張 卓 張 程

（1廣東科學技術(shù)職業(yè)學院，廣東珠海，519041；2吉林大學珠海學院，廣東珠海，519041）

0 引言

在機械臂軌跡跟蹤控制過程中，常規(guī)控制方法具有收斂緩慢、控制精度低的問題，而且還要求系統(tǒng)參數(shù)必須明確已知，如果參數(shù)不確定，比如，機械臂抓取一個未知負載，那么常規(guī)控制器則不能保證實現(xiàn)理想性能[1-2]，但自適應魯棒控制律可以解決上述問題。在模型和參數(shù)不確定的情況下，自適應魯棒控制律仍能保持機械臂在穩(wěn)定性、跟蹤誤差或其他指標方面的性能表現(xiàn)[3-5]。

本文利用SolidWorks軟件進行機械臂結(jié)構(gòu)的自主設(shè)計，采用Lagrange-Euler法建立機械臂的動力學模型，設(shè)計自適應魯棒控制律及相關(guān)控制參數(shù)，并在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ四個象限工作空間內(nèi)進行跟蹤控制實驗，實驗證明，本方法具有明顯優(yōu)于常規(guī)控制器的跟蹤控制性能。

1 機械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計及動力學分析

1.1 機械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計

本文利用SolidWorks自主設(shè)計一套仿人機械臂結(jié)構(gòu)，并建立機械臂的三維模型[6]，適用于物體追蹤、檢測、切割以及掃描等作業(yè)。圖1為仿人機械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計，其具有肩關(guān)節(jié)（設(shè)計將肩關(guān)節(jié)固定在外軸機構(gòu)上以擴展該機械臂的作業(yè)范圍）、肘關(guān)節(jié)、腕關(guān)節(jié)（末端執(zhí)行器），由電機驅(qū)動，可以實現(xiàn)3個自由度運動。其中，肩關(guān)節(jié)運動范圍為-180°～180°，肘關(guān)節(jié)運動范圍為-170°～170°，腕關(guān)節(jié)運動范圍為-90°～90°。標稱物理結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 仿人機械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計

表1 仿人機械臂標稱結(jié)構(gòu)參數(shù)

1.2 機械臂動力學分析

本文采用Lagrange-Euler法建立機械臂動力學方程。仿人機械臂的運動坐標如圖2所示，目標工作空間為x軸和y軸所構(gòu)成的平面，考慮腕關(guān)節(jié)要保持相對該平面的近似固定位姿，故在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ四個象限工作空間內(nèi)分析其軌跡規(guī)劃控制，并建立工作空間關(guān)節(jié)末端節(jié)點直角坐標( qx,qy)的動力學模型。

圖2 機械臂運動坐標示意圖

機械臂末端在工作空間中的期望坐標位置為[7]：

其中，根據(jù)D-H法則，q1表示肩關(guān)節(jié)x0繞z0軸轉(zhuǎn)向x1的角度；q2表示肘關(guān)節(jié)x1繞z1軸轉(zhuǎn)向x2的角度，z0軸和z1軸均垂直于作業(yè)平面[7]。求二者的平方和得：

從而可解得：

假設(shè)機械臂的期望關(guān)節(jié)位置為 ，期望速度為 ，期望加速度為 ，則機械臂的運動可由式（6）描述：

2 自適應魯棒控制器設(shè)計

本文采用魯棒模型參考自適應控制方法（基于Lyapunov直接法），控制目標為在存在參數(shù)不確定和位置非線性摩擦特性的情況下，使跟蹤誤差趨于0[8-10]，以確保機械臂的控制系統(tǒng)具有良好的運動特性。

根據(jù)式（6）設(shè)計逆向動力學補償為[7]：

將式（7）代入方程（6），得：

定義輔助信號 ：

其中，a ＞0。

則式（8）可表示為：

即：

取：

則式（12）可表示為：

魯棒控制律設(shè)計為：

3 機械臂末端軌跡跟蹤仿真

在初始位姿固定的條件下，本文分別在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ四個象限工作空間內(nèi)設(shè)計目標軌跡，利用Simulink建立仿人機械臂控制系統(tǒng)模型進行軌跡規(guī)劃控制，驗證自適應魯棒跟蹤控制效果，并與常規(guī)控制下的軌跡跟蹤效果進行比對，得到實驗數(shù)據(jù)及結(jié)論。

3.1 四象限軌跡跟蹤仿真分析

本文采用S函數(shù)輸入目標軌跡函數(shù)，選取Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ象限工作空間內(nèi)目標運動函數(shù)進行軌跡跟蹤實驗，目標軌跡生成指令如下：

function sys=mdlOutputs(t,x,u)

xd=0.2*cos(pi/2*t)+0.2; %第Ⅰ象限

yd=0.2;

xd=0.2*cos(pi/2*t)-0.2; %第Ⅱ象限

yd=0.2;

xd=-0.2; %第Ⅲ象限

yd=0.2*cos(pi/2*t)-0.2;

xd=0.2; %第Ⅳ象限

yd=0.2*cos(pi/2*t)-0.2;

控制律增益取 = =65， =0.001，得到在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ四個象限工作空間內(nèi)的軌跡跟蹤示意圖及關(guān)節(jié)位置跟蹤結(jié)果如圖3-圖10所示。

由圖3可見，當目標軌跡在第Ⅰ象限工作空間內(nèi)時，機械臂能迅速跟蹤至目標軌跡，路徑合理且冗余軌跡少。由圖4可見，機械臂各關(guān)節(jié)的位置跟蹤準確，運動位置與目標位置一致且跟蹤速度快。

以同樣定性方法分析其他象限情況，如圖5-圖10所示，與第Ⅰ象限軌跡跟蹤的情況類似，均可得到結(jié)論：魯棒控制方法控制速度快、路徑跟蹤合理且位置跟蹤準確。

圖3 軌跡跟蹤示意圖（第Ⅰ象限）

圖4 機械臂關(guān)節(jié)位置跟蹤（第Ⅰ象限）

圖5 軌跡跟蹤示意圖（第Ⅱ象限）

圖6 機械臂關(guān)節(jié)位置跟蹤（第Ⅱ象限）

圖7 軌跡跟蹤示意圖（第Ⅲ象限）

圖8 機械臂關(guān)節(jié)位置跟蹤（第Ⅲ象限）

圖9 軌跡跟蹤示意圖（第Ⅳ象限）

圖10 機械臂關(guān)節(jié)位置跟蹤（第Ⅳ象限）

3.2 四象限軌跡跟蹤誤差分析

針對上述仿真結(jié)果，本文進一步分析軌跡跟蹤誤差，分別分析Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ四個象限工作空間內(nèi)的關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差，將本魯棒控制方法同常規(guī)控制方法誤差進行對比，得到圖11-圖14的軌跡跟蹤誤差分析。

圖11 軌跡跟蹤誤差分析（第Ⅰ象限）

圖12 軌跡跟蹤誤差分析（第Ⅱ象限）

圖13 軌跡跟蹤誤差分析（第Ⅲ象限）

圖14 軌跡跟蹤誤差分析（第Ⅳ象限）

由圖11可見，常規(guī)控制方法的收斂時間長且控制精度差，在4.1s時的肘關(guān)節(jié)位置誤差達到0.019°，收斂時間近0.5s；而魯棒控制方法最大誤差為0.001°，收斂時間為0.2s。相對于常規(guī)控制器，魯棒控制的收斂速度提升60%，位姿跟蹤最大誤差精度提高約95%。這說明，在第Ⅰ象限內(nèi)，魯棒軌跡跟蹤控制效果優(yōu)于常規(guī)控制方法。

以同樣量化方法分析其他象限，如圖12-圖14所示，實驗結(jié)果與第Ⅰ象限軌跡跟蹤的情況類似，均可得到結(jié)論：與常規(guī)控制方法相比，魯棒控制方法收斂時間短、跟蹤速度更快。

綜上可得，在第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ四個象限工作空間內(nèi)，魯棒軌跡跟蹤控制在跟蹤性能和響應速度上均優(yōu)于常規(guī)控制器，能夠保證機械臂系統(tǒng)達到更好的跟蹤性能。

4 結(jié)論

本文利用SolidWorks自主設(shè)計了一套帶有外軸的機械臂結(jié)構(gòu)，以及設(shè)計了一種自適應魯棒控制策略，并采用Simulink進行機械臂控制系統(tǒng)模型設(shè)計，最后對第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ四個象限工作空間內(nèi)的機械臂末端魯棒軌跡分別跟蹤控制仿真。實驗結(jié)果表明，相比常規(guī)控制器，該自適應魯棒控制方法能夠更加快速、準確地控制機械臂的末端軌跡，具有較好的可行性及一定的工程參考性。