肖俊華 崔友強(qiáng) 徐耀玲 張福成

1.燕山大學(xué)河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點實驗室，秦皇島，066004

2.燕山大學(xué)亞穩(wěn)材料制備技術(shù)與科學(xué)國家重點實驗室，秦皇島，066004

0 引言

機(jī)械零部件上常常含有孔洞，如螺栓孔、鉚釘孔、鍵槽和減重孔等［1-2］，在沖擊載荷和高頻率振動等復(fù)雜服役條件下，孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象非常明顯，極易形成微裂紋［3-4］。在外載荷作用下，孔和裂紋相互作用，會顯著影響結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度性能［5］。

國內(nèi)外針對孔邊裂紋問題強(qiáng)度性能的研究，從研究方法來看有細(xì)觀力學(xué)理論分析、試驗測試和數(shù)值模擬等,其研究成果在機(jī)械制造、航空航天結(jié)構(gòu)、壓力容器和土木工程等工程結(jié)構(gòu)和材料的強(qiáng)度設(shè)計、安全可靠性分析和缺陷評定規(guī)范中得到廣泛應(yīng)用。

當(dāng)孔邊裂紋的尺寸在納米尺度時，孔邊應(yīng)力場分布和裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子受其表面效應(yīng)影響顯著。對于納米尺度裂紋問題，高克瑋等［6］基于原位拉伸觀察研究了納米級解理微裂紋的形核和擴(kuò)展行為；利用分子動力學(xué)方法，MACHOVá等［7］研究了含納米尺度裂紋時體心立方鐵的韌性和脆性特征；邢永明等［8］應(yīng)用納米云紋法測量單晶硅微裂紋尖端變形，得到了準(zhǔn)解理微裂紋裂尖的納觀應(yīng)變場；邵宇飛等［9］通過準(zhǔn)連續(xù)介質(zhì)方法模擬了納米多晶體Ni中裂紋的擴(kuò)展過程；LE等［10］基于概率理論研究了準(zhǔn)脆性和脆性結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、靜態(tài)裂紋萌生、壽命及尺度效應(yīng)；JONES等［11］提出了納米復(fù)合材料內(nèi)疲勞裂紋萌生的機(jī)理模型和預(yù)測表達(dá)式；LI等［12］基于晶粒旋轉(zhuǎn)和晶界剪切耦合遷移方法探究了耦合裂紋的鈍化機(jī)理；LUO等［13］研究了考慮界面應(yīng)力時偏轉(zhuǎn)納米線的應(yīng)力場和裂紋成核行為；GAO等［14］利用相位晶體法研究了納米尺度裂紋擴(kuò)展過程。

在表征納米尺度微結(jié)構(gòu)的諸多理論中，Gurtin-Murdoch表面彈性理論［15］通過引入表面應(yīng)力，將連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的宏觀特征尺寸與納米缺陷的特征尺寸跨尺度響應(yīng)進(jìn)行了統(tǒng)一描述，該理論及其推廣理論被廣泛應(yīng)用于納米非均勻材料力學(xué)性能研究中?；贕urtin-Murdoch模型和格林函數(shù)法，WANG等［16］討論了表面性能對各向異性雙材料界面裂紋的影響。NGUYEN等［17］利用有限元和伽遼金邊界元耦合方法研究了三維線性彈性介質(zhì)中I型片狀裂紋的尺寸依賴行為。XU等［18］分析了反平面載荷作用下納米夾雜和納米裂紋應(yīng)力場的相互干涉。WANG等［19］討論了具有表面彈性性能時Ⅲ型橋接裂紋的斷裂性能。WANG等［20］進(jìn)一步研究了考慮表面效應(yīng)時Ⅲ型速率依賴性橋接裂紋的橋接力和裂紋張開位移等問題。

本文基于Gurtin-Murdoch表面彈性理論［15］和保角映射技術(shù)，利用復(fù)變彈性理論，研究納米尺度下圓孔孔邊裂紋的反平面剪切問題，獲得了該類非均勻材料應(yīng)力場的解析解，給出了裂尖Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的閉合解，分析了孔邊應(yīng)力場分布規(guī)律，討論了裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子的尺寸依賴效應(yīng)以及圓孔相對尺寸對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響規(guī)律。

1 納米尺度孔邊裂紋模型和基本方程

圖1為納米尺度圓孔孔邊裂紋示意圖，遠(yuǎn)場受均勻反平面剪切載荷。以圓心為坐標(biāo)原點，圓孔半徑為R，圓孔區(qū)域用Ωc表示，邊界用S表示，基體區(qū)域用Ωm表示，基體剪切模量為Gm，裂紋CD長度為L。下標(biāo)c、m分別表示圓孔和基體。

圖1 納米尺度圓孔-孔邊裂紋反平面剪切問題示意圖（z平面，z=x+iy）Fig.1 Schematic diagram of nano crack emanating from a circular hole under antiplane shear（z-plane，z=x+iy）

用w=w(x,y)表示縱向位移，基體內(nèi)的平衡方程和本構(gòu)方程滿足：

由復(fù)變彈性理論可知，在復(fù)平面內(nèi)縱向位移w、應(yīng)力分量τxz和τyz可用一個解析函數(shù)Ψ(z)(z=x+iy)來表示：

式中，τrz、τθz分別為柱坐標(biāo)系中兩個切應(yīng)力分量。

納米尺度圓孔邊界上的位移和應(yīng)力邊界條件為［21］

式中，μ(S)為表面彈性常數(shù)；(ρ,θ)為納米尺度圓孔邊界上點的極坐標(biāo)為界面應(yīng)變分量。

2 問題轉(zhuǎn)換與應(yīng)力場解答

將圖1所示含孔邊裂紋圓孔外部分保角變換為圖2所示半徑為R的圓外部分，變換函數(shù)［22-23］

如下：

圖2 保角映射（ζ平面）Fig.2 Conformal mapping

將解析函數(shù)Ψ(z)在ζ平面內(nèi)展開成Laurent級數(shù)形式［24］

式中，a*、ak為待定常數(shù)。

由分析可知采取下述有限項級數(shù)形式就可以得到問題的解：式

中，A、B1和B-1為復(fù)常數(shù)。

利用遠(yuǎn)場條件，由式（4）和式（12）可得

由界面條件式（6）和式（7）可得

聯(lián)立式（13）～式（15）可得

由式（4）、式（11）～式（13）、式（16）和式（17）得到基體內(nèi)的應(yīng)力場表達(dá)式為

3 裂紋尖端Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子

在圖1所示z平面內(nèi)定義裂尖處應(yīng)力強(qiáng)度因子如下：

將式（18）代入式（20），在ζ平面內(nèi)，可得

注意到裂尖處ω′(R)=0，對式（21）利用洛必達(dá)法則，可得式中，L′為等效裂紋長度。

故K(D)*為裂紋尖端等效量綱一應(yīng)力強(qiáng)度因子，

若不考慮表面效應(yīng)，即μ(S)=0時，式（23）退化為

式（24）與文獻(xiàn)［22］中純彈性變形情形結(jié)果一致。

4 算例與討論

4.1 孔邊應(yīng)力場分布

表面彈性常數(shù)μ(S)的量級為1 N/m，可以通過原子模擬得到，其數(shù)值可正可負(fù)。定義參數(shù)α=μ(S)/Gm，α的取值范圍一般在（-2～2）×10-10m之間［21］。

圖3給出了孔邊不同位置下應(yīng)力集中系數(shù)的分布情況，取R=3 nm，L=R，可知，當(dāng)孔邊位置角θ從0o變化到180o時，孔邊應(yīng)力從零開始先增大然后減小最后再增大。當(dāng)θ約為30o和90o的位置時應(yīng)力分別取極大值和極小值，在θ為180°位置時應(yīng)力取最大值。θ從0°變化到90°過程中，納米圓孔的表面效應(yīng)（α取值對應(yīng)力的影響）逐漸顯著；θ從90°變化到180°過程中，表面效應(yīng)先減弱而后增強(qiáng)。上述結(jié)果表明：表面效應(yīng)對孔邊不同位置應(yīng)力的影響程度不同。

圖3 孔邊應(yīng)力集中系數(shù)分布Fig.3 Distribution of the stress concentration factor at the hole

4.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子的尺寸依賴效應(yīng)

圖4 給出了裂尖量綱一應(yīng)力強(qiáng)度因子K(D)*隨圓孔裂紋尺寸的變化趨勢，其中L=R。

圖4 圓孔裂紋尺寸對裂尖量綱一應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響Fig.4 Influence of size of the hole-rack on the dimensional stress intensity factor at crack tip

由圖4可以看出，不考慮表面效應(yīng)時（α=0，經(jīng)典斷裂理論），應(yīng)力強(qiáng)度因子與圓孔裂紋的尺寸無關(guān)；考慮表面效應(yīng)（α≠0）且圓孔裂紋的尺寸在納米量級時，應(yīng)力強(qiáng)度因子具有顯著的尺寸依賴效應(yīng)。隨著圓孔裂紋尺寸的增大，表面效應(yīng)的影響逐漸減弱，本文結(jié)果趨近于經(jīng)典斷裂理論解。

4.3 圓孔相對尺寸對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

圓孔相對于裂紋尺寸比值R/L對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響曲線見圖5，其中L=5 nm。圖中顯示一個有趣的現(xiàn)象，即：圓孔相對尺寸對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響規(guī)律受表面效應(yīng)α取值的制約。隨著比值R/L的增大，當(dāng)不考慮表面效應(yīng)時（α=0），量綱一應(yīng)力強(qiáng)度因子從1開始先略微增大隨后減??；當(dāng)α取正值時，量綱一應(yīng)力強(qiáng)度因子先增大而后減小；當(dāng)α取負(fù)值時，量綱一應(yīng)力強(qiáng)度因子單調(diào)減小。

圖5還顯示，當(dāng)圓孔相對尺寸較小時（R/L＜1），改變α顯著影響應(yīng)力強(qiáng)度因子；當(dāng)圓孔相對尺寸較大時（R/L＞1），不論α取值如何，應(yīng)力強(qiáng)度因子趨于相同值。這表明，表面性能對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響也取決于圓孔相對尺寸R/L，非常大的圓孔相對尺寸屏蔽了表面性能對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。

圖5 圓孔相對尺寸對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響Fig.5 Influence of relative size of the hole on the dimensional stress intensity factor

5 結(jié)論

（1）當(dāng)圓孔裂紋的尺寸在納米尺度時，裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子具有顯著的尺寸依賴效應(yīng)；隨著圓孔裂紋尺寸的增大，納米尺度圓孔的表面效應(yīng)逐漸減弱，本文結(jié)果趨于經(jīng)典斷裂理論解。

（2）圓孔表面彈性常數(shù)μ(S)不同時，裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子隨圓孔相對裂紋尺寸R/L的變化規(guī)律迥異：隨著比值R/L的增大，不考慮表面效應(yīng)時（α=0）量綱一應(yīng)力強(qiáng)度因子從1開始先略微增大隨后減小，當(dāng)α取正值時量綱一應(yīng)力強(qiáng)度因子先增大而后減小，當(dāng)α取負(fù)值時量綱一應(yīng)力強(qiáng)度因子單調(diào)減小。同時表面性能對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響也取決于圓孔相對尺寸：當(dāng)圓孔相對尺寸較小時（R/L＜1），改變表面性能顯著影響應(yīng)力強(qiáng)度因子，當(dāng)圓孔相對尺寸較大時（R/L＞1），不論表面性能如何，應(yīng)力強(qiáng)度因子趨于相同值，非常大的圓孔相對尺寸屏蔽了表面性能對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。