張 鐵 李昌達 覃彬彬 劉曉剛

1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣州，510000 2.桂林航天工業(yè)學院，桂林，541004

0 引言

機器人為完成作業(yè)，需要按照預期軌跡實現(xiàn)一定的位姿，但由于機器人動力學系統(tǒng)內部的不確定性以及各種外界干擾，導致機器人末端在多次運動后實際軌跡偏離期望軌跡甚至發(fā)散，從而無法進行正常作業(yè)，因此對機器人關節(jié)進行快速精確的軌跡跟蹤控制十分重要。目前針對機器人軌跡跟蹤的先進控制策略主要分為如下幾大類：滑模變結構控制［1］、自適應控制［2］、神經網絡控制［3］與迭代學習控制［4］，實際中采用的控制方法往往結合了上述多種控制策略。OUYANG等［5?6］針對機器人軌跡跟蹤問題提出了一種PD滑?？刂品椒ǎ目刂菩Ч鄬τ跇藴驶？刂朴兴纳疲粚O明軒等［7?8］提出的自適應重復學習控制方法能使軌跡誤差隨著循環(huán)次數(shù)的增加而減小，但是控制律含有許多待定參數(shù)；BINGüL等［9］針對二自由度機器人軌跡跟蹤問題提出的粒子群算法解決了機器人抖動的問題。上述方法存在減小軌跡誤差效果不明顯、計算復雜等不足。目前多數(shù)工業(yè)機器人通常用于重復運動工作，如噴涂、裝配、焊接、搬運等，這些情況下機器人末端的軌跡是周期性的，而迭代學習控制（ILC）適合于運動具有重復性的對象的高精度控制，且能實現(xiàn)對軌跡的完全跟蹤［10?12］，因此迭代學習控制方法較其他方法具有一定優(yōu)勢。但迭代學習方法的缺點是難以與其他控制方法相融合，這是因為經典迭代學習控制需要被控對象具有全局Lipschitz連續(xù)及嚴格相同初始條件兩個前提［13］，因此有許多學者致力于研究新的理論體系，使迭代學習控制能與其他先進控制思想結合成嶄新的體系［14］。

本文基于CHIEN等［15］提出的自適應迭代學習控制（adaptive iterative learning control,AILC）算法，將迭代學習控制理論與傳統(tǒng)PD控制結合，并采用自適應控制的理論思想，利用誤差信息來調節(jié)控制力矩，從而改善軌跡跟蹤精度，提高系統(tǒng)的控制品質。

1 機器人動力學模型

目前，串聯(lián)關節(jié)型機器人的機械結構均為伺服電機帶動減速器運動，減速器輸出軸與手臂連接，SCARA機器人同樣具有這一結構形式。本文使用SCARA機器人來驗證自適應迭代學習控制算法的有效性，提高機器人軌跡跟蹤控制的精度。實驗平臺采用AR4215型四軸SCARA機器人（圖1）。利用表1所示的SCARA機器人的DH參數(shù)對該系統(tǒng)進行運動學建模，在每個軸上固定一個參考坐標系，如圖2所示，其中，第一、二軸的連桿長度均為200 mm。

圖1 SCARA機器人Fig.1 SCARA robot

表1 SCARA機器人的DH參數(shù)Tab.1 The DH parameter of SCARA robot

圖2 SCARA機器人的運動學模型Fig.2 The kinematics model of SCARA robot

實驗時僅將機器人的前三軸作為軌跡跟蹤控制對象，根據(jù)拉格朗日方程得到其前三軸的動力學方程：

式中，τ1、τ2、τ3分別為關節(jié) 1、2、3 的力矩；m1、m2、m3分別為連桿1、2、3的質量；l為連桿1、2的長度；q1、q2、q3分別為連桿1、2的轉角和連桿3的移動距離。

式（1）～式（3）可以寫成統(tǒng)一形式：

式中，t為時間，t∈[0,T]；下標 k∈Z+表示迭代次數(shù)；qk、q˙k、q¨k∈ R3分別為關節(jié)第 k次運動時的廣義位移、廣義速度和廣義加速度；M(qk)∈R3×3為機器人的慣性矩陣；C(qk,q˙k)q˙k∈ R3為離心力和科氏力；G(qk)∈ R3為重力項；τk(t)∈R3為輸入控制力矩；dk(t)∈R3為外界干擾項與摩擦力項的總和。

本文的目標是針對該機器人動力系統(tǒng)設計一個控制律，使得當k→∞時，qk收斂于對應時刻的[0,T]，其中，跟蹤誤差 ek=qd-qk,e˙k=q˙d-q˙k。

假設系統(tǒng)精確參數(shù)未知且滿足如下條件：

（1）?t∈ [0,T]，期望軌跡 qd、q˙d、q¨d及干擾 d均有界；

（2）初 始 值 滿 足 q˙d0-q˙k0=qd0-qk0=0,?k∈ Z+；

再假設系統(tǒng)滿足一般n軸串聯(lián)機器人模型且具有如下特性：

（3）M(qk)∈Rn×n為對稱正定且有界的矩陣；

（4）M˙(qk)-2C(qk,q˙k)為對稱矩陣，且滿足xT(M˙(qk)-2C(qk,q˙k))x=0,?x ∈ Rn；

（5） ||M(qk)q¨d-dk|| ≤ β,||C(qk,q˙k)||≤kc||q˙k||,||G(qk)||＜ kg,?t∈[0,T]，其中，參數(shù) β、kc、kg為正實數(shù)。

2 自適應迭代學習控制算法

文獻［15］針對多關節(jié)機器人系統(tǒng)提出了一種迭代學習控制方法，該方法在經典PD反饋控制的基礎上，通過自適應迭代項克服機器人系統(tǒng)的未知參數(shù)和干擾帶來的不確定性。下面給出該方法的具體內容以及收斂性分析。

針對以上問題描述，設計如下控制律：

式中，δk為迭代項且是自變量t的函數(shù)，首項δ-1=0；KP、KD為 PID 參數(shù)，KP，KD∈Rn×n；Γ∈Rn×n為自適應律參數(shù)，sgn(e˙k)∈Rn表示對 e˙k中的每一個元素取符號后得到的向量。

由式（5）可以看出，控制力矩由三項組成，前兩項為經典PD反饋項，第三項為迭代項，前兩項的反饋力矩與第三項的前饋力矩共同作用來調節(jié)力矩。第三項中的系數(shù)δk隨迭代次數(shù)的改變而改變，且每次改變都是基于上次迭代系數(shù)與本次軌跡誤差而進行的，體現(xiàn)出該算法“學習”的特征；算法中并未出現(xiàn)與機器人動力學系統(tǒng)有關的項，所需要的僅僅是每次迭代時的位置誤差和速度誤差信息。該算法如圖3所示。

圖3 算法結構圖Fig.3 The structure chart of algorithm

對跟蹤誤差的收斂性的證明過程［15］分為三個部分：第一部分提出了系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)序列Wk，并證明該序列是單調遞減的；第二部分證明上述序列的首項有界，由Wk的非負性可知整個序列均為有界函數(shù)；第三部分證明在迭代次數(shù)趨于無窮時，跟蹤誤差趨于零。

2.1 證明Wk的遞減性

取如下的Lyapunov函數(shù)：

對式（8）兩邊同時求導，然后在區(qū)間[0,t]上進行積分可得

由于 ek0=e˙k0=0，因此式（9）中 Vk(ek,e˙k)=0，將式（4）與假設（4）中的滿足條件代入式（9）可得

將（5）代入式（10）可得

為了證明ΔWk≤0，有

用式（11）中的Vk(ek,e˙k)替換式（12）中的Vk，

可得

再 將 δˉk= δk- δk-1= Γe˙ksgn(e˙k) 和 δ~=δ-δk代入式（13）并化簡即可得

在式（14）等號右邊，由于Vk-1非負，因此只需保證2(KD-αI)為正定矩陣，則可說明ΔWk非正，即Wk是非增序列。若能進一步證明W0有界，則可以說明整個Wk序列都是有界的。

2.2 證明W0的有界性

取k=0，對式（7）左右兩邊求導可得

將式（11）中積分符號內的式子代入式（15）可得

將 δ~0= δ - δ0，δ0= Γe˙ksgn(e˙k)代入式（16）并化簡可得

對于式（14）中的第三項，由基本不等式可得

因此

式中，λmax、λmin分別為矩陣A的最大特征值和最小特征值。

由于初始給定的值都有界，故 ||e˙0||、||δ~0||都有界，因而W˙0(t)有界，這意味著W0在[0,T]上一致連續(xù)有界，所以整個Wk序列都是有界的，進而可知ek、e˙k對于任意k ∈ Z+都有界。

2.3 證明 ek、e˙k 的收斂性

為推導ek、e˙k的收斂性，將上述 Lyapunov函數(shù)Wk改寫為

將式（11）代入上式可得

將上式進行移項化簡可得

根據(jù)以上分析，最終可以得到

此外，注意到式（5）中雖然含有符號函數(shù)，但不會引起機器人的顫振現(xiàn)象，因為

不妨將δk寫成如下形式

由于在軌跡跟蹤過程中，qi本身偏離期望值qd不是很遠，因此可以認為?i=1,2,…,k,ek≈ed，這時

控制器（式（5））中含有符號函數(shù)的項為

在上述近似中，符號函數(shù)被約去，并不會造成力矩值的突變。

上述證明從理論上推導出了“在迭代次數(shù)k趨于∞時軌跡誤差趨于0”的結論，下面通過SCARA機器人的軌跡運動實驗來驗證該結論的正確性。

3 實驗及結果分析

實驗平臺采用的SCARA機器人的工業(yè)控制系統(tǒng)架構是x86，機器人第一、二軸為轉動軸，減速比分別為50∶1和80∶1；第三軸為移動軸，均采用交流伺服電機驅動。利用其前三軸的軌跡跟蹤運動對上述自適應迭代學習控制算法（式（5）、式（6））的有效性進行驗證，并將其與PD型迭代學習控制算法τk+1=τk+KPq+KDq˙進行對比。

在機器人運行的實驗過程中，實時采集機器人各關節(jié)電機的編碼器讀數(shù)，通過Ethercat總線通信協(xié)議和實時操作系統(tǒng)保存到上位機，進行實驗數(shù)據(jù)分析。

實驗分為兩個部分，第一部分規(guī)劃SCARA機器人第三軸末端的期望軌跡為空間中兩點P1、P2之間的一條線段，如圖4a所示；取運動時間為0.76 s，控制器參數(shù)為KP=KD=5.0，Γ=［10 0.2 5］T，記 SCARA 機器人從 P1運動至 P2再返回P1為一次迭代過程。第二部分規(guī)劃SCARA機器人第二軸末端的期望軌跡為平面中兩點Q1、Q2之間的一條圓弧，如圖4b所示。取運動時間為4.59 s，控制器參數(shù)與直線軌跡實驗相同，記SCARA機器人從Q1以圓弧軌跡運動至Q2，再以直線返回Q1為一次迭代過程。機器人的首次運動可以得到軌跡誤差信息，將誤差代入式（5）、式（6）便可以得到第一次迭代過程的迭代系數(shù)與補償力矩，將其發(fā)送至控制器用于控制機器人的第二次運動。重復上述迭代過程得到每次的誤差數(shù)據(jù)。

圖4 SCARA機器人末端期望軌跡Fig.4 The desired trajectory of SCARA robot end

將文中提出的AILC算法用于SCARA機器人，得到的直線軌跡運動實驗誤差曲線如圖5所示，圖6給出了采用AILC算法與PD型ILC算法的直線軌跡最大誤差，可以看出，隨著迭代次數(shù)的增大，3個軸的誤差都呈遞減趨勢，且AILC算法的誤差收斂速度較PD型ILC算法快，經過10次迭代后，三軸誤差均有較大程度降低，具體數(shù)據(jù)如表2所示；3個軸的誤差曲線大致為中心對稱圖形，這是由于機器人的運動軌跡為路徑相同的來回直線；前兩軸的曲線較第三軸光滑，是因為前兩軸減速器使用的是諧波減速器，其摩擦力矩小且波動均勻，而第三軸直接由電機經過多級齒輪系減速器和同步帶傳遞到滾珠絲杠實現(xiàn)直線運動，而齒輪系減速器傳遞運動中存在摩擦力不均勻問題，因此跟蹤誤差曲線存在一定的抖動現(xiàn)象。

圖5 SCARA機器人直線軌跡運動各軸誤差變化情況Fig.5 The linear trajectory error for each axis of SCARA robot

圖6 直線軌跡最大誤差隨迭代變化情況Fig.6 The change of the linear trajectory maximum error with iteration

表2 直線軌跡誤差數(shù)據(jù)Tab.2 The data of linear trajectory error

采用AILC算法的SCARA機器人圓弧軌跡運動實驗誤差曲線如圖7所示，圖8給出了分別采用AILC算法與PD型ILC算法的圓弧軌跡最大誤差，可知，AILC算法的收斂速度略快于PD型ILC算法，但收斂速度較直線軌跡要慢，這是由于圓弧運動具有向心加速度限制，運行速度要低于直線軌跡，因此初始較小，導致迭代效果較果較直線運動不明顯，具體數(shù)據(jù)如表3所示。圖7中，2 s處出現(xiàn)的誤差突變對應軌跡的轉角處Q2。實驗結果說明：文中提出的自適應迭代學習控制算法可以很好地完成軌跡跟蹤任務，隨著迭代次數(shù)的增加，可以將軌跡誤差減小至一定范圍內，且對于初始誤差較大的情況具有更好的跟蹤效果。

圖7 SCARA機器人圓弧軌跡運動各軸誤差變化Fig.7 The arc trajectory error for each axis of SCARA robot

圖8 圓弧軌跡迭代過程中最大誤差變化過程Fig.8 The change of the arc trajectory maximum error with iteration

表3 圓弧軌跡誤差數(shù)據(jù)Tab.3 The data of arc trajectory error

4 結論

為了減小執(zhí)行重復運動任務的四軸SCARA工業(yè)機器人的末端軌跡位置誤差，在CHIEN等［15］提出的自適應迭代學習控制算法的基礎上進行了更深入的研究。首先利用SCARA機器人的拉格朗日方程和構造的Lyapunov函數(shù)序列，從理論上證明了軌跡跟蹤誤差的收斂性，并說明其能夠避免顫振現(xiàn)象；搭建了一個四軸SCARA機器人實時軌跡跟蹤控制實驗平臺，構建了基于Ethercat的總線系統(tǒng)，算法的計算結果通過前饋力矩輸出到SCARA機器人驅動器，實現(xiàn)了軌跡跟蹤控制；結合機器人動力學模型及相關參數(shù)，將自適應迭代學習控制算法應用于SCARA機器人，直線運動軌跡和半圓弧運動軌跡的實驗驗證了該方法是可以用于工程控制的，且該方法使機器人直線軌跡實驗中第一軸誤差減小為初始誤差的1.61%，提高了SCARA機器人的軌跡跟蹤精度。