朱佳翔，蔡建飛，林徐勛

(常州大學商學院，江蘇 常州 213164)

1 引言

決策領域中逼近理想點法(TOPSIS)是一種逼近于理想解的排序法，目前文獻中出現的TOPSIS方法常用于解決脆值理論中質量、性能及效益的評價決策問題，在現實環(huán)境下多準則分類決策(MCS)方面的研究較少。Hwang等[1]結合TOPSIS法，提出了一種理想環(huán)境下經典的多準則決策方法。然而，在現實環(huán)境下決策者的判斷與偏好往往不能用具體的數值來估計，因此，理想環(huán)境下的許多決策在現實環(huán)境下是不可行的?；诖耍S多學者考慮在不確定現實環(huán)境中運用經典模糊集理論[2]進行決策，如方樹平和董九英[3]、趙樹平等[4]、裴植等[5]和汪新凡[6]應用經典模糊集與TOPSIS法去解決現實環(huán)境下不確定多準則決策問題，但對現實決策環(huán)境中不確定因素的復雜性，以及決策者的主觀性等因素考慮不足。與經典模糊集相比，直覺模糊集具有更強的表達能力和靈活性。自Atanassov[7]提出直覺模糊集(IFS)以及區(qū)間直覺模糊集概念以來，許多學者將直覺模糊集擴展應用到模糊TOPSIS領域，提出IFS TOPSIS等創(chuàng)新方法[8]。Atanassou[9]定義了區(qū)間直覺模糊集(IVIFS)的運算律。Tan Chunqiao等[10-11]給出了不確定環(huán)境下一種新的基于IVIFS及TOPSIS的多準則決策方法。Xu Zeshui[12]界定了區(qū)間直覺模糊權重幾何均值算子(IIFWGA)及區(qū)間直覺模糊權重排序幾何均值算子(IIFOWGA)等。Wei Guiwu等[13]應用IIFWGA幾何聚類函數處理動態(tài)多屬性決策問題。但上述方法主要用于解決一般群決策問題，對決策分類問題研究較少，對多準則分類決策(MCS)方面的研究更少。

目前多準則分類決策(MCS)方面的研究主要集中在單個決策者的MCS問題研究，關于多決策者的多準則群決策分類(MCGS)問題的研究較少。Greco等[14]研究利用級別高于關系的MCS方法對方案進行分類。Almeida-Dias等[15]研究利用基于距離的MCS方法對決策方案進行分類。上述單個決策者的決策分類方法，在實際決策中往往因個人知識經驗不足而導致決策失誤。因此，許多學者展開了對多決策者的群決策MCS問題研究，如Greco等[16]研究利用集合運算方法獲得決策分類區(qū)間。Kadzinski等[17]研究利用代表函數對決策方案進行精確分類。Cai Fuling等[18]給出一種交互式案例分類信息的群決策分類方法。上述方法大多基于單類型偏好信息的MCS問題展開，信息遺漏現象嚴重，忽略準則之間的依賴屬性，缺少對多類型偏好信息的研究，而且在研究中未兼顧決策者的偏好，因此難以解決實際決策方案中的分類難題。基于此，本文提出基于CI-TOPSIS的梯形直覺模糊多準則群決策分類方法，是一種融合Choquet積分與TOPSIS的決策方法創(chuàng)新，克服決策過程中信息的遺漏，充分保留決策過程中信息的完備性，以及充分考慮群決策分類準則之間相應依賴屬性與決策者的決策偏好。依據決策者偏好的級別和比較信息，用以確定具有最大可信度群體一致案例比較信息集，并逐步引導決策者給出部分及全部方案的精確分類，有效避免群決策分類準則評價值過低時方案被分配到較好類別，以及有效避免因個人知識、經驗局限性所導致的決策失誤。

2 問題描述

在模糊不確定環(huán)境下為兼顧決策者偏好與其他主觀因素，假設多個決策者擁有相同方案集、準則集以及方案的準則評價值。決策者事先將現有方案分配至給定的類別、準則評價值以及類邊界，并通過決策者自身所掌握知識及經驗確定方案的分類結果，以致分類結果中包含各個決策者的偏好及地位?；陔x散Choquet積分TOPSIS(CI-TOPSIS)的模糊多準則群決策的分類流程如圖1所示。

圖1 基于CI-TOPSIS的模糊多準則分類流程圖

假設模糊不確定決策環(huán)境下決策者提供的案例比較信息具有不同的模糊可信度[20]。給定A={a1,a2,…,am}為待分類方案集，ai是第i個待分類方案，分類準則集為G={g1,g2,…,gn}，其中，gj(ai)是方案ai在準則gj下的評價值，wj是第j個準則的權重，αj=min{gj(ai)}，βj=max{gj(ai)}，i=1,2,…,m。假設決策偏好隨著gj(ai)的增大而增大，對于準則gj，假設決策者具有相同的偏好閾值pj、無差異閾值qj以及否決閾值vj，j=1,2,…,n。若Ck與Ck+1類別之間通過邊界bk=(g1(bk),g2(bk),…,gn(bk))加以區(qū)分，參閱文獻[22]可設定分類集合為：C={C1,C2,…,Ch}。設定T={e1,e2,…,eL}為L個決策者的集合，設定η={η1,η2,…,ηL}為歸一化處理后的決策權重。由于要考慮決策者偏好，可將決策者es認為方案ai1優(yōu)于方案ai2，設定為ai1pesai2；決策者es認為方案ai1與方案ai2無差異，設定為ai1Iesai2，最終將決策者提供的所有案例比較信息Infr歸結到集合InfSet?；陔x散Choquet積分的TOPSIS(CI-TOPSIS)算子相關知識準備，在第3章有詳盡描述與論證。

3 知識準備

3.1 梯形直覺模糊集

令模糊集A是論域X上映射，X∈[0,1]。對于任何x∈X，A(x)為模糊集A上的隸屬度函數。令X={x1,x2,…,xn}是準則集，P(x)是X上的權重集。

定義1 對于論域X上ρ的模糊隸屬度μ，μ:P(x)→[0,1]。必須滿足下列條件。

(1)

其中，μ(xi)是xi一個子集的模糊隸屬度，對于每個子集A?X，可得到式(2)。

μ(A)=

(2)

根據式(1)由μ(x)=1單獨確定ρ的值，等價于求解式(3)。

(3)

如果論域X上的集合B是獨立的，對于任意B?X則有：

(4)

Zimmermann運用梯形模糊數來定義LR型模糊隸屬度函數如定義2。

定義2 令L、R是遞減函數，其區(qū)間值在[0,1]上。當x>0時，L(x)<1；當x=0及L(+∞)=0時，L(1)=0或L(x)>0。LR型梯形模糊數x的模糊隸屬度函數表達式如式(5)。

μX(x)=

(5)

其中，m10、β=m4-m3>0。LR型梯形模糊數x可表示為(m1,m2,m3,m4)LR。

定義3 對于一個LR型梯形模糊數x=(m1,m2,m3,m4)LR，假定L(x)=R(x)=1-x，可表示為

(6)

其中，m10、β=m4-m3>0分別為左擴展、右擴展。

3.2 相關算子

在上述梯形直覺模糊集相關理論基礎上，給出廣義梯形直覺模糊幾何聚類算子與CI-TOPSIS算子。

同上，鑒于論文篇幅所限，此處證明省略。

(7)

(1)若Infr=asapasb，則實現方案asa與方案asb之間差異最大化，則需通過如下約束實現。

(2)若Infr=asaIasb，則削弱方案asa與方案asb之間差異，則需通過如下約束實現。

其中，mindr可使得方案asa，asb之間差異最小化。

(8)

(9)

i=1,2,…,m

(10)

3.3 基于CI-TOPSIS算子的梯形直覺模糊群決策分類步驟

進一步給出基于CI-TOPSIS算子的梯形直覺模糊群決策分類步驟如下：

步驟1分析問題，給出分類方案集A={a1,a2,…,am}、評價準則集G={g1,g2,…,gn}、決策的權重η={η1,η2,…,ηL}，方案的評價值gj(ai)，偏好閾值pj、否決閾值vj、無差異閾值qj，并對各分類集合C={C1,C2,…,Ch}和邊界bk(k=0,1,…,h)進行定義。

步驟2 決策者根據知識與經驗，給出部分方案的案例比較信息，再確定各個決策者的偏好的模糊隸屬度及其參數ρ，通過參數大小的比較，確定具有最大可信度的群體一致案例比較信息集(ConInfSet)。

步驟4 將方案的分類區(qū)間及備選方案μ(c1)=0.45提供給決策者。

步驟6 通過如式(10)所示接近度系數，可獲得剩余方案的精確分類。

步驟7 如果決策者對群決策方案的分類結果存在疑慮，或對結果不滿意則算法終止，重新回到步驟1進行新一輪決策。

4 實例分析

某投資公司對20個風險投資項目:A={a1,a2,…,a20}進行評價，由于資源的有限性不能同時支持所有項目，因此必需這20個項目進行投資風險評估，經市場調研投資公司已經給出每個項目的未來預期收益、投資成本、成功概率以及期望收益率等數據。給定5個模糊評價詞語為：C1=“差”，C2=“一般”，C3=“較好”，C4=“好”，C5=“很好”。給定的3個評價準則分別為：g1=“風險分析”，g2=“成長分析”，g3=“社會影響分析”，g4=“環(huán)境影響分析”。其中，每個準則又由其他準則組成，投資公司賦予子準則以不同的權重，并制定了各個準則的評價標準，綜合問卷調查與專家咨詢給出模糊決策矩陣如表1所示。

表1 風險投資項目模糊評價矩陣

給定三個決策者T={e1,e2,e3}參與決策，決策權重設定是根據決策者在該領域知識、經驗及貢獻的綜合評分，可預先運用AHP法進行權重的測度。如果參照劉佳鵬等[19]，統(tǒng)一將三個決策者T={e1,e2,e3}權重設定為(1/3, 1/3, 1/3)，則會產生分類結果的偏差。論文篇幅所限，運用AHP法以及對決策者權重測度的探討，此處省略。假設已經根據AHP 法測度出三個決策者T={e1,e2,e3}權重集為(0.48,0.24,0.28)；同時設定無差異閾值qj=2.8，偏好閾值pj=5.4及否決閾值vj=10.0，j=1,2,3，分類邊界見表2。根據梯形直覺模糊信息對這20個備選投資項目方案進行評價。

利用上述分類方法，該風險投資項目的計算結果如下：

表2 案例分類邊界

表3 方案的分類區(qū)間

表4 剩余方案的分類區(qū)間

(4)表3與表4比較發(fā)現：a3的分類區(qū)間縮小到C3，a6的分類區(qū)間縮小到C4，a19的分類區(qū)間縮小到C2，其他方案保持不變，此時，決策者無法再次確定剩余方案的精確分類。通過接近度系數獲得剩余方案的精確分類如表5所示，評價為“好”的投資項目C4組合為：a3、a6，a9、a16、a20。若決策者對群決策方案的分類結果存在疑慮，或者對結果不滿意，則算法終止，重新回到步驟1進行新一輪決策。

根據已給定的未來預期收益、投資成本、成功概率以及期望收益率等指標，不同決策方法下C4(好)項目組合投資期望效益比較如表6所示。

表5 方案的精確分類

表6 不同決策方法下C4(好)類投資的期望效益比較

從表5可見，ConInfSet={Inf1,Inf2,Inf3,Inf4,Inf5}，方案a6，a9，a17，a20的分類情況發(fā)生了變化。其中方案a6被分配到C4類，方案a9被分配到C4類，方案a17被分配到C3類，方案a20被分配到C4類，其他方案的分類結果未變。由表6可知，本文提出的方法與傳統(tǒng)權重確定的方法相比，以C4(好)分類組合投資方案為例，給定的預算投入在50%、60%、70%三種情景下，其組合投資期望回收期皆縮短了2年，投資期望成本分別降了113.8百萬元、185.73百萬元、337.8百萬元，投資期望收益分別提升704.46百萬元、749.52百萬元、534.18百萬元，說明本文提出的決策分類方法避免了將好的方案分配到較差類別，或評價值過低時的方案被分配到較好的類別，避免因個人知識、經驗局限性所導致的決策失誤。

為了驗證該本文方法的有效性，與趙樹平等[4]方法進行對比分析，發(fā)現趙樹平等[4]僅能根據評價準則進行總排序，排序結果為：a9?a3?a6?a14?a20?a17?a16?a10?a2?a4?a8?a11?a13?a15?a12?a19?a7?a5?a1?a18，顯然，趙樹平等[4]方法并不能將上述20個項目按照模糊詞語“好”、“較好”、 “很好”、“一般”、“差”進行精確分類。再次將本文方法與劉佳鵬等[19]進行比較，發(fā)現劉佳鵬等[19]的方法雖能對各個方案精確分類，但沒有考慮決策者權重差異性對分類結果的影響，如僅給定三名決策者的權重是相等的，同為(1/3, 1/3, 1/3), 一旦決策者之間提供的信息產生誤差，分類結果也將產生沖突，無法將分類信息納入到群體一致案例比較信息集。

通過實例與上述不同方法比較，驗證了提出方法的科學性，充分考慮了決策者的偏好以及準則間的相互依存、相互作用，最終尋找出最理想的分類結果。此外，一旦決策者e1提供的信息Inf1和決策者e2，e3提供的信息Inf2，Inf3之間存在沖突時，若決策者e1具有較大的權重，則被納入群體一致案例比較信息集；若決策者e1與其他決策者擁有同等權重，則Inf2，Inf3也被選入群體一致案例比較信息集，這就導致上述兩種分類結果的差異。因此，本文采用的基于CI-TOPSIS的梯形直覺模糊多準則群決策分類方法充分考慮決策者的主觀偏好與信息比較之間的級別關系，克服了決策過程中信息的遺漏，充分保留了決策過程中信息的完備性，更適用于直覺模糊群決策環(huán)境下的決策實踐，可應用推廣到更多決策領域。

5 結語

模糊群決策分類方法廣泛應用于政治、經濟與社會生活各個領域，可有效避免個人知識與經驗局限性所導致的決策失誤。本文給出的基于CI-TOPSIS的梯形直覺模糊多準則群決策分類方法創(chuàng)新在于：(1)該方法是基于梯形直覺模糊集理論而非直覺模糊集或模糊集理論，充分保留了決策過程中信息的完備性，不會導致信息的遺漏與遺失；(2)在模糊決策環(huán)境下，可根據梯形直覺模糊聚類算子定義案例比較信息的可信度，確定具有最大可信度的群體一致性案例比較信息集；(3)考慮決策者提供信息的可信度，通過接近度系數獲得方案的精確分類。因此，該模糊群決策分類方法在決策實踐中是非常有效和科學的，可應用推廣到更多決策領域。本文因篇幅所限未討論模糊決策環(huán)境下的信息冗余問題，當信息的冗余程度達到一定的程度，很可能對群決策產生一定的影響，使得決策方案的分類區(qū)間不夠精確，這將是進一步研究所要討論的問題之一。