宗學軍, 吳振強

(沈陽化工大學 信息工程學院， 遼寧 沈陽 110142)

嚴格反饋形式的非線性系統(tǒng)控制研究吸引了越來越多研究者的關(guān)注，系統(tǒng)輸出的跟蹤控制問題是工業(yè)領(lǐng)域中一個重要又實際的研究課題[1].然而實際系統(tǒng)的非線性特性以及不可避免的不確定性因素的存在對系統(tǒng)的輸出跟蹤都能造成巨大影響，因此對于這類不確定非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題研究具有非常重要的現(xiàn)實意義.基于反演(backstepping)法的自適應控制已研究多年，其有效解決了一類不確定非線性系統(tǒng)的自適應控制問題.它從系統(tǒng)最低階微分方程開始，在每一步的設(shè)計過程中引入虛擬狀態(tài)和虛擬控制，并在最后一步設(shè)計出實際控制律[2-3].另一方面，傳統(tǒng)的自適應控制技術(shù)還不能完全解決非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的能夠影響控制系統(tǒng)性能的極為復雜的不確定性.因此，利用模糊邏輯系統(tǒng)的萬能逼近性能去辨識系統(tǒng)中的不確定項是一種新的方法[4-7].

性能約束問題一直是許多工業(yè)控制系統(tǒng)中最重要的研究課題之一，它可以防止系統(tǒng)遭受損壞.其主要思想是在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下還可以滿足系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能.近年來，約束控制方法的研究已經(jīng)取得了一些進展[8-11].其中預設(shè)性能控制(prescribed performance control,PPC)方法的關(guān)鍵就是采用一個轉(zhuǎn)換函數(shù)把原始系統(tǒng)的誤差轉(zhuǎn)換成一個新系統(tǒng)的新誤差.而這個轉(zhuǎn)換函數(shù)的逆變換則被作為設(shè)計自適應控制器的一個變量.只要轉(zhuǎn)換后的誤差系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的跟蹤誤差就會保持在預設(shè)的誤差邊界之內(nèi)[7].

基于以上分析，本文考慮一類嚴格反饋非線性系統(tǒng)的自適應跟蹤約束控制問題.結(jié)合模糊邏輯系統(tǒng)解決了系統(tǒng)中的不確定項.設(shè)計了一個新的約束變量來保證非線性系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能.利用Lyapunov方法，證明閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號都是半全局一致最終有界的，且跟蹤誤差可以收斂到原點附近的一個較小鄰域內(nèi).

1 問題的描述

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下的不確定嚴格反饋非線性系統(tǒng)：

(1)

引理1[12]如果F(Z)被定義為密集ΩZ上的連續(xù)函數(shù)，則存在模糊邏輯系統(tǒng)WTQ(Z)，其能夠以一個理想的精度ε>0去逼近任何連續(xù)非線性函數(shù)，使得

(2)

其中：W=[w1,w2,…,wn]T是理想的權(quán)值向量;Q(Z)是基函數(shù)向量.

1.2 約束變量

預設(shè)性能邊界函數(shù)Bψ(t)的定義如下：

Bψ(t)=(ρ0-ρ∞)e-βt+ρ∞,

(3)

其中：ρ0是邊界函數(shù)Bψ(t)的初始值；β是指數(shù)函數(shù)的收斂度；limt→∞Bψ(t)=ρ∞.ρ0，ρ∞和β是預設(shè)定常數(shù).

定義跟蹤誤差e1=ξ1-yr，其中yr為已知的有界的跟蹤信號，且它的導數(shù)也是已知有界的.在自適應模糊控制器的反演設(shè)計過程中，提出一種新的約束變量，其定義如下：

(4)

對ι1求導可以得到:

(5)

2 自適應模糊控制器設(shè)計

采用反演技術(shù)設(shè)計自適應控制器，首先設(shè)計虛擬控制信號αi和實際控制輸入u：

i=2,3,…,n

(6)

(7)

ci為未知常數(shù)，后面將給出Wi.在該控制器設(shè)計中采用了反演方法，虛擬狀態(tài)變量定義為：

zi=ξi-αi-1，i=1,2,…,n，z1=e1，α0=yr.

i=2,3,…,n-1

(8)

自適應律的定義如下：

(9)

其中:i=2,3,…,n；ri和σi為設(shè)計的正參數(shù).

控制器的設(shè)計過程共分為n步.

第1步 考慮系統(tǒng)(8)中的第一個子系統(tǒng)，選擇以下Lyapunov函數(shù)：

(10)

由z2=ξ2-α1，推導出V1導數(shù)：

(11)

|δ1(Z1)|≤λ1.

(12)

其中δ1(Z1)是逼近誤差.

(13)

(14)

(15)

將式(13)和(15)代入式(11)中，得到：

(16)

(17)

第j步j(luò)=2,3,…，n-1，考慮下面的Lyapunov函數(shù)：

(18)

Vj導數(shù)為：

(19)

則有：

(20)

(21)

由于ξj+1=zj+1+αj，式(21)可以得出如下形式：

(22)

(23)

第n步 考慮以下Lyapunov函數(shù):

(24)

Vn導數(shù)為：

(25)

(26)

3 穩(wěn)定性分析

(1) 閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號均為半全局一致最終有界.

(2) 輸出跟蹤誤差e(t)=y(t)-yr(t)小于預設(shè)的界限，并且滿足暫態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)的預設(shè)性能.

證明：(1)由于

(27)

將式(27)帶入式(26)中，得到：

(28)

設(shè)置控制參數(shù)如下：

(29)

(30)

由不等式得到：

(31)

(2) 由V1和式(31)可知：

(32)

從Π>0,Λ>0,0

V(0)e-Λt≤V(0).

(33)

式(33)代入式(32)可得：

(34)

(35)

即：

(36)

因此可得：

(37)

即：

(38)

因此可以看出，輸出跟蹤誤差小于預設(shè)的界限，通過選擇合適的設(shè)計參數(shù)，誤差可以任意小.

4 仿真結(jié)果與分析

考慮單連桿機械手臂動力學系統(tǒng)的數(shù)學描述如下[14]：

(39)

其中：M為負載端慣量；m為負載質(zhì)量；L為連桿長度；u表示電機的輸入電壓.

機械手臂的參數(shù)設(shè)置：m=1 kg，M=0.5 kg·m2，L=1 m，g=9 m/s2.跟蹤誤差的預設(shè)性能參數(shù)設(shè)置：邊界函數(shù)的初始值ρ0=0.8,穩(wěn)態(tài)誤差ρ∞=0.01,最小收斂速度β=2.選取控制參數(shù)值為：k1=150,k2=30,a1=5,a2=2,r1=r2=0.25,σ1=5.25和σ2=0.25.初始條件設(shè)為[ξ1(0),ξ2(0)]T=[0.4,2.5]T,[θ1(0),θ2(0)]T=[0,0]T.理想輸出軌跡為yr(t)=sin(0.5t).仿真結(jié)果如圖1～圖4所示.

由圖1和圖2可以看出，與參考文獻[2]的一般動態(tài)面控制(DSC)方法相比較，采取相同的參數(shù)設(shè)置，本文所提方法下系統(tǒng)的超調(diào)量更小.自適應參數(shù)變化曲線和控制量輸入u分別如圖3和圖4所示.仿真結(jié)果表明，本文所提出的控制方法具有較好的跟蹤性能，且跟蹤誤差被限定在預設(shè)的約束范圍之內(nèi).

圖1 系統(tǒng)的實際輸出y，一般動態(tài)面方法的yd，理想輸出yr

圖2 系統(tǒng)的跟蹤誤差e，一般動態(tài)面方法的ed

圖3 自適應參數(shù)曲線

圖4 控制量輸入u

5 結(jié) 論

建立了一種用于不確定嚴格反饋非線性系統(tǒng)的軌跡跟蹤反演控制方法.通過設(shè)計約束函數(shù)以實現(xiàn)跟蹤誤差的預設(shè)性能控制.仿真結(jié)果的實際輸出與一般動態(tài)面方法的輸出相比較，可以得到機械手臂動力學系統(tǒng)的跟蹤性能較好，調(diào)節(jié)速度較快.仿真結(jié)果的跟蹤誤差與一般動態(tài)面方法的跟蹤誤差相比較，可以得到機械手臂動力學系統(tǒng)的超調(diào)量更小，振蕩較少，且跟蹤誤差被限定在約束范圍之內(nèi).所以仿真結(jié)果表明了性能約束的自適應反演控制方法的有效性和可行性.