宿 曈

（西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

1 問題的提出（2009年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題D，數(shù)據(jù)從略，文字有修改）

某市一家會(huì)議服務(wù)公司負(fù)責(zé)承辦某專業(yè)領(lǐng)域的一屆全國(guó)性會(huì)議，會(huì)議籌備組要為與會(huì)代表預(yù)訂賓館客房，租借會(huì)議室，并租用客車接送代表.由于預(yù)計(jì)會(huì)議規(guī)模龐大，而本市適于接待這次會(huì)議的幾家賓館的客房和會(huì)議室數(shù)量均有限，所以只能讓與會(huì)代表分散到若干家賓館住宿.為了便于管理，除了盡量滿足代表在價(jià)位等方面的需求之外，所選擇的賓館數(shù)量應(yīng)該盡可能少，并且距離上比較靠近.

籌備組經(jīng)過實(shí)地考察，篩選出10家賓館作為備選，它們的名稱用代號(hào)1至10表示，10家賓館有關(guān)客房和會(huì)議室的規(guī)格、間數(shù)、價(jià)格等情況及其相對(duì)位置均已知.

雖然本屆會(huì)議代表返回了會(huì)議回執(zhí)，但從以往幾屆會(huì)議情況看，有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來參會(huì)，同時(shí)也有一些與會(huì)的代表事先不提交回執(zhí)，因此籌備組面臨的第一項(xiàng)任務(wù)是預(yù)測(cè)參會(huì)人數(shù).

盡管客房房費(fèi)由與會(huì)代表自付，但是會(huì)議籌備組要為與會(huì)代表預(yù)訂賓館客房，如果預(yù)訂客房的數(shù)量大于實(shí)際用房數(shù)量，籌備組需要支付一天的空房費(fèi)，而若出現(xiàn)預(yù)訂客房數(shù)量不足，則將造成非常被動(dòng)的局面，引起代表的不滿.預(yù)訂賓館客房的數(shù)量是籌備組要解決的第二項(xiàng)任務(wù).

按照會(huì)議安排，會(huì)議期間有一天的上下午各安排6個(gè)分組會(huì)議，籌備組需要在代表下榻的某幾個(gè)賓館租借會(huì)議室.這是籌備組要解決的第三項(xiàng)任務(wù).由于事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個(gè)分組會(huì)，籌備組還要向汽車租賃公司租用客車接送代表.現(xiàn)有45座、36座和33座三種類型的客車，租金分別是半天800元、700元和600元.如何租賃汽車是籌備組要解決的第四項(xiàng)任務(wù).

本文利用本次會(huì)議與會(huì)代表的回執(zhí)信息和歷屆會(huì)議的歷史數(shù)據(jù)，就會(huì)議籌辦中諸環(huán)節(jié)的決策分四個(gè)模塊——預(yù)測(cè)參會(huì)人數(shù)、預(yù)訂賓館客房、租借會(huì)議室、租賃汽車等方面給出多階段決策模型，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法，就上述問題在各階段上或用多目標(biāo)規(guī)劃，或用單目標(biāo)規(guī)劃，并利用優(yōu)化軟件Lindo給出各階段的最優(yōu)解，從而得到整體最優(yōu)解.

2 模型假設(shè)與簡(jiǎn)化

1.參會(huì)人員的個(gè)人特征為性別，僅用于安排住宿，而與其他方面毫無關(guān)系.故在估計(jì)參會(huì)代表的男女比例時(shí)，以收到回執(zhí)的男女代表人數(shù)進(jìn)行估算.

2.本屆會(huì)議的參會(huì)代表與歷屆參會(huì)代表可以看作是來自同一母體的不同樣本，樣本容量不同，故可考慮用往屆與會(huì)代表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來估計(jì)本屆參會(huì)代表的情況，如發(fā)來回執(zhí)但不參加會(huì)議的代表數(shù)的概率等.

3.所討論的母體中每一個(gè)體是否參會(huì)是獨(dú)立的，設(shè)本次參會(huì)人數(shù)為ζ,它是一個(gè)服從參數(shù)為λ的Poisson分布p(λ)，其中λ是預(yù)測(cè)的參會(huì)代表的平均人數(shù).

4.為討論簡(jiǎn)化，以點(diǎn)來代表賓館，以賓館7為原點(diǎn)，以賓館6和7所在直線為橫軸（由6指向7的方向?yàn)檎较颍?，以賓館7和5所在直線為縱軸（由7指向5的方向?yàn)檎较颍┙⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，則各賓館位置如下：賓館1(300,0)，賓館 2(450,0)，賓館 3(1000,-200)，賓館 4(950,0)，賓館 5(0,300),賓館 6(-300,0)，賓館 7(0,0)，賓館 8(0,-200)，賓館9(-150,-200)，賓館 10(-1000,0).

另外定義兩賓館i(xi,yi)，j(xj,yj)間距離為：

于是對(duì)于賓館之間的距離可整理出來（此處略）.

5.假設(shè)本市同價(jià)位的客房間服務(wù)、設(shè)備配置等無差異，不同賓館間容納人數(shù)相同的會(huì)議室間服務(wù)、設(shè)備配置等也無差異，只是租賃價(jià)格不同.

6.本次會(huì)議純屬學(xué)術(shù)會(huì)議，不涉及其他部門的其他事務(wù)，也不考慮機(jī)場(chǎng)、車站等與入住賓館間的遠(yuǎn)近、便利等其他因素，只考慮入住的床位與入住后參加分組會(huì)議的便利情況.

7.本屆會(huì)議均可預(yù)定各賓館所有的客房和會(huì)議室.也假設(shè)市內(nèi)交通暢通無阻，不考慮紅綠燈等其他影響交通的因素，并且代表上下車、車輛?？康炔换ㄙM(fèi)時(shí)間.

8.下文用到的一些符號(hào)及說明ti——預(yù)訂i賓館的情況，則

xij——預(yù)訂i賓館j種客房的數(shù)量，i=1，2，…，10，j=1，2，…，16，xij≥0 為整數(shù)

cj——j類客房可容納的最大人數(shù)

pj——j類客房每天的價(jià)格（單位：元/間·天）

qij——客房xij的數(shù)量，其中i=1，2，…，10，j=1，2，…，16

Q——本次會(huì)議需要預(yù)訂客房的人數(shù)

wij——i=1，2，…，10，j=1，2，…，9時(shí)j類客房可以安排一人住宿

通過前面分析，我們的任務(wù)是利用某次會(huì)議與會(huì)代表的回執(zhí)信息，預(yù)測(cè)參會(huì)人數(shù)，為與會(huì)代表預(yù)定適量的賓館客房、租借適量的便利的會(huì)議室、租賃適量的某種規(guī)格的汽車接送代表，因此我們認(rèn)為這是一個(gè)多階段決策問題，構(gòu)造一個(gè)多階段決策的數(shù)學(xué)模型，在各階段上或用多目標(biāo)規(guī)劃，或用單目標(biāo)規(guī)劃，并利用優(yōu)化軟件Lindo給出各階段的局部最優(yōu)解.

3 會(huì)議籌備的多階段決策模型及求解

根據(jù)我們的目標(biāo)，要求預(yù)訂的賓館數(shù)盡可能少，有目標(biāo)約束

又要求預(yù)訂的賓館在距離上盡可能靠近，有目標(biāo)約束

而參會(huì)代表希望客房?jī)r(jià)位比較合理，有目標(biāo)約束

于是，我們的數(shù)學(xué)模型為下列多目標(biāo)規(guī)劃模型：

約束條件為

0≤xij≤qij，為整數(shù)，i=1,2,…，10，j=1,2,…,16

wij≥0，為整數(shù)，且 xij+wij≤qij，i=1，2，…，10，j=1，2，…，9，ti=0 或，i=1，2，…，10

第一階段決策——確定參會(huì)人數(shù)

求解多目標(biāo)規(guī)劃模型有很多的方法，根據(jù)我們研究問題的特點(diǎn)，我們選用分層序列法，即將目標(biāo)函數(shù)按其重要程度排成一個(gè)次序，然后在前一個(gè)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，求后一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，每次求解一個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃模型.為解此模型，我們先來估計(jì)參會(huì)代表的人數(shù).

根據(jù)本類會(huì)議往屆參會(huì)代表的統(tǒng)計(jì)情況，我們用加權(quán)平均的方法估計(jì)本屆會(huì)議中提交回執(zhí)但不與會(huì)的人數(shù)比例r1及不提交回執(zhí)而與會(huì)的人數(shù)比例r2，從而預(yù)測(cè)參會(huì)代表的平均人數(shù).

故本屆會(huì)議中提交回執(zhí)但不與會(huì)的人數(shù)估計(jì)為755r1=227.3277476≈227，而不提交回執(zhí)而與會(huì)的人數(shù)設(shè)為x，則有

則x=130.2305504，于是估計(jì)本屆會(huì)議與會(huì)人數(shù)為755–227+131=659人.

根據(jù)假設(shè)3，預(yù)測(cè)的參會(huì)代表的平均人數(shù)λ=659，參會(huì)人數(shù)ζ服從參數(shù)λ=659的Poisson分布，由于參會(huì)人數(shù)較多，根據(jù)大數(shù)定律的極限定理，ζ近似服從均值為659，方差為659的正態(tài)分布.為了節(jié)約經(jīng)費(fèi)及避免被動(dòng)，于是我們想以較大的概率（如90%以上）的保證與會(huì)代表能夠住到預(yù)訂的客房?jī)?nèi)，由于Φ(1.29)=0.90147，于是

即ζ=692.1155839.這樣需要我們按照693人來預(yù)訂客房.

第二階段決策——確定賓館及客房類型與數(shù)量

根據(jù)本屆會(huì)議的回執(zhí)情況估計(jì)各類客房的預(yù)訂人數(shù).由假設(shè)1，對(duì)回執(zhí)中預(yù)定各類客戶的人數(shù)乘以系數(shù)并取不小于它的整數(shù)即得，于是我們所要求解的問題是確定下列模型中的 ti，wij，xij.

約束條件為

賓館 客房類型 客房數(shù) 價(jià)格 預(yù)訂數(shù)量及計(jì)劃安排住宿人數(shù) 入住人數(shù) 合計(jì)人數(shù)普通雙標(biāo)間 50 140元 50間，每間住2人 100 2商務(wù)雙標(biāo)間 35 160元 26間，每間住2人 52豪華雙標(biāo)間A 30 180元 30間，21間住2人，9間住1人 51豪華雙標(biāo)間B 35 200元 35間，每間住2人 70 273普通雙標(biāo)間A 35 140元 35間，11間住2人，24間1人 46 5普通雙標(biāo)間B 35 160元 35間，每間住2人 70豪華雙標(biāo)間 40 200元 40間，每間住1人 40 156普通單人間 40 160元 40間，每間住1人 40 6普通雙標(biāo)間 40 170元 40間，每間住1人 40商務(wù)單人間 30 180元 30間，每間住1人 30精品雙人間 30 220元 30間，4間住2人，26間住1人 34 144普通雙標(biāo)間 50 150元 50間，每間住1人 50 7商務(wù)單人間 40 160元 40間，每間住1人 40商務(wù)套房（1床） 30 300元 30間，每間住1人 30 120

0≤xij≤qij，為整數(shù)，i=1，2，…，10，j=1，2，…，16

wij≥0，為整數(shù)，且 xij+wij≤qij，i=1，2，…，10，j=1，2，…，9

ti=0 或 1，i=1，2，…，10

利用Lindo優(yōu)化軟件，可得如下結(jié)果，即賓館選擇2、5、6、7四家即可，客房類型與數(shù)量如下表：

第三階段決策——確定賓館的會(huì)議室及數(shù)量

x1≥0,為整數(shù).

利用Lindo優(yōu)化軟件，解得租用會(huì)議室的費(fèi)用為5600元，結(jié)果如下：

賓館 會(huì)議室容量 會(huì)議室價(jià)格 租借數(shù)量5 150人 1000元 2 6 160人 1000元 1 7 140人 800元 2 200人 1000元 1

第四階段決策——確定租借車輛的情況

整理各賓館中的所住代表人數(shù)情況，于是可確定由賓館i→j的乘車人數(shù).為了讓每一個(gè)不在所住賓館參加分組會(huì)的人都有車乘，用xij,yij,zij分別表示租借用天賓館i到j(luò)的車型 x（45座）、y（36座）、z（33座）的數(shù)量，注意到在賓館 2沒有租用會(huì)議室，則可建立如下模型：

利用Lindo求解，可得租借車輛的費(fèi)用為22000元，具體派車如下：

i→j的派車情況 5 6 7 2 45座1輛 ，33座1輛 45座1輛 45座2輛，33座1輛5 0 33座1輛 45座1輛，33座1輛6 33座2輛 0 45座2輛7 33座2輛 33座1輛 0

4 模型的說明

從模型的建立與求解的過程可知，我們?cè)诠烙?jì)人數(shù)，安排住宿方面都達(dá)到了代表的要求（以90%的概率），現(xiàn)在只需改進(jìn)租車方案.從生活經(jīng)驗(yàn)可知，在450米距離內(nèi)租車是沒有必要的.因此通過計(jì)算，賓館2與7之間、5與7之間、6與7之間是不需用車的，這樣我們的方案就可以減少8輛車，一天的租車費(fèi)用降為8800元，降幅達(dá)60%，節(jié)約的這部分費(fèi)用足夠租賃本次會(huì)議所需的會(huì)議室，并且還可節(jié)余2000多元.

從所給模型的規(guī)模及可解性來看，該模型無論從理論方法上還是技術(shù)手段上，在講究決策科學(xué)化，辦公自動(dòng)化的新時(shí)代，都為會(huì)議籌備人員提供了一種有效的幫助.另一方面，我們也看到：沒有高效的辦公軟件，沒有專業(yè)的工具軟件，對(duì)這種規(guī)模問題的求解是欠效率的，即使求得結(jié)果，也是讓人懷疑其正確性的.因此在未來大數(shù)據(jù)時(shí)代、云計(jì)算時(shí)代，必須具備一定的數(shù)據(jù)處理能力，所以本模型具有一定的可移植性，具有實(shí)用價(jià)值和推廣價(jià)值.