李洪波

高中立體幾何的平行問題是一個重點內(nèi)容，同時也是學生學習的一個難點問題.有些問題即使是教師講解多次，學生掌握得仍然不好.其中，有很大一部分原因是學生對圖形的感受性不足，不能與自己的生活常識聯(lián)系起來，也不能與自己已掌握的知識產(chǎn)生聯(lián)系.我們知道，對于看得見，摸得著，可以想象的東西，我們研究起來就會更容易一些，也更容易把它們從實際中抽象出來進行概念研究.本文結(jié)合生活中電梯的升降運動來幫助學生理解立體幾何中的平行問題.

我們知道，如果一條直線與平面平行，那么這條直線可以通過平移進入到這個平面內(nèi).這和我們在日常生活中電梯的運行方式非常相似，如圖1所示，電梯在運行過程中，可以看成是AB沿著l1，l2平行移動，最終AB就會平移到地面.

圖中有兩條導軌l1，l2，它們是平行的，A，B分別在其中的一條上運動，這樣平移前后很容易構(gòu)造平行四邊形，這是我們常用的利用平行四邊形找平行線的辦法；如果l1，l2不平行，則可以利用梯形（上下底平行，中位線平行）或三角形（等比例平行，如中位線）來找平行線，如圖2所示.

在這里，最重要就是要找到兩條導軌，它們可以平行，也可以相交，但不能異面.

下面我們用電梯的升降運動來解釋一下具體操作過程：

我們證明線面平行問題時一般會用到下面兩個定理：

（1）通過證明線線平行來得到線面平行：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

（2）通過證明面面平行來得到線面平行：若兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的任意一條直線都和另一個平面平行.

事實上無論是采用哪種證明途徑，不可繞過的一步就是一定要有線線平行，怎樣找這個平行線是實際解題中的一個難點.

下面以2016年全國文科數(shù)學3卷第19題為例詳細說明：

例如圖3所示，四棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BA=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.證明：MN∥平面PAB.

思路一通過證明線線平行來得到線面平行

分析1我們要將MN平移到平面PAB內(nèi)，首先要找到兩條導軌，讓M，N兩點分別沿著導軌滑動.在已有的直線中，點M在直線AD上，而AD又是與平面PAB相交的，所以可以讓點M沿AD移動到平面PAB內(nèi)，下面就要找點N的導軌了.這里引導學生想象一下，當MN移動時，點N會在平面PBC上留下“痕跡”，讓學生試著把這個“痕跡”畫一畫，注意到點N是中點，大多數(shù)學生都會認為這個“痕跡”就是△PBC的中位線TN，讓點N沿著TN移動就行了.在這里鼓勵學生大膽假設(shè)，小心求證，有助于鍛煉他們的空間想象能力.

證明1作PB中點T，連接TN，TA.

由于點N是PC中點，所以TN∥BC，且TN=12BC=2.

由于AM=2MD，所以AM=2.

又AD∥BC，所以四邊形MNTA是平行四邊形，

所以MN∥TA.

又MN平面PAB，TA平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

分析2另外，在已有的直線中，點N是在直線PC上，而PC也是與平面PAB相交的，可以讓點N沿PC移動到平面PAB內(nèi)，下面就要找點M的導軌了.MN向“后”平移，尋找點M的“痕跡”對學生來說有些難度，這里可以建議學生反向思考，既然向“后”平移困難，不妨讓MN向“前”移動，讓M，N都移到點C處，這時，點M在平面ABCD上留下“痕跡”就是MC了，那么如果向“后”移動呢？自然就會在MC的延長線上，延長MC與BA延長線交于點T，連接PT，證明MN∥PT就行了.這里應用“正難則反”的數(shù)學思想，使得“柳暗花明又一村”，突破了難點.

證明2連接MC，并延長與BA延長線交于點T，連接PT（如圖4所示）.

在△TBC中，AM∥BC，且AM=12BC，所以AM是△TBC中位線，故點M是TC中點.

又點N是PC中點，所以MN是△CPT中位線，

故MN∥PT.

因為MN平面PAB，PT平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

以上兩種解法都是充分利用題目已有的條件，讓點沿著與平面相交的直線平移，最終把直線平移到平面內(nèi)，平移后的直線就是我們要找的線線平行.證明1的兩條導軌是平行的，證明2的兩條導軌是相交的，這也是我們利用平行四邊形與三角形中位線來找平行的具體運用.

思路二通過證明面面平行來得到線面平行

分析1如果想要構(gòu)造一個過MN平行于平面PAB的平面，一般情況下我們可以在現(xiàn)有的平面內(nèi)先構(gòu)造平行于平面PAB的一條直線，再來構(gòu)造平面.這里我們還是要盯緊點M，N，先以點N為例，我們可以過點N作平行于PB的直線交BC于Q，再連接QM就會有新平面MNQ，下面只需要證明它與平面PAB平行即可.

證明3過點N作平行于PB的直線交BC于Q，連接QM，如圖5所示，在△CPB中，CN=NP，QN∥PB，則QN為△CPB中位線，所以BQ=QC=2.

又AM=2，且AM∥BQ，

所以四邊形AMQB為平行四邊形，所以QM∥AB.

又因為QN，QM平面QMN，且QN∩QM=Q，

所以平面QMN∥平面PAB.

又MN平面QMN，所以MN∥平面PAB.

分析2在這里我們是過點N作平行于PB的直線，有同學就提出疑問，還能作其他的平行線嗎？當然可以，可以過點N作平行于PA的直線（如圖6所示）.事實上，我們可以在PA，PB，AB三條直線中找一條相對容易作的即可.

分析3同樣的道理，我們來過點M作平行線，PA，PB，AB三條直線中，PA，AB的平行線容易作出.

（1）過點M作平行于AB的直線，交BC于Q，連接QM（如圖7所示）；

（2）過點M作平行于PA的直線，交PD于Q，連接QM（如圖8所示）.

作到這里，善于思考的同學已經(jīng)發(fā)現(xiàn)圖7與圖5是一模一樣的，為什么會這樣呢？其實從圖5到圖8，這幾個新作出平面本來就是同一個平面，只是外觀有所不同.這是因為過平面外的一條與已知平面平行的直線，有且只有一個平面與已知平面平行.

在以上的各種證明過程中，問題的本質(zhì)還是要找線線平行，思路1是把直線平移到平面內(nèi)，思路2是把平面內(nèi)的直線平移出來.把直線平移進去，除了一些較明顯的能利用平行四邊形與三角形中位線的情況外，其他的對學生的空間想象能力要求較高；把直線移出來相對簡單一些，一是因為現(xiàn)有的直線較多，選擇余地較大，另外是因為一般有現(xiàn)成的平面作為平移的載體.在實際教學中，我們要讓學生從多個方面考慮問題，多參照生活中的實例來提升自己的空間想象能力.