李陽陽，李建成，馮松寶*，孫 磊，麻洪蕊，張萍花

(1.宿州學院 資源與土木工程學院, 安徽 宿州 234000；2.湖南大學 建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室, 湖南 長沙 410082)

0 引言

20世紀50年代初期，建筑物一般不高，外形簡單規(guī)則且樓層的質量和剛度沿高度方向分布均勻，結構的基本振型可以認為是理想的線性振型.相應地,為了計算方便，在順風向陣風荷載因子法以及高頻底座天平技術等傳統(tǒng)計算結構風致響應的方法也均是以此為假設，這些方法在應用于具有理想線性振型的結構時，簡單實用且準確度較高[1].

然而，近年來隨著社會經濟的快速發(fā)展，部分建筑的質量和剛度由于沿高度方向呈現不均勻的分布或其他原因已不再滿足理想的線性振型，即在順風向的模態(tài)振型沿高度方向不再滿足線性變化而呈現出非線性.以結構第一階振型為線性振型的假設，當出現非線性振型情況時，陣風荷載因子法以及高頻底座天平技術難免會出現較大誤差.

在順風向，許多國內外學者研究了非線性振型對高層建筑廣義氣動力譜的影響.VICKERY等[2]以某一實際建筑物為例發(fā)現，根據理想線性振型計算得出的廣義氣動力譜出現了1%～2%的誤差，同時對陣風荷載因子法給出了一個簡單的修正公式.周印等[3]指出了非線性模態(tài)振型對高層建筑風振背景響應和共振響應的敏感性不同且不可忽略.XU等[4]基于風洞試驗數據，提出了順風向的廣義氣動力譜修正公式.BOGGS等[5]假設在高度方向風荷載呈現完全的相關性，系統(tǒng)地分析了非線性振型對基礎底部的彎矩、結構頂部的位移和加速度的影響.HOLMES等[6]將風力譜密度沿高度變化的相關性細分為低相關和高相關，分別計算出了非線性振型對于風荷載的修正公式.考慮到非線性振型對高頻底座天平技術的影響，澳大利亞標準AS1170.4給出了對應于基礎底部彎矩的修正公式0.76+0.24β，β是第一階模態(tài)振型指數[7].

本文則以此為出發(fā)點，在順風向，結合不同的平均風速剖面指數α，研究非線性振型對廣義氣動力譜的影響，并給出關于振型指數β的修正公式，以提升陣風荷載因子法以及高頻底座天平技術等傳統(tǒng)方法計算結構風致響應的準確性.

1 廣義氣動力譜修正公式

1.1 基本公式推導

由文獻[8]可知，在順風向根據隨機振動的理論，并基于如下假設：

(1)準定常假設.

(1)

式中：w(z,t)、(z,t)分別為建筑某一點z高度處t時刻的風壓和風速，ρ為空氣密度，CD為阻力系數.

(2)

式中：H為建筑總高度，α為平均風速剖面指數.

(3)阻力系數沿建筑高度不變

Cd(z)=CD.

(3)

由此可得，作用在建筑物上的第一階廣義氣動力譜密度SF1(n)，假設不計振型之間的耦合作用時，其為：

Rxz(M1,M2,n)dxdx′dzdz′,

(4)

第一階振型φ1(z)采用冪函數表示，振型指數為β，表達式如下：

(5)

(6)

脈動風速相干函數Rxz(M1,M2,n)采用Shiotani相關函數，如下所示：

Rxz(M1,M2,n)=Rx(x,x′)Rz(z,z′),

(7)

將式(5)、(6)和(7)代入式(4)，可得：

FJZ(α,β)2Jx(B)2,

(8)

式中：JZ(α,β)2、Jx(B)2分別定義為豎向和水平向的結合函數.

由式(8)可知，對于理想的線性振型，即振型指數β=1，其廣義氣動力譜密度為：

(9)

根據式(8)和式(9)，可得廣義氣動力譜的振型修正Φ為：

(10)

式中，JZ(α,1)2的表達式為：

(11)

式(10)中ΦM是廣義質量的修正，一般而言，實際振型的廣義質量比較容易計算，這里不做研究，本文只對廣義氣動力譜修正系數ΦD進行討論計算：

(12)

1.2 參數分析

式(12)中各個參數的取值范圍考慮如下：α取0.12、0.30，β取0～2，H取100～400 m.采用數值積分的方法，得到了公式(12)的數值，下面通過圖形說明各個參數(α、β、H)對廣義氣動力譜振型修正系數ΦD的敏感程度.圖1為修正系數隨高度的變化曲線；圖2為修正系數隨振型指數的變化曲線.

(a) α=0.12 (b) α=0.30

從圖1和圖2可得出：

(1)對于固定的α、β值，隨著高度H的增加，當振型指數β小于1時，修正系數ΦD逐漸變小，而振型指數大于1時，修正系數ΦD基本不變；對于固定的α、H值，隨著振型指數β的增加，修正系數ΦD逐漸減小，且在β<1時，變化較大.

(2)修正系數ΦD關于振型指數β呈單調遞減的非線性變化規(guī)律.當振型指數β小于1時，修正系數ΦD均大于1，此時實際振型的廣義氣動力譜是大于理想線性振型的廣義氣動力譜的，計算結果是偏于不安全的；反之，振型指數β大于1時，修正系數ΦD均小于1，這時高估了結構的廣義氣動力譜.β=1(理想線性模態(tài))時，修正系數ΦD恒等于1.

(3)在α=0.12、0.30，β=0～2，H=100～400 m的情況下，ΦD最大值為3.25，最小值為0.51，與線性振型假設下的“1”相比，誤差較大，因此建議對非線性振型的順風向廣義氣動力譜進行修正，以免過分保守或夸大地估算結構的風致響應.

(a) H=100 m (b) H=400 m

1.3 修正系數擬合

由式(12)可知，修正系數ΦD與參數α、β和H的取值均有關，本文計算時考慮了高度H的影響，但為了方便公式運用，在擬合公式時忽略了高度H的影響，其僅是α和β的函數.根據積分結果，式(12)最終擬合為：

(13)

圖3給出了α=0.12和0.30時擬合公式的兩種結果，圖中散點代表計算數據，該數據根據公式(12)所得，取自1.2節(jié)所得數值.作為比較也展示了XU[4]和HOLMES[6]的修正曲線.從圖3可看出，本文提出的擬合結果總體上與文獻[4，6]接近，由于在計算時考慮了高度，圖形上略有些不同.

2 基于規(guī)范振型的建議

由建筑結構荷載規(guī)范[9]可知，順風向高層建筑的基本振型為：

(14)

式中，ξ=z/H為相對高度.采用冪函數的形式對規(guī)范振型進行擬合，得到其指數β=0.896，表達式如下：

φz=ξ0.896.

(15)

圖4分別給出了規(guī)范振型和擬合振型的基本振型曲線，從圖中可知，兩者總體上差別不大，從而較好地保證了兩者的統(tǒng)一性.

(a) α=0.12 (b) α=0.30

圖4 基本振型曲線Fig. 4 The basic mode shape curve

根據分析可知，順風向高層建筑的基本振型并非理想的線性振型(β=0.896≠1)且小于1.根據1.2節(jié)所得到規(guī)律，此時若按傳統(tǒng)方法(陣風荷載因子法以及高頻底座天平技術)估算結構的風致響應，就會出現計算值偏小的情況.

表1給出了當采用規(guī)范振型時，平均風速剖面指數α=0.12、0.15、0.22、0.30的具體廣義氣動力譜修正系數.由表1可知，修正系數的變化范圍為1.080～1.088，簡化起見建議取常數1.1進行修正.

表1 線性振型的修正系數Tab. 1 Correction coefficient of the linear mode

3 修正公式結果驗證

(16)

(a) β=0.5 (b) β=1.5

由圖5可知，在順風向，廣義氣動力譜密度的誤差值ΔD隨著頻率的增加而變化.與XU和HOLMES的方法相比較：按本文方法修正的廣義氣動力譜密度與實際值相差甚少，相比于實際值，誤差基本在-4%～8%之間，擬合情況良好.

4 結論

本文研究了非線性振型對于高層建筑順風向廣義氣動力譜的影響，得到的主要結論如下：

(1)在順風向，根據平均風速剖面指數α、建筑高度H以及迎風面寬度B，運用數值積分的方法，計算得到了振型指數為的β廣義氣動力譜與理想線性振型的廣義氣動力譜比值.同時，結合平均風速剖面指數和振型指數，擬合出了非線性振型的廣義氣動力譜修正公式，并通過風洞試驗發(fā)現該公式擬合情況良好，修正如下：

(17)

(2)在順風向，當振型指數小于1時，修正系數大于1，也即此時實際振型的廣義氣動力譜大于線性振型的廣義氣動力譜，按傳統(tǒng)方法計算的廣義氣動力譜偏小，計算結果是偏于不安全的；反之，當振型指數大于1時，此時對結構設計而言，按傳統(tǒng)方法計算的廣義氣動力譜是偏于保守的.由此，基于線性振型得到的廣義氣動力譜，本文建議采用1.1的修正系數進行修正，可應用于建筑結構荷載規(guī)范所采用的振型.

(3)對于固定的α和H，修正系數ΦD隨著振型指數β的增大而逐漸減小，且在β小于1時，變化較大.對于固定的α和β，當振型指數β小于1時，修正系數ΦD隨著高度H的增大而逐漸變小，而振型指數大于1時，修正系數ΦD基本不變.