的比率將趨向50%。即使你已經(jīng)拋擲出了許多次正面朝上的結(jié)果，你依然有拋擲無窮多次的機會來把平均結(jié)果下降到50%。至于大數(shù)定律的結(jié)果是否在下一次拋擲中開始顯現(xiàn)，那誰也說不準。

許多例子都證明“機會”的概念是多么的含糊不清。關(guān)于它的書也有很多，有人寫它是為了娛樂，有人則是因為嚴肅的哲學(xué)原因。我們能夠確定的是，“機會”這個概念與“隨機”這個概念，就像一對孿生姐妹一樣，緊密相關(guān)。

其實“隨機”很普遍

在沒有拋擲硬幣這樣的隨機行為協(xié)助前，人類并不擅長制造隨機事件。如果我讓你隨機地在一張紙上寫下一串數(shù)字，模擬拋擲硬幣的結(jié)果，或者一組數(shù)字，或者是一系列由圓點兒構(gòu)成的圖形什么的，你的每一步，都會情不自禁地受到上一個拋幣結(jié)果，或數(shù)字，或圖形的影響。為什么呢？是因為我們總小心翼翼地要確保選擇是在一種漂亮的分布下進行的。所以，通常我們很容易發(fā)現(xiàn)所寫下的結(jié)果，或數(shù)字串，或圖形并不是純粹隨機的。我們的大腦總是不自覺地選擇服從一定的“規(guī)律”，因此，我們很難制造隨機事件。一旦我們意識到某種規(guī)律的出現(xiàn)，我們就認為我們打破了隨機性，會馬上改變我們的下一個選擇。

事實上，在一個完全隨機的事件中，事件會以任何一種順序出現(xiàn)，包括那些顯得有規(guī)律的順序。假設(shè)有一個硬幣被你連續(xù)拋擲了10次，而且連續(xù)10次都是正面朝上，也就是說，出現(xiàn)了“正正正正正正正正正正”的情況，它實際上同出現(xiàn)“正反正反反反正正反反”“反反正正正反正反正正”或者“反反反反反反反反反正”等結(jié)果的概率是一樣的。

在賭博業(yè)的刺激下，人們對隨機事件的實驗研究也有上千年歷史了。盡管研究人員一會兒拋硬幣，一會兒擲骰子，但是，從數(shù)學(xué)上對隨機事件下一個準確的定義還是令人意想不到的艱難。第一個想對隨機下一個正式的定義的人是法國數(shù)學(xué)家E.波萊爾，他創(chuàng)立了數(shù)學(xué)測度論。波萊爾除了是一位出色的數(shù)學(xué)家以外，還十分熱衷于政治活動，他當過海軍部長，并在二戰(zhàn)中參加過反納粹的抵抗運動。1909年，波萊爾沉迷于那些有著無限位小數(shù)的數(shù)字(包括不同記數(shù)法下的無限小數(shù))。波萊爾認為，如果所有的數(shù)字，包括兩位及兩位以上的數(shù)字，出現(xiàn)在某個數(shù)的小數(shù)位的頻率相等，它應(yīng)該被稱作一般數(shù)。也就是說，數(shù)字1，像其他的九個一位數(shù)字一樣，應(yīng)該在一般數(shù)的小數(shù)位里出現(xiàn)1/10次。(因為一共有10個由一位數(shù)字組成的數(shù)，每個數(shù)出現(xiàn)的頻率相等，所以就得到了1/10。)同理，每一個由兩位數(shù)字組成的數(shù)，比如11、23或者09，應(yīng)該在一般數(shù)的小數(shù)位里出現(xiàn)1/100次，因為有100個由兩位數(shù)字組成的數(shù)。由此可以推及任何由三位數(shù)字組成的數(shù)出現(xiàn)的頻率是1/1000。當一串小數(shù)由n位數(shù)字組成時，它出現(xiàn)一般數(shù)的小數(shù)位的頻率應(yīng)該是1/10n次。一般數(shù)是不偏向任何數(shù)字組合的。同樣，在一個無限小數(shù)的展開中，每一個有限的數(shù)字組合都應(yīng)該出現(xiàn)。如果無限數(shù)字串中的每一個數(shù)字都是由投擲一顆10面的骰子產(chǎn)生的，那么，你會期待它們遵循這個一般原則。這個一般原則是使一個無限序列成為隨機序列的條件：即，如果你想是隨機的，你就必須是一般的。

波萊爾指出一般數(shù)不但是存在的，而且“大多數(shù)”的實數(shù)都是一般的。（他自己很清楚這個“大多數(shù)”指什么。）數(shù)學(xué)家們堅信所有大家喜歡的數(shù)學(xué)常數(shù)，像π、e和，都是一般的，只是到目前為止還沒有一個常數(shù)被證明是一般的而已。波萊爾證明了幾乎每一個實數(shù)都是一般的，但是這并不夠。他給我們留下了一個重要但缺乏詳細例證的結(jié)論。這個困局被一個名叫張伯諾的在1933年打破了。他給出的證明方法令人拍案叫絕。他把所有的自然數(shù)一個接一個地連成一串，作為小數(shù)點后面的數(shù)字：

0.1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041……

這就是張伯諾數(shù)。它既簡單又充滿智慧，不僅清晰地詮釋了一般數(shù)的概念，同時還提供了第一個10進制下的一般數(shù)的例子。在這個例子里，每一個一位數(shù)、每一個兩位數(shù)和每一個三位數(shù)，等等，所出現(xiàn)的頻率都相等。每一個你可能想象得到的、有限的、數(shù)的序列都會在這個無限延續(xù)的張伯諾數(shù)的某一段出現(xiàn)。

等等，你說什么？每一個你可能想象得到的、有限的、數(shù)的序列都會在這個無限延續(xù)的張伯諾數(shù)的某一段出現(xiàn)？讓我想一想。這是不是意味張伯諾數(shù)，或其他任何一個一般數(shù)(包括那個更加有名的π)，能涵納每一個我所能想到的、有限的、數(shù)的序列？如果我把我的名字翻譯成數(shù)字，那么，一般數(shù)的小數(shù)位里也包括我的名字？！對！事實上，一般數(shù)涵納了每一個人的名字，無論你是否活著；涵納了每一個句子，無論是已經(jīng)寫出來的還是將要寫出來的；涵納了每一本書，無論是已經(jīng)出版了的還是將要出版的；涵納了歷史和每一個可能發(fā)生的未來。

圈點機會

概率是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活最常相遇的地方。現(xiàn)在我們把一些注意力轉(zhuǎn)向它的哲學(xué)基礎(chǔ)。概率理論為我們提供了一個計算“機會”的準則。例如，“所有可能發(fā)生的事件的概率總和是1”就是一個準則。這不難理解，在拋擲一枚硬幣時，如果正面向上的概率是1/2，那么，反面朝上的概率就是1-1/2=1/2。概率理論還告訴我們怎樣計算同時發(fā)生的事件的概率，例如，如果一個事件A發(fā)生的概率是p而事件B發(fā)生的概率是q，而且兩個結(jié)果是相互獨立的，那么，A和B同時發(fā)生的概率是p×q。在硬幣的例子里，這意味著，當你同時拋擲兩枚正常的硬幣時，或者，把一枚正常的硬幣拋擲兩次，那么，得到兩個都是正面的所謂正常概率是1/2×1/2=1/4。

問題在于，概率不像我們計算長度和重量那樣容易。我們可以把情況抽象化，好比說，拋擲一枚硬幣有兩個可能發(fā)生的結(jié)果，這等于是說每個結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/2?；蛘撸覀兛梢詮念l率的角度思考問題，觀察硬幣被拋擲1000次、正面出現(xiàn)的次數(shù)將近一半。但是，這些結(jié)果與下一次的拋擲有什么關(guān)系呢？它實際上說明了什么呢？如果我們無法回答這些問題，我們還應(yīng)該相信概率理論嗎？

20世紀的一個數(shù)學(xué)計算機游戲給這個概率理論提供了一個奇妙的證明。其中心思想是，概率不是一個客觀存在，而是主觀估計的程度：如果我說一枚被拋擲的硬幣落地之后正面朝上的概率是1/2，那不是因為1/2這個數(shù)與硬幣的正面有什么關(guān)聯(lián)，而是因為，出于種種原因，我有50%的信心認為正面將會出現(xiàn)。所以，對概率的估計是因人而異的。但是，通過賭博，我們有可能把它量化出來。例如，我對正面朝上的估計程度可以用我愿意和別人為“下一次正面朝上”這個結(jié)果而下的賭注來衡量。

哲學(xué)家的忠告是，如果你認為一個人遵守最基本的理性原則，那么，他們的主觀估計應(yīng)該是遵循概率原則的。如果不遵循概率原則，他們在打賭的時候一定會輸。舉個例子，假設(shè)我對一個硬幣落地后“正面朝上”的主觀估

計是1/2、“反面朝上”的主觀估計是1/4，那么，我就違反了第一個概率準則，即“所有可能出現(xiàn)的結(jié)果之概率總和為1”的原則。因為，根據(jù)我的估計，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（正面朝上和反面朝上）的概率相加是3/4。在這個時候，你可以這樣跟我打賭：一半對一半賭“正面朝上”；3對1賭“反面朝上”——這樣的賭注符合我的概率判斷，所以，我會接受它。如果你在“正面朝上”上押20元、在“反面朝上”上押10元，當結(jié)果是“正面朝上”時，你拿走40元（其中你拿回賭注20元，贏20元）；當結(jié)果是“反面朝上”時，你也拿走40元（其中拿回賭注10元，贏30元）。這樣一來，只下了30元賭注的你會穩(wěn)賺10元。而我呢？輸定了。

哲學(xué)在一定程度上解釋了概率的數(shù)學(xué)背景，同時把理性和概率結(jié)合了起來。反對意見自然是強調(diào)生活不是一場接一場的賭博。人們可以輕易地拒絕參與一場賭博，從而留住自己的錢。但是，爭論的要點不是去模擬人在現(xiàn)實中的行為，而是告訴人們，為什么概率論是值得一聽的。它就像天氣預(yù)報一樣，假如你沒有傘，那么，你最好記住天氣預(yù)報說下次什么時候下雨。預(yù)報可能不準，但是，預(yù)報所依據(jù)的統(tǒng)計數(shù)學(xué)是理性而可信的。預(yù)測，從其本質(zhì)上說，不可能是完美的。在現(xiàn)實生活中，可能除了數(shù)字，沒有什么事物是完美的了。