李 柱

(信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南 信陽 464000)

0 引言

尋找新的可積系統(tǒng)及其哈密頓結(jié)構(gòu)是孤立子理論研究中的一個重要的課題.1990年屠規(guī)彰教授提出了構(gòu)造離散哈密頓系統(tǒng)的簡潔方法[1],利用此方法得到了許多離散的可積系統(tǒng)[2,3].文獻(xiàn)[4]討論了構(gòu)造孤子解的方法.近年來,構(gòu)造可積系統(tǒng)的耦合系統(tǒng)是一個熱門課題,馬文秀等提出了一個行之有效的方法[5],具體思路如下：

設(shè)G是一個李代數(shù),作G與李代數(shù)Gc的半直和

(1)

做擴(kuò)展的等譜問題：

(2)

由其相容性條件可得擴(kuò)展的零曲率方程：

(3)

即

(4)

由式(4)可得耦合系統(tǒng)：

(5)

文獻(xiàn)[6]討論了此方法在離散可積系統(tǒng)里的應(yīng)用;文獻(xiàn)[7]討論了此方法在高維李代數(shù)情況下的應(yīng)用;文獻(xiàn)[8]討論了此方法在(2+1)-維情況下的應(yīng)用.本文將利用屠格式的方法得到一族劉維爾可積系, 并借助李代數(shù)的半直和方法構(gòu)造其可積耦合系統(tǒng).

1 離散的可積系統(tǒng)

文獻(xiàn)[1]中給出了如下的李代數(shù)：

G=span{e1,e2,e3,e4},

(6)

其中：

容易驗證在如下的矩陣乘法下G是封閉的.

(7)

設(shè)ei(n)=eiλn,i=1,2,3,4,則

(8)

令

bme3(-m)+cme4(1-m)).

(9)

解靜態(tài)零曲率方程：

(EΓ)Un-UnΓ=0,

(10)

得遞推關(guān)系

(11)

aj[u]=0=0,bj[u]=0=0,cj[u]=0=0(j≥1),

其中[u]=(u,Eu,E-1u,…)，則遞推關(guān)系(11)可以唯一地確定aj,bj,cj,j≥1，并且依次可求出

對任意的m≥0,取

bme3(n-m)+cme4(n+1-m)，

(12)

則直接計算得

(EΓ+)Un-UnΓ+=

(13)

故由離散的零曲率方程可得如下的Lax可積系：

(14)

由遞推關(guān)系(11)可得遞推算子L滿足

(15)

其中：

則系統(tǒng)(14)可寫為

(16)

當(dāng)n=0時,系統(tǒng)(16)約化為如下的平凡方程：

(17)

當(dāng)n=1時,系統(tǒng)(16)約化為如下的非平凡方程：

(18)

2 系統(tǒng)(16)的哈密頓結(jié)構(gòu)

定義

c+qc+pae4,

(19)

〈A,B〉=Tr(AB),其中A,B是同階方陣.容易計算，

Tr(e1e1)=Tr(e1e1)=Tr(e3e4)=

Tr(e2e2)=Tr(e4e3)=1,

其余的為0,

因此可得,

由跡恒等式

(20)

可得

(21)

比較λ-n-2的系數(shù)得

(22)

令n=0,則ε=0.因此,有

(23)

故系統(tǒng)(16)具有如下的雙哈密頓結(jié)構(gòu)：

(24)

其中K為

K=JL=

(25)

容易驗證J*=-J,K*=-K,即J,K是反對稱的.下面證明K滿足Jacobi恒等式

〈K′(u)[Kf]g,h〉+〈K′(u)[Kg]h,f〉+

〈K′(u)[Kh]f,g〉=0,

(26)

其中

f=(f1,f2)T,g=(g1,g2)T,h=(h1,h2)T,

(27)

為三個任意的向量函數(shù),u=(p,q)T.

事實上,由式(25)直接計算得

(28)

(29)

其中

K11=F1(E+1)(E-1)-1p+

p(E+1)(E-1)-1F1,

K12=-F1(1+q)-pF2,

K21=F1(1+q)+pF2.

由此可得

〈K′(u)[Kf]g,h〉=

F1(E+1)(E-1)-1pg1h1+

p(E+1)(E-1)-1F1g1h1-

F1(1+q)g2h1-pF2g2h1+

F1(1+q)g1h2+pF2g1h2=

p(E+1)(E-1)-1pf1(E+1)(E-1)-1pg1h1+

p(1+q)2f2g2h1-p(1+q)2f2g1h2+

p(E+1)(E-1)-1p(E+1)(E-1)-1pf1g1h1+

p2(1+q)f1g1h2-p2(1+q)f1g2h1-

p(1+q)f2(E+1)(E-1)-1pg1h1-

p(E+1)(E-1)-1p(1+q)f1g2h1+

p(E+1)(E-1)-1p(1+q)f1g1h2-

p(E+1)(E-1)-1p(1+q)f2g1h1.

(30)

類似地可求得〈K′(u)[Kg]h,f〉和〈K′(u)[Kf]g,h〉.通過復(fù)雜的計算可得

〈K′(u)[Kf]g,h〉+〈K′(u)[Kg]h,f〉+

〈K′(u)[Kh]f,g〉=0.

(31)

同理可證,J也滿足Jacobi恒等式

〈J′(u)[Jf]g,h〉+〈J′(u)[Jg]h,f〉+

〈J′(u)[Jh]f,g〉=0.

(32)

因此J,K是哈密頓算子.遞推算子L的共軛算子為

(33)

其中

則

L*J=

(34)

下面考慮Poisson括號

(35)

于是,

(36)

同理可得

(37)

因此

(38)

并且

(39)

3 系統(tǒng)(14)的可積耦合

令

G1=span{f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8},

(40)

其中

(41)

容易驗證G1在如下的矩陣乘法下是封閉的.

(42)

記G2=span{f1,f2,f3,f4},G3=span{f5,f6,f7,f8},則G2,G3同構(gòu)于G,且

G1=G2⊕G3,

[G2,G3]?G3,G2是G1的理想.設(shè)

fi(n)=fiλn,i=1,2,…,8,

(43)

令

bmf3(-m)+cmf4(1-m)+

dmf5(-m)-dmf6(-m)+

gmf7(-m)+hmf8(1-m)).

(44)

解零曲率方程：

(EΓ)Un-UnΓ=0,

(45)

得下面的遞推關(guān)系：

(46)

aj[u]=0=0,bj[u]=0=0,

cj[u]=0=0,dj[u]=0=0,

gj[u]=0=0,hj[u]=0=0,(j≥1),

其中[u]=(u,Eu,E-1u,…),則遞推關(guān)系(46)可以唯一地確定aj、bj、cj、dj、gj、hj,j≥1,并且依次可求出

對于任意的整數(shù)m≥0,取

bmf3(n-m)+cmf4(n+1-m)+

dmf5(n-m)-dmf6(n-m)+

gmf7(n-m)+hmf8(n+1-m)).

(47)

直接計算得

(EΓ+)Un-UnΓ+=

(bn+1+gn+1)e7(0)+

(48)

則由離散的零曲率方程得如下方程族：

當(dāng)r=s=0時,系統(tǒng)(49)約化為系統(tǒng)(14).因此,由可積耦合的定義可知，系統(tǒng)(49)是系統(tǒng)(14)的可積耦合.

4 結(jié)束語

本文得到了一族具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)的劉維爾可積系,并構(gòu)造了其耦合系統(tǒng),利用同樣的方法也可以進(jìn)一步構(gòu)造其雙可積耦合系統(tǒng).今后我們將進(jìn)一步討論其達(dá)布變換、守恒律、對稱結(jié)構(gòu)和代數(shù)幾何解等可積性質(zhì);如何把構(gòu)造耦合系統(tǒng)的方法推廣到超可積系統(tǒng)也是值得我們今后研究的重要問題.