徐丹青，安博文，趙明

（上海海事大學(xué)信息工程學(xué)院，上海 201306）

0 引言

大氣湍流退化圖像恢復(fù)技術(shù)是在遙感、天文觀測(cè)及遠(yuǎn)程監(jiān)視領(lǐng)域中的重要步驟之一。由于大氣環(huán)境中的湍流無(wú)處無(wú)在，因此光學(xué)成像系統(tǒng)的成像效果受到極大的影響。

根據(jù)成像系統(tǒng)曝光的時(shí)間長(zhǎng)短，大氣湍流退化圖像大致可分為兩類：長(zhǎng)曝光大氣湍流圖像和短曝光大氣湍流圖像。長(zhǎng)曝光大氣湍流圖像的退化特征為整體模糊，退化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)近似為高斯模型。短曝光大氣湍流圖像的退化特征為畸變和光照不均勻。

在自然條件下，我們一般很難獲取清晰圖像的先驗(yàn)知識(shí)和退化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。所以估計(jì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是一個(gè)復(fù)雜的問題。

本文中以大視角、遠(yuǎn)距離條件下的長(zhǎng)曝光大氣湍流退化圖像為研究對(duì)象，提出了一種點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的估計(jì)方法。首先，根據(jù)高斯函數(shù)模型建立長(zhǎng)曝光大氣湍流退化圖像的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)框架，然后，通過(guò)對(duì)自然圖像的頻譜特征分析，建立了近似頻譜原點(diǎn)對(duì)稱的模型，在該模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合退化圖像的頻譜構(gòu)建清晰圖像的頻譜，再通過(guò)改進(jìn)擬合方式獲得了點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)，最后利用維納濾波獲得了復(fù)原圖像。

1 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)估計(jì)方法

圖像退化模型可表示為如下：

式中：g（x,y）為退化圖像；f（x,y）為初始圖像；h（x,y）為大氣湍流的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，將公式（1）轉(zhuǎn)換到頻域上，即可表示為：

式中：G、H、F、N 分別為 g、h、f、n 的傅里葉變換。

當(dāng)光學(xué)成像系統(tǒng)的曝光時(shí)間較長(zhǎng)比如達(dá)到幾秒至幾十秒，則記錄的是一個(gè)時(shí)間平均像，即為長(zhǎng)曝光大氣湍流退化圖像，其傳遞函數(shù)H（u,v）可表示為：

波前相位空間結(jié)果函數(shù)可表示為：

r0為大氣相干長(zhǎng)度，將波前相位空間結(jié)果函數(shù)（4）代入式（3）可得：

將公式（6）代入公式（5）中，可以得到基于r0的長(zhǎng)曝光退化函數(shù)為：

進(jìn)一步簡(jiǎn)化可得到：

由上式可以看出，長(zhǎng)曝光大氣湍流退化系統(tǒng)可以看成是一個(gè)高斯分布，α是由大氣介質(zhì)中湍流強(qiáng)度等環(huán)境因素決定，β是長(zhǎng)曝光大氣湍流退化系統(tǒng)的參數(shù)。

由公式（2）各個(gè)分量分別取模，再將公式兩邊分別除以max（ ||G(u,v)）以進(jìn)行歸一化，可得到：

假設(shè)環(huán)境中的噪聲對(duì)成像系統(tǒng)的影響較?。ê雎栽肼曈绊懀┣覞M足下列條件：

則頻譜歸一化模型可以近似看成：

將推導(dǎo)的長(zhǎng)曝光大氣湍流退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（7）代入（13），然后再將兩邊取自然對(duì)數(shù)得：

因?yàn)樵瓐D像和大氣湍流的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的頻譜具有對(duì)稱性，所以可讓u=0，可得到如下結(jié)果：

只要得到α的值就可以計(jì)算出點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，因此，獲取點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的關(guān)鍵就在于構(gòu)建ln ||F'(0,v)。APEX算法將ln ||F'(0,v)項(xiàng)看作常數(shù)，研究表明其取值在（2,6）范圍內(nèi)效果最佳。本文針對(duì)于復(fù)雜背景的自然圖像采用了“近似頻譜原點(diǎn)對(duì)稱”的模型對(duì)ln ||F'(0,v)進(jìn)行充構(gòu)建，一次來(lái)估計(jì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

2 復(fù)雜背景下遠(yuǎn)距離自然圖像大氣湍流退化前后頻譜特征

研究人員在分析遠(yuǎn)距離自然圖像頻譜特征的過(guò)程中得出一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即在自然圖像的傅里葉變換空間坐標(biāo)軸上，如果采用雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)顯示，自然圖像的頻譜最佳擬合曲線有著相似的斜率。

本文選取的自然圖像是成像系統(tǒng)在遠(yuǎn)距離條件下獲取的，具有背景復(fù)雜，紋理信息豐富，幾何線條多樣化的特點(diǎn)，其中圖1的（a）為清晰的自然圖像，（b）為清晰圖像頻譜取用正半軸數(shù)據(jù)且在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下的顯示。根據(jù)頻譜可發(fā)現(xiàn)，中低頻段幾乎是斜線下降。

圖1 清晰圖像及頻譜

根據(jù)前文的分析，由于長(zhǎng)曝光的大氣湍流退化過(guò)程可以表示為清晰圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積，因此本文對(duì)此類退化過(guò)程進(jìn)行模擬。

圖2位遠(yuǎn)距離自然圖像在長(zhǎng)曝光大氣湍流退化前后的頻譜對(duì)比。

其中（a）為清晰圖像，（b）為退化后的圖像。經(jīng)過(guò)大量模擬實(shí)驗(yàn)可知，經(jīng)過(guò)大氣湍流后的退化圖像，其頻譜要整體低于清晰圖像，且高頻部分變化更加明顯，遠(yuǎn)距離拍攝的圖像，其頻譜在退化之前的中低頻段幾乎為一條直線，類似一個(gè)軸對(duì)稱三角形。

圖2 退化前后對(duì)比

經(jīng)過(guò)前文的分析可知，在遠(yuǎn)距離條件下獲取的自然圖像，其頻譜特征具有很大的相似性。通過(guò)對(duì)比退化前后的圖像頻譜特征，就可以通過(guò)退化圖像頻譜來(lái)恢復(fù)出清晰圖像頻譜。

3 頻譜模型重建和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)估計(jì)

3.1 頻譜模型重建

在取 β=5 6，的情況下，可以通過(guò)公式（15）估計(jì)出α的值，但要想獲得點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)α，還必須要知道退化之前的清晰圖像頻譜ln ||F'(0,v)。由于自然圖像在退化前后的頻譜在高頻部分變化不明顯，在中低頻的部分被壓低，且在遠(yuǎn)距離獲取的自然圖像頻譜在中低頻段幾乎為直線，所以我們可以利用這些特點(diǎn)重建清晰圖像頻譜ln ||F'(0,v)，以此來(lái)估計(jì)α的值。

圖3所示為長(zhǎng)曝光大氣湍流退化的自然圖像頻譜，我們假設(shè)圖像的尺寸為2M×2N，我們用圖中所示的直線來(lái)表示ln ||F'(0,v)中低頻段部分，由于圖像頻譜關(guān)于坐標(biāo)軸原點(diǎn)對(duì)稱，所以我們只需要關(guān)心0＜v＜N部分。

假設(shè)直線定點(diǎn)和右端點(diǎn)分別為A和B，根據(jù)退化圖像獲取直線AB的數(shù)據(jù)，假設(shè)A，B兩點(diǎn)的分別為直線AB方程為y=ax+b,兩點(diǎn)坐標(biāo)可表示為：

圖3 頻譜重建

在上式中：參數(shù)n1，n2主要用于確定點(diǎn)A和點(diǎn)B，在本文的研究背景下，我們?nèi)1≥0，n2≤10。為了保證重建過(guò)后的清晰圖像頻譜要整體高于退化圖像的頻譜，我們?cè)O(shè)置參數(shù)σ1≥-1和σ2≤1。得出的點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)確定直線AB的方程,這樣就可以確定AB上的每一個(gè)點(diǎn)的值。按照公式（19）就可以確定清晰圖像頻譜

圖4 選取有效區(qū)間

3.2 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)估計(jì)

（1）傳統(tǒng)最小二乘法

最小二乘方擬合要求各個(gè)誤差的平方和最小即：

其中Δmin代表誤差值δi平方之和的最小值。

上式求出α的值可以比較好地?cái)M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，此種方法即為傳統(tǒng)最小二乘法原理。

（2）曲線擬合方法改進(jìn)

對(duì)于公式（21）,重新定義其最佳擬合應(yīng)為：

對(duì)上式求導(dǎo)得：

由公式（24）求出α，從而y=-α ||x2β為改進(jìn)的曲線擬合結(jié)果。

4 圖像復(fù)原步驟及結(jié)果分析

4.1 實(shí)驗(yàn)步驟

（1）獲取長(zhǎng)曝光大氣湍流退化圖像；（2）分析退化函數(shù)，并根據(jù)分析，取 β=5 6；（3）根據(jù)頻譜特征重建模型ln ||F'(0,v)并估計(jì)出參數(shù)α；（4）使用維納濾波復(fù)原。

4.2 圖像復(fù)原結(jié)果

本實(shí)驗(yàn)選取了三組圖像，圖5為輸入的三組退化圖像，圖6分別為APEX算法復(fù)原的圖像，其估計(jì)的參數(shù)α=0.000587，圖7分別為本文提出的改進(jìn)算法結(jié)合改進(jìn)擬合算法估計(jì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的復(fù)原圖，其估計(jì)的參數(shù)α=0.000723。

圖5 退化圖像

圖6 APEX算法

圖7 本文改進(jìn)算法

4.3 結(jié)果評(píng)價(jià)

在對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析的過(guò)程當(dāng)中我們使用灰度平均梯度值（GMG）和拉普拉斯梯度值（LS）最為客觀的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。GMG是求圖像中各個(gè)像素點(diǎn)在x和y方向上的灰度差值的均值平方和，GMG值越大表明圖像的紋理越清晰，圖像的質(zhì)量越好。LS是圖像中每個(gè)像素在3×3的領(lǐng)域內(nèi)在拉普拉斯算子作用下歸一化均值。LS值越大表明圖像的輪廓越清晰，圖像的質(zhì)量就越好。GMG和LS的計(jì)算公式如下：

式中：g為待評(píng)價(jià)圖片，尺寸為M×N。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：本文的算法可以較為準(zhǔn)確地估計(jì)出點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，在主觀評(píng)價(jià)上有較好的視覺效果。表1和表2進(jìn)一步表明在結(jié)合改進(jìn)的擬合算法的情況下，本文的算法可更進(jìn)一步復(fù)原出遠(yuǎn)距離長(zhǎng)曝光大氣湍流圖像。

表1 退化圖像和復(fù)原圖像的GMG值

表2 退化圖像和復(fù)原圖像LS值

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)遠(yuǎn)距離長(zhǎng)曝光大氣湍流退化的自然圖像進(jìn)行，分析了其退化點(diǎn)了擴(kuò)散函數(shù)的一般形式，并通過(guò)分析其退化前后的頻譜特征，估計(jì)出了其點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)參數(shù)，通過(guò)對(duì)擬合算法的改進(jìn)，在主觀上獲得了較好的視覺效果，在客觀評(píng)價(jià)上也證實(shí)了其有效性。