彭麗宇， 張進(jìn)川， 茍娟瓊， 李學(xué)偉

(北京交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院， 北京 100044)

合理養(yǎng)護(hù)維修計(jì)劃的制定一直是鐵路工程領(lǐng)域(鐵路工務(wù)管理)的一個(gè)重要問題，而該計(jì)劃的確定及實(shí)施要求對(duì)當(dāng)前的軌道質(zhì)量狀況進(jìn)行適當(dāng)(科學(xué))的評(píng)估與準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，而軌道幾何狀態(tài)是軌道、載荷、路基和自然因素等共同作用的結(jié)果[1]，不易于評(píng)估。作為反映軌道質(zhì)量的主要數(shù)據(jù)源，軌道幾何狀態(tài)數(shù)據(jù)主要通過人工靜態(tài)檢測(cè)與軌道檢測(cè)車(以下簡(jiǎn)稱軌檢車)動(dòng)態(tài)檢測(cè)獲得。多年的線路運(yùn)營(yíng)積累了大量的軌道幾何狀態(tài)數(shù)據(jù)，但限于數(shù)據(jù)分析水平與挖掘深度的不足，數(shù)據(jù)并未得到充分利用。

基于軌檢車的檢測(cè)資料，對(duì)軌道狀態(tài)變化進(jìn)行發(fā)展規(guī)律分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)重要研究方向。國(guó)內(nèi)外相關(guān)機(jī)構(gòu)和學(xué)者對(duì)高速鐵路和部分既有線的軌道不平順進(jìn)行了大量研究。早期日本學(xué)者[2-5]基于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過回歸分析得到的高低不平順線性與非線性預(yù)測(cè)公式；James[6]將分形理論用于評(píng)價(jià)軌道平順狀態(tài)，并利用雙分析方法對(duì)高低不平順進(jìn)行預(yù)測(cè)，Daniel[7]使用了卡爾曼濾波方法對(duì)軌檢車數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析；國(guó)內(nèi)學(xué)者也相繼提出了軌道不平順線性預(yù)測(cè)公式[8-9]、非線性預(yù)測(cè)模型[10]、綜合因子法[11]、基于時(shí)間序列的非等時(shí)距灰色時(shí)變參數(shù)模型[12]以及基于非等時(shí)距加權(quán)灰色理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的組合預(yù)測(cè)方法等[13]。

這些研究成果對(duì)軌道質(zhì)量發(fā)展預(yù)測(cè)進(jìn)行了有益探索，但是重載鐵路由于存在運(yùn)量大、軸重大、密度大的特點(diǎn)，其軌道平順狀態(tài)預(yù)測(cè)研究還相對(duì)欠缺。

本文基于軌道不平順變化的特點(diǎn)，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性映射能力，使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)線路軌道不平順的狀態(tài)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。為了進(jìn)一步驗(yàn)證文中提出的網(wǎng)絡(luò)模型有效性，利用某重載鐵路線路的軌道不平順檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，并與多元多重回歸模型所得預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。計(jì)算結(jié)果顯示，雙隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較高的預(yù)測(cè)精度，能夠用于重載鐵路軌道質(zhì)量預(yù)測(cè)。

1 理論模型

1.1 多元多重回歸模型

多元回歸模型是用來對(duì)多變量進(jìn)行回歸分析的數(shù)學(xué)模型，通常含有多個(gè)自變量與一個(gè)因變量。當(dāng)該模型用于分析多個(gè)因變量與多個(gè)自變量的依賴關(guān)系時(shí)，則稱為多元多重回歸模型，其模型結(jié)構(gòu)為

( 1 )

式中：x1,x2,…,xm為自變量；y1,y2,…,yp為因變量；β為模型參數(shù)；ε～N(0,σ2)為隨機(jī)誤差。該模型的矩陣表示形式為

( 2 )

利用拉直法及矩陣四塊求逆公式求解此二次規(guī)劃問題，可以得到模型參數(shù)的估計(jì)值，具體步驟這里不再贅述。

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP(Back Propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種按誤差反向傳遞算法訓(xùn)練的多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，一般由3層組成，即輸入層、隱層(由一層或多層組成)和輸出層，見圖1。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在輸入層與輸出層之間增加若干層(一層或多層)神經(jīng)元，這些神經(jīng)元稱為隱單元。在其結(jié)構(gòu)中，神經(jīng)元在層與層之間是全連接，而在層內(nèi)部則是無連接的。各隱層節(jié)點(diǎn)采用Sigmoid激勵(lì)函數(shù)，輸出層激勵(lì)函數(shù)根據(jù)應(yīng)用的不同需要而有所不同[14]。

誤差反向傳遞算法(BP算法)主要有兩個(gè)學(xué)習(xí)階段：信號(hào)正向傳播階段，隱層通過處理經(jīng)過輸入層的信息來計(jì)算每個(gè)單元的實(shí)際輸出值；誤差反向傳播階段，如果不能獲得期望的輸出值，則通過以逐層遞歸的形式計(jì)算實(shí)際輸出與期望輸出之差值(即誤差)，從而以此差值來調(diào)節(jié)權(quán)值。BP算法的基本步驟如下：

Step1設(shè)置初始權(quán)值為較小的隨機(jī)非零值。

Step2給定輸入/輸出樣本集合{up,yp}p，重復(fù)下列過程至滿足收斂條件(Eall≤ε)：

(1) 對(duì)于每個(gè)樣本，計(jì)算正向過程

( 3 )

式中：I、J分別為輸入層與隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)；wkj、wji分別為輸入層到隱層、隱層到輸出層的權(quán)值；f1、f2分別為隱層與輸出層的激勵(lì)函數(shù)；ojp為隱層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出；dip為輸出層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出。

(3) 計(jì)算各層節(jié)點(diǎn)誤差

( 4 )

(4) 修正權(quán)值

( 5 )

式中：η為權(quán)重更新步長(zhǎng)。

Step3步長(zhǎng)選擇。

在BP算法中，步長(zhǎng)η的選擇很重要，η大則收斂快，但是過大則可能引起不穩(wěn)定(η最大不能超過2/λmax，λmax為輸入向量的自相關(guān)矩陣的最大特征值)；η小可避免振蕩，但收斂速度變慢，為解決此問題可采用廣義delta規(guī)則。

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軌道不平順狀態(tài)預(yù)測(cè)模型

軌檢車檢測(cè)數(shù)據(jù)是評(píng)價(jià)線路軌道質(zhì)量狀態(tài)的主要依據(jù)。本文選取某重載鐵路K420+000～K426+000共6 km的軌道不平順檢測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)每個(gè)200 m區(qū)段分別計(jì)算左右高低、左右軌向、軌距、水平、三角坑的單項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差，用于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練與預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)的檢測(cè)時(shí)間為2016年1月到2017年6月，期間每月中旬檢測(cè)一次，共18組數(shù)據(jù)。圖2為K422+000～K422+200區(qū)段的七項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差隨時(shí)間變化曲線。

由于2016年6月至7月之間的線路維修，高低不平順標(biāo)準(zhǔn)差明顯減??；維修前后，各項(xiàng)不平順標(biāo)準(zhǔn)差均呈逐漸增大趨勢(shì)。其他區(qū)段的數(shù)據(jù)也有相同特征。以下詳細(xì)介紹BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建過程與應(yīng)用分析。

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建過程主要是對(duì)合理的模型參數(shù)進(jìn)行選取[15]，具體包括：

(1) 網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的確定。合理的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型的精度至關(guān)重要，本文分別設(shè)計(jì)了包含單隱層和雙隱層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用來對(duì)線路不平順狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

(2) 輸入輸出層神經(jīng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目的確定。輸入輸出層神經(jīng)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目依賴于網(wǎng)絡(luò)目的和數(shù)據(jù)類型。由于該網(wǎng)絡(luò)主要用于軌道質(zhì)量預(yù)測(cè)，數(shù)據(jù)為7項(xiàng)軌道不平順的標(biāo)準(zhǔn)差，屬于多維時(shí)間序列預(yù)測(cè)問題。模型輸入為歷史數(shù)據(jù)，輸出為當(dāng)前數(shù)據(jù)；歷史數(shù)據(jù)量過小，難以提供足夠信息量；歷史數(shù)據(jù)量過大，將減少輸入輸出樣本數(shù)目，降低模型預(yù)測(cè)能力。經(jīng)過綜合考慮，本文確定將3期歷史數(shù)據(jù)作為輸入，則輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)為21；將當(dāng)前數(shù)據(jù)作為輸出，則輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)為7。

(3) 隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目的確定。隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目與輸入輸出數(shù)據(jù)有關(guān)，可以通過經(jīng)驗(yàn)法確定。對(duì)于單隱層和雙隱層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，本文允許節(jié)點(diǎn)數(shù)目在合理范圍內(nèi)變化，分別計(jì)算不同隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)6 km數(shù)據(jù)的平均預(yù)測(cè)精度(均方誤差MSE)，選取精度最高的節(jié)點(diǎn)數(shù)目，計(jì)算結(jié)果見圖3。由該圖可知，單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)取10，雙隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第一、第二層節(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)分別取12和9。

(4) 激勵(lì)(傳遞)函數(shù)的確定。在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，隱層和輸出層節(jié)點(diǎn)的輸入輸出之間具有函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)稱為激勵(lì)函數(shù)。Sigmoid函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、有界，是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的增函數(shù)，也是常用的激勵(lì)函數(shù)。在使用Sigmoid函數(shù)之前需要將網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出值歸一化處理于區(qū)間[-1,1]內(nèi)。

(5) 訓(xùn)練方法的確定。基于Levenberg-Marquardt(LM)規(guī)則的訓(xùn)練方法不但收斂速度快，而且運(yùn)算次數(shù)和花費(fèi)時(shí)間是所有的改進(jìn)算法中最少的，雖然存在內(nèi)存占用大的問題，但是本文輸入輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)目較少，所以基于LM規(guī)則的訓(xùn)練函數(shù)仍然是最好的選擇。

(6) 性能函數(shù)的確定。性能函數(shù)用于評(píng)估網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度。一般選擇計(jì)算誤差來充當(dāng)性能函數(shù)的功能。常見的有均方誤差(MSE)和平均相對(duì)誤差(MPE)等，其計(jì)算公式為

( 6 )

( 7 )

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度分析

本節(jié)分別采用單隱層和雙隱層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)圖2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析。為了去除線路維修的影響，本文忽略2016年7月的檢測(cè)數(shù)據(jù)，將3期歷史數(shù)據(jù)作為輸入，1期當(dāng)前數(shù)據(jù)作為輸出；同時(shí)將2017年2月前的數(shù)據(jù)用于模型訓(xùn)練，之后的數(shù)據(jù)用于模型測(cè)試。模型的訓(xùn)練與預(yù)測(cè)結(jié)果見圖4。

受2016年7月線路維修的影響，該次數(shù)據(jù)不能用于構(gòu)造輸入輸出數(shù)據(jù)，導(dǎo)致2016年7月～10月無預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。通過模型預(yù)測(cè)的結(jié)果可以看到，預(yù)測(cè)值與實(shí)際的數(shù)據(jù)吻合度較高，誤差在允許的范圍之內(nèi)，因此可應(yīng)用該模型對(duì)未來的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.3 不同模型計(jì)算結(jié)果精度對(duì)比

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木龋疚膶?duì)多元多重回歸模型、單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、雙隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行了對(duì)比，見表1。表中結(jié)果為K420+000～K426+000范圍內(nèi)30個(gè)區(qū)段的統(tǒng)計(jì)平均值。

表1 不同方法預(yù)測(cè)結(jié)果誤差對(duì)比表

從預(yù)測(cè)誤差結(jié)果對(duì)比可以看出：

(1) 從整體上看，模型精度高低順序依次是：雙隱層BP網(wǎng)絡(luò)模型、單隱層BP網(wǎng)絡(luò)模型、多元多重回歸模型；從平均相對(duì)誤差上看，由大到小分別是：多元多重回歸模型、單隱層BP網(wǎng)絡(luò)模型、雙隱層BP網(wǎng)絡(luò)模型。

(2) 同單隱層BP網(wǎng)絡(luò)模型相比，雙隱層BP網(wǎng)絡(luò)模型整體精度要更好，這從一定程度上說明隨著隱層數(shù)的增加，有助于提高網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)精度。

3 結(jié)束語

本文根據(jù)軌道不平順的變化特點(diǎn)，針對(duì)軌道不平順狀態(tài)，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)左右高低、左右軌向、軌距、水平、三角坑七項(xiàng)檢測(cè)數(shù)據(jù)的區(qū)段標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示本文提出的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以對(duì)軌道的不平順狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)。

從預(yù)測(cè)結(jié)果來看，雙隱層BP網(wǎng)絡(luò)模型比單隱層BP網(wǎng)絡(luò)模型和多元回歸分析模型具有更高的預(yù)測(cè)精度，這從一定程度上說明隨著隱層數(shù)的增加，有助于提高網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)精度；但相對(duì)比單隱層BP網(wǎng)絡(luò)模型，預(yù)測(cè)精度并無顯著提高。

總之，通過分析獲得的軌檢車數(shù)據(jù)，可以從中掌握線路不平順的動(dòng)態(tài)質(zhì)量，以便能夠科學(xué)的指導(dǎo)線路養(yǎng)護(hù)維修工作，有效評(píng)估工務(wù)部門的工作質(zhì)量，從而實(shí)現(xiàn)軌道的科學(xué)管理工作。