周 鑫, 劉 靜, 湯建鋼

(1. 伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 伊寧 835000; 2. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 長春 130024;3. 伊犁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部, 新疆 伊寧 835000)

模糊集[1]用于刻畫客觀事物的不確定性. 設(shè)X是一個非空集合, 集合X的模糊子集可由隸屬函數(shù)A:X→[0,1]刻畫, 其中:X稱為A的承載集, 記為K(A)=X; [0,1]稱為真值集. 為了使模糊集能刻畫更一般的事物, Goguen[2]引入了L-fuzzy子集的概念, 其真值集由比[0,1]更一般的完全分配格L代替.

由模糊集合的分解定理知, 一個模糊集對應(yīng)一族集合. 反之, 由模糊集的表現(xiàn)定理知, 一族集合可形成一個模糊集. Gentilhomme[3]定義了一種刻畫模糊集的非經(jīng)典集合——flou集的概念; 文獻(xiàn)[4]給出了L-flou集的概念及性質(zhì), 并得到了L-fuzzy集與L-flou集的格同構(gòu)關(guān)系. 文獻(xiàn)[5]研究表明,L-flou集可用集合套表現(xiàn), 使其表示模糊信息時既增強(qiáng)了模糊信息的表達(dá)精度, 又避免了單點(diǎn)隸屬度確定困難的問題. 基于此,L-flou集理論在處理信息等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.

本文利用范疇理論, 將真值集L視為范疇L, 給定元素的隸屬度視為范疇中的對象, 用態(tài)射刻畫不同隸屬度之間的關(guān)系, 給出L-fuzzy集范疇Set(L )與L-flou集合范疇Set(fL )的同構(gòu)關(guān)系, 并結(jié)合文獻(xiàn)[6-7], 得到了范疇Set(fL )同構(gòu)于賦予層結(jié)構(gòu)的集合范疇SetL(S H ).

1 預(yù)備知識

定義1[2]設(shè)X∈Ob(Set), 函數(shù)A: X→L稱為集合X的L-fuzzy子集, 也稱為L-子集或L-集, 記做(X,A). 在承載集合X確定且不至引起混淆的情況下, 簡記為A.

注1按點(diǎn)態(tài)方式定義集合X的所有L-fuzzy子集, 表示為FL(X)={A|A: X→L }=LX, 其構(gòu)成完備的Heyting代數(shù)[2,8].

定義2[4]設(shè)X∈Ob(Set), 若集值函數(shù)μ: Lop→P (X)滿足:

1) μ(0)=X;

則μ稱為集合X的L-flou子集, 記作(μ,X). 集合X的所有L-flou子集表示為

F lL(X)={μ: L → P (X)|μ滿足1),2)}.

圖1 F上的余錐形Fig.1 Cocone on F

圖2 F的余極限Fig.2 Colimit of F

定義4[9]如果范疇C中任意J型圖都存在極限, 則稱C為完備范疇. 對偶地, 可定義余完備范疇.

定義5[10]設(shè)C是一個范疇, 取X∈Ob(C ), 定義范疇C/X如下：

1) 對象: 任意C∈C, 范疇C中態(tài)射f: C→X作為C/X的對象;

2) 態(tài)射: 對于f: C→X, g: D→X, 定義Hom(f,g)={h∈Hom(C,D)|f=gh};

3) 復(fù)合: 由范疇C中復(fù)合誘導(dǎo);

4) 單位: 1f=idX.

則稱范疇C/X為對象X上的切片范疇. 對偶地, 可定義余切片范疇X/C.

定義6[8]設(shè)C是一個完備范疇, L上的一個C-預(yù)層F是范疇Lop到范疇C的函子F: Lop→C, 則：

1) 對象間的對應(yīng): 若u∈Ob(L ), 則F(u)∈C;

2) 態(tài)射間的對應(yīng): 若v≤u∈Mor(L ), 則F(v≤u): F(u)→F(v)∈Mor(C ).

定義7[8]設(shè)F是L上的一個C-預(yù)層, {ui|i∈I}, {u=∨ui|i∈I}(ui∈L ), 如果

正合, 即態(tài)射e是態(tài)射a,b的等值子, 則稱F是L上的一個C-層.

注2特別地, 取范疇C為Set, 則可得集合范疇上的預(yù)層及層.

2 范疇Set(L )與范疇Set(fL )的同構(gòu)關(guān)系

定義8設(shè)L是一個完備格范疇, Set是集合范疇, 則L-fuzzy集合范疇Set(L )定義如下:

1) 對象: 序?qū)?X,A), 其中X∈Ob(Set), A: X→L為集合X的L-fuzzy子集;

2) 態(tài)射: 序?qū)?f,f*): (X,A)→(Y,B), 其中f: X→Y, f*: A→B由f誘導(dǎo)且滿足A≤B°f;

3) 復(fù)合: 集合映射的復(fù)合誘導(dǎo);

4) 單位: 對任意對象(X,A), 有1(X,A)=(1X,1A).

注3由定義3及文獻(xiàn)[11-12], 可定義范疇Set(L )中的極限及余極限等相關(guān)概念.

定義9設(shè)L是一個完備格范疇, Set是集合范疇, 則L-flou集合范疇Set(fL )定義如下:

1) 對象: 對(μ,X), 其中X∈Ob(Set), μ: L→P (X)為集合X的L-flou子集;

3) 復(fù)合: 若φ: (μ,X)→(ν,Y), ψ: (ν,Y)→(ω,Z), 則ψ°φ: (μ,X)→(ω,Z)滿足

(φ*°ψ*)°μ=(φ°ψ)*°μ≤ω;

4) 單位: 對任意對象(X,A), 有1(X,A)=(1X,1A).

注4可將L-flou集合范疇Set(fL )視為函子范疇, 即

其中X的冪集合P (X)可視為偏序范疇, 其對象為集合X的子集合, 態(tài)射為集合間的包含關(guān)系.

定理1設(shè)L是一個完備格范疇, Set是集合范疇, 則L-fuzzy集合范疇Set(L )同構(gòu)于L-flou集合范疇Set(fL ).

證明: 構(gòu)造從范疇Set(L )到范疇Set(fL )的函子F: Set(L)→Set(fL ), 證明其作用在對象類上同構(gòu)且局部單與局部滿. 設(shè)函子F: Set(L )→Set(fL ), 則：

1) 對象間的對應(yīng): 若A∈Ob(Set(L )), 則F(A)=μA∈Ob(Set(fL )), 這里μA(u)={x∈X|A(x)≥u, u∈L };

2) 態(tài)射間的對應(yīng): 若f*: A→B∈Mor(Set(L )), 則F(f*)=μf*: μA→μB∈Mor(Set(fL )).

首先證明F作用在范疇Set(L )的對象到范疇Set(fL )的對象上是同構(gòu)的. 對任意μA∈Ob(Set(fL )), 令A(yù)μ∈Ob(Set(L )), Aμ(x)=∨{v∈Ob(L )|x∈μ(v)}. 為簡便, 記{v∈Ob(L )|x∈μ(v)}=Ix.

首先，對于城市居民來說，判斷他們與外來人口社會距離的大小其實(shí)很簡單，那就是利益的重合。如果她們的利益與遷移人口沒有重合，也就是說他們的利益不會受到影響時，社會距離就比較??；相反，當(dāng)城市居民覺得自身的利益會受到外來遷移人口的影響而有所損失時，就會排斥遷移者，從而有著較大的社會距離。體現(xiàn)在本次研究中，就是那些有著更高的收入和主觀社會經(jīng)濟(jì)地位的城市居民與外來遷移人口的社會距離更近。因?yàn)橄鄬τ谕鈦磉w移人口，他們有著無法比擬的競爭優(yōu)勢，而那些收入較少、主觀社會經(jīng)濟(jì)地位低，再加上年齡較大的城市居民則更容易體會到來自外來遷移人口的競爭，因此對他們有所排斥。

{x∈X|A(x)≥A(x0)=A′(x)≥A(x0)},

從而A′(x0)≥A(x0). 又{x∈X|A(x)≥A′(x0)=A′(x)≥A′(x0)}, 進(jìn)而A(x0)≥A′(x0), 故A′=A. 綜上, F是單的.

對任意v≤u∈Ob(L ), t對應(yīng)如圖4所示的分支之間的交換性. 由圖3的交換性可得圖4的交換性, 故t: μA→μB∈Mor(Set(fL )).

圖3 交換圖Fig.3 Commutative diagram

圖4 自然變換t的u,v分支Fig.4 Components u,v of natural transformation t

圖5 自然變換t的u,0分支Fig.5 Components u,0 of natural transformation t

A1,μ=∨{v∈Ob(L )|x∈μA(v)=A2,μ},

故f1*=f2*.

2) 證F局部滿. 令

Aμ(x)=∨{u∈Ob(L )|x∈μA(v)},

Bμ(x)=∨{u∈Ob(L )|f(x)∈μB(v)},

可得

故(f,f*): (X,A)→(Y,B)∈Mor(Set(L )).

綜上, 函子F是從范疇Set(L )到范疇Set(fL )的同構(gòu)函子.

3 L-子對象與層

定義10[9]設(shè)C是一個完備范疇, 如果對任意Z∈Ob(C )及f,g: Z→X∈Mor(C ), 由if=ig, 有g(shù)=h, 則稱i: X→Y∈Mor(C )為單態(tài)射.

考慮(X′,i), 其中X′∈Ob(C ), i: X′→X∈Mor(C )是單態(tài)射.

定義11[9]如果存在f: X′→X″∈Mor(Set), 使得j°f=i成立, 則(X′,i)≤(X″,j). 若g: X″→X′∈Mor(Set), 使得i°g=j,j°f=i, 則稱(X′,i)與(X″,j)等價, 記作(X′,i)～(X″,j).

定義12[9]序?qū)?X′,i)在等價關(guān)系～下的等價類稱為X的子對象. 在不混淆的情形下, 用(X′,i)表示X的一個子對象, 其中i: X′→X是單態(tài)射.

命題1[9]設(shè)X∈Ob(C ), X的所有子對象構(gòu)成的范疇記作Sub(X), 則：

1) 對象: X的子對象(X′,i)；

2) 態(tài)射: f: (X′,i)→(X″,j), 且i=j°f;

3) 復(fù)合: 對于f: (X′,i)→(X″,j), g: (X″,j)→(X?,k), 有g(shù)°f: (X′,i)→(X?,k), 且i=k°(g°f)；

4) 單位: 1f= id(X′,i).

定義13設(shè)X∈Ob(C ), X的L-子對象是指函子μ: L→Sub(X)滿足:

1) μ(0)=X;

注6當(dāng)X∈Ob(Set)時, X的L-子對象即為X的L-子集.

定義14[6]設(shè)X∈Ob(Set), 函子F: Lop→Sub(X)是Sub(X)層, 則稱F是X上的一個層結(jié)構(gòu), (X,F )稱為賦予層結(jié)構(gòu)的集合.

定義15賦予層結(jié)構(gòu)的集合范疇SetL(S H )定義如下：

1) 對象: 賦予層結(jié)構(gòu)的集合(X,F )；

2) 態(tài)射: (X,F ), (Y,G)賦予層結(jié)構(gòu)的集合, 態(tài)射(f,t): (X,F )→(Y,G)中f: X→Y∈Mor(Set), t: F→G是自然變換;

3) 復(fù)合: (f,t)°(g,s)=(f°g,t°s);

4) 單位: 1(X,F )=(1X,1F).

定理2設(shè)L是一個完備格范疇, 則賦予層結(jié)構(gòu)的集合范疇SetL(S H )同構(gòu)于L-flou集合范疇Set(fL ).

證明: 由文獻(xiàn)[6]知, 賦予層結(jié)構(gòu)的集合范疇SetL(S H )同構(gòu)于L-fuzzy集合范疇Set(L ). 再由定理1可得結(jié)論.