崔建峰， 靳 鴻

(中北大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引言

“自動(dòng)控制原理”課程教學(xué)中，頻域分析部分占較大比重，其特點(diǎn)是知識(shí)多，難度高[1-2]。難度主要體現(xiàn)在公式復(fù)雜，計(jì)算抽象，理論性強(qiáng)。頻域分析部分中的奈氏穩(wěn)定判據(jù)知識(shí)點(diǎn)尤其具有這樣的特點(diǎn)[3]。如果學(xué)生對(duì)這部分的消化理解產(chǎn)生困難，將直接影響到后續(xù)穩(wěn)定裕度、帶寬等頻域分析核心內(nèi)容的理解與應(yīng)用。然而，筆者通過(guò)多方調(diào)研了解的結(jié)果是，此部分內(nèi)容的教學(xué)效果往往并不理想。因此，文獻(xiàn)[3]針對(duì)這一教學(xué)問(wèn)題，提出了遞進(jìn)探究式講授教學(xué)法以改進(jìn)教學(xué)效果。本文中，筆者也根據(jù)自身教學(xué)實(shí)踐經(jīng)歷，分析總結(jié)了產(chǎn)生這一問(wèn)題的主要原因，提出了一些新的可供參考的教學(xué)策略和建議。

1 奈氏穩(wěn)定判據(jù)的教學(xué)現(xiàn)狀分析

奈氏穩(wěn)定判據(jù)相關(guān)知識(shí)主要包括幅角定理、奈氏穩(wěn)定判據(jù)推導(dǎo)、映射曲線繪制方法、含有開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖補(bǔ)畫等內(nèi)容。根據(jù)多方調(diào)研了解，這部分內(nèi)容引起學(xué)生理解困難的主要原因有如下兩個(gè)方面。

1)幅角定理比較抽象

在講解奈氏穩(wěn)定判據(jù)時(shí)，首先要介紹幅角定理。根據(jù)文獻(xiàn)[1]的調(diào)研及筆者在教學(xué)過(guò)程中的驗(yàn)證，由于幅角定理比較抽象，如果直接利用教材中所提供的內(nèi)容進(jìn)行教授，教學(xué)效果往往不佳[4-5]。筆者通過(guò)與學(xué)生交流，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于映射封閉曲線F(s)旋轉(zhuǎn)方向與零、極點(diǎn)間的關(guān)系往往并不清晰。而教材及眾多電子課件對(duì)定理內(nèi)容一般都是直接介紹：映射封閉曲線F(s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N等于封閉曲線Γ內(nèi)包圍的零點(diǎn)數(shù)目Z與極點(diǎn)數(shù)目P之差[4-5]。這樣的表述造成學(xué)生對(duì)幅角定理理解不透徹，從而影響學(xué)生對(duì)奈氏穩(wěn)定判據(jù)的理解和應(yīng)用。

2)教學(xué)過(guò)程不夠形象

“自動(dòng)控制原理”教材相關(guān)章節(jié)為了確保內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)，常常提供較多的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)過(guò)程。這種方式能夠幫助學(xué)生形成理論嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧己脤W(xué)術(shù)作風(fēng)，但將其用于教學(xué)，卻容易使課堂氣氛沉悶枯燥，降低了學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣。另外，雖然教材中有較多的圖形實(shí)例幫助學(xué)生理解奈氏穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用，但教師在介紹相關(guān)內(nèi)容時(shí)，卻常常使用“數(shù)學(xué)計(jì)算+概要繪制”的形式進(jìn)行表述，使學(xué)生對(duì)于奈氏穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用產(chǎn)生畏難心理。事實(shí)上，在當(dāng)前眾多成熟仿真軟件的基礎(chǔ)上，得到一個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線并不困難[6-7]；工程應(yīng)用上也常利用這些仿真軟件獲取并分析系統(tǒng)的各項(xiàng)特征[8]；因此我們可以利用這些仿真軟件，給出實(shí)際系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線，以加深學(xué)生對(duì)這一理論的理解。

2 奈氏穩(wěn)定判據(jù)的教學(xué)探討

對(duì)于本科生教學(xué)，文獻(xiàn)[9]指出：教學(xué)目的主要是幫助學(xué)生掌握新的控制理論的基本內(nèi)容和實(shí)用方法，不需要像研究生那樣追求理論的嚴(yán)謹(jǐn)和前沿內(nèi)容；在保證科學(xué)性的基礎(chǔ)上，面向本科生教學(xué)應(yīng)該盡量用通俗的語(yǔ)言深入淺出地進(jìn)行講解。這一教學(xué)思想得到不少教學(xué)人員的認(rèn)可[1-2,7]。

筆者基于這一教學(xué)思想，針對(duì)奈氏穩(wěn)定判據(jù)教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題，提出了“由簡(jiǎn)至繁，逐層切入，形象教學(xué)”的教學(xué)改進(jìn)方法和建議。教學(xué)改進(jìn)主要包括以下幾方面。

1)由簡(jiǎn)至繁，逐層切入

不同于文獻(xiàn)[3]中由問(wèn)題出發(fā)遞進(jìn)式講授的教學(xué)方法，筆者對(duì)于奈氏穩(wěn)定判據(jù)的教學(xué)思路如圖1所示。

將奈氏穩(wěn)定判據(jù)教學(xué)環(huán)節(jié)分為四個(gè)步驟：

圖1 奈氏穩(wěn)定判據(jù)的教學(xué)思路分析圖

Step1：通過(guò)復(fù)變量s沿封閉曲線Γ(s)順時(shí)針變化一周時(shí)單一零點(diǎn)或極點(diǎn)系統(tǒng)F(s)的變化規(guī)律，總結(jié)出F(s)逆(順)時(shí)針旋轉(zhuǎn)周數(shù)與零點(diǎn)(極點(diǎn))個(gè)數(shù)間的關(guān)系；然后將其推廣至一般系統(tǒng)函數(shù)F(s)，并指出Γ(s)內(nèi)部包含有零點(diǎn)或極點(diǎn)對(duì)F(s)變化規(guī)律的影響；最后得到映射定理，同時(shí)給予較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)證明。

Step2：通過(guò)映射定理對(duì)Γ(s)內(nèi)部包含有開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)零點(diǎn)或極點(diǎn)的情況分析，利用坐標(biāo)變換得到Γ(s)內(nèi)部包含有輔助函數(shù)F(s)= 1+G(s)H(s)的零/極點(diǎn)時(shí)F(s)的變化規(guī)律(由繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為繞(-1, j0)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn))；接著引入奈氏回線(包圍整個(gè)s平面右半部的按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的封閉曲線)，并指明奈氏回線的用意；最后給出奈氏穩(wěn)定判據(jù)，同時(shí)給予較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)證明。

Step3：指明存在開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)時(shí)，原有奈氏回線的不足之處；接著提出奈氏回線改進(jìn)策略(增補(bǔ)：無(wú)窮小量ε為半徑的，繞虛軸上開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的，在s平面右半部的小半圓)；然后利用Step1中的方法指明開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)階次與極坐標(biāo)圖補(bǔ)畫間的關(guān)系，闡明存在開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)時(shí)，奈氏穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用方法。

Step4：完成上述教授環(huán)節(jié)后，利用仿真工具進(jìn)行實(shí)例講解，同時(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的單元測(cè)驗(yàn)，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)奈氏穩(wěn)定判據(jù)的理解與記憶。

上述四步均由簡(jiǎn)單的示例入手，逐步對(duì)示例豐富，最終得到期望教授的知識(shí)點(diǎn)；各步之間逐層切入，緊密銜接。

2)形象教學(xué)

上述四步若想獲取較好的教學(xué)效果，通過(guò)仿真工具將理論形象化尤為重要。

以Step1為例，對(duì)于復(fù)變量s順時(shí)針變化一周Γ(s)時(shí)，單一零點(diǎn)系統(tǒng)F(s)的變化規(guī)律，我們可以利用仿真工具繪制相應(yīng)變化圖形(在此使用的是Matlab工具軟件)如圖2所示。從圖形中，學(xué)生可以很容易總結(jié)出，沿Γ(s)順時(shí)針變化一周，零點(diǎn)的存在會(huì)使F(s)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)周數(shù)同零點(diǎn)個(gè)數(shù)相關(guān)。

(a)Γ(s)曲線 (b) F(s)=s2-s+1

(c) F(s)=s+1 (d) F(s)=s-1圖2 單一零點(diǎn)系統(tǒng)F(s)變化規(guī)律

同樣地，我們還可以利用仿真工具繪制單一極點(diǎn)系統(tǒng)F(s)的變化曲線。并讓學(xué)生總結(jié)出，沿Γ(s)順時(shí)針變化一周，極點(diǎn)的存在會(huì)使F(s)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)周數(shù)同極點(diǎn)個(gè)數(shù)相關(guān)。

在得到上述規(guī)律后，可以由教師引申，這種規(guī)律的背后是零(極)點(diǎn)系統(tǒng)與復(fù)變量的正(負(fù))相關(guān)導(dǎo)致的(背后的數(shù)學(xué)理論依據(jù))。

然后推廣至一般系統(tǒng)(函數(shù))，這時(shí)通過(guò)觀察一些示例(參見(jiàn)圖3)可以得出F(s)的旋轉(zhuǎn)方向與周數(shù)同曲線Γ(s)內(nèi)部含有的零點(diǎn)與極點(diǎn)相關(guān)。從而進(jìn)一步得到映射定理。這樣就可以幫助學(xué)生較為清晰地理解映射封閉曲線F(s)旋轉(zhuǎn)方向與零、極點(diǎn)間的關(guān)系。

再以Step3為例，其中開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)階次與極坐標(biāo)圖補(bǔ)畫間的關(guān)系可以用圖4進(jìn)行描述。從圖4中，可以很容易看出相應(yīng)的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，再輔以較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)據(jù)推導(dǎo)過(guò)程，將使學(xué)生加深對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解。

(a)Γ(s)曲線 (b) F(s)=(s+10)/(s2-s+1)

(c) F(s)= (s+10)/(s) (d) F(s)= (s)/(s+10)圖3 一般系統(tǒng)F(s)變化規(guī)律

(a)Γ(s)曲線 (b) F(s)=1/s

(c) F(s)=s+1 (d) F(s)=s-1圖4 開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)階次對(duì)補(bǔ)畫的影響

3 教學(xué)效果驗(yàn)證

筆者通過(guò)課堂上選擇題測(cè)試方法，對(duì)比了教學(xué)方法改進(jìn)前后授課班級(jí)的答題情況(表1所示)。(崔建峰等文)

表1 傳統(tǒng)與改進(jìn)方法下隨堂測(cè)試情況

由表中數(shù)據(jù)可見(jiàn)，采用改進(jìn)方法進(jìn)行教學(xué)后，學(xué)生對(duì)于奈氏穩(wěn)定判據(jù)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度有明顯提高。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)奈氏穩(wěn)定判據(jù)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)方法進(jìn)行了探討；分析了學(xué)生理解奈氏穩(wěn)定判據(jù)知識(shí)點(diǎn)困難的原因；在分析的基礎(chǔ)上，提出了“由簡(jiǎn)至繁，逐層切入，形象教學(xué)”的教學(xué)改進(jìn)方法和建議，并通過(guò)隨堂測(cè)試驗(yàn)證了改進(jìn)方法的有效性。