張洪笙

在許多題目中，常見求一點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)問題，如，求點(diǎn)A（-2，1）關(guān)于直線y=±x+2對(duì)稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo).

解此類問題，通常的方法是：

設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x0，y0），由于點(diǎn)A，A′關(guān)于直線l對(duì)稱，則有：

（1）AA′⊥l；

（2）AA′中點(diǎn)在直線l上.

由這兩個(gè)條件列方程組求得（x0，y0），即可得點(diǎn)A′的坐標(biāo).

由于直線l：y=-x+2的方程形式，是形如y=±x+m（m≠0）的形式，為此，介紹一種簡(jiǎn)單求法.

已知一點(diǎn)M（a，b），此點(diǎn)關(guān)于直線y=±x+m（m≠0）對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)可由直線方程和已知點(diǎn)M的坐標(biāo)直接得出.

不妨取直線方程y=±x+m（m≠0）.設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（p，q），若求N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將直線方程化為x=y-m，用M點(diǎn)的縱坐標(biāo)b代替y即得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即p=b-m.同理，將M點(diǎn)的橫坐標(biāo)a代入方程y=x+m，得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即q=a+m，于是N點(diǎn)的坐標(biāo)為（b-m，a+m）.

下面來證明這個(gè)結(jié)論.

分析我們知道，一點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線y=±x對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（±b，±a），由于直線y=±x+m其沿著y軸方向向上或向下平移|m|個(gè)單位，使得到直線y=±x，所以類似地可求出點(diǎn)M（a，b）關(guān)于直線y=x+m（m≠0）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

證明如圖所示，直線y=x+m（m≠0），方程變形為y-m=x，令y=-y′，x=x′，則將坐標(biāo)原點(diǎn)移到O′（0，m），直線y=x+m在新坐標(biāo)系中的方程為y′=x′，則點(diǎn)M（a，b）在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為M′（a，b-m），那么點(diǎn)M′（a，b-m）關(guān)于直線y′=x′對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（b-m，a），則點(diǎn)N在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)N（b-m，a+m），即點(diǎn)M（a，b）關(guān)于直線y=x+m（m≠0）對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（b-m，a+m）.

同樣，可求出點(diǎn)M（a，b）關(guān)于直線y=-x+m（m≠0）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-b+m，-a+m），證畢.

用此方法，直接可求出前面例子中的點(diǎn)的坐標(biāo)：x0=2-1=1，y0=2-（-2）=4，即A′（1，4）.方法十分簡(jiǎn)捷.

若直線方程式為Ax+By+C=0（AB≠0），當(dāng)|A|=|B|時(shí)，方程可化為y=±x-CB，再由上述方法求出一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，下面看兩個(gè)例子.

例1求點(diǎn)P（-2，3）關(guān)于直線x-y+4=0對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），則x0=3-4=-1，y0=-2+4=2，即Q（-1，2）.

例2求點(diǎn)A（4，-3）關(guān)于直線2x+2y-5=0對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo).

解設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），方程2x+2y-5=0化為y=-x+52，則可得m=52-（-3）=112，n=-4+52=-32，即B112，32.

可見，用這種方法求形如直線y=±x+m（m≠0）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)問題十分簡(jiǎn)捷.