王燦燦

(上海大學(xué)物理系,上海 200444)(2018年4月25日收到;2018年5月28日收到修改稿)

1 引 言

在過去的幾十年里,量子理論取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展,特別是量子糾纏,因?yàn)闀r(shí)空幾何可以被看作是代表微觀量子態(tài)的糾纏結(jié)構(gòu)[1,2].如果兩個(gè)粒子的波函數(shù)不能寫成它們各個(gè)部分的直積,那么它們之間就存在糾纏.如果一個(gè)體系存在量子糾纏,那么通過觀察體系中的一部分信息可以了解另一部分的信息.量子糾纏的提出是為了解決許多非局域性物理問題,是量子體系中一種非局域性關(guān)聯(lián),通過研究量子糾纏可以了解微觀事物間的新的關(guān)聯(lián)方式.量子糾纏是可觀測的,其中,糾纏熵是量子信息的測度.糾纏熵是一個(gè)比較基礎(chǔ)的物理量:在凝聚態(tài)理論中,它用來區(qū)分新的拓?fù)湎嗷虿煌呐R界點(diǎn);在量子場理論的背景下,糾纏熵可以作為規(guī)范理論中相變的一個(gè)有用的探針;此外,它在討論重整化群流的結(jié)構(gòu)中也有新的應(yīng)用.糾纏熵一直被認(rèn)為是黑洞熵的起源,而對于糾纏的考慮也引發(fā)了一個(gè)關(guān)于霍金輻射和黑洞蒸發(fā)性質(zhì)的新的討論.糾纏熵在理解時(shí)空量子結(jié)構(gòu)中也起著重要作用,以及在反德西特/共形場論(anti-de sitter/conformal field theory,AdS/CFT)對偶理論的討論中也會有糾纏熵的出現(xiàn).AdS/CFT對偶理論是以弦論為基礎(chǔ)發(fā)展起來的,是研究強(qiáng)耦合量子場論比較有潛力的工具,它將規(guī)范理論中的強(qiáng)耦合區(qū)域與經(jīng)典引力理論的弱耦合區(qū)域聯(lián)系了起來.

Ryu和Takayanagi[3?5]提出了一個(gè)計(jì)算時(shí)空幾何直接的工具——糾纏熵.在邊界場理論中選擇一個(gè)特定的空間區(qū)域V研究了V與其補(bǔ)集ˉV之間的糾纏熵,在共形場論糾纏與雙時(shí)空幾何(AdS空間)之間構(gòu)建了一個(gè)定量的聯(lián)系[6].最近,Jacobson[7]通過最大真空糾纏假說得出了半經(jīng)典愛因斯坦方程,該假說認(rèn)為小測地球的糾纏熵在給定體積下是最大的,在幾何和量子場的一個(gè)局部最大對稱真空態(tài)中給出了一個(gè)定性的論據(jù)表明愛因斯坦方程暗示了這個(gè)假設(shè)的有效性.因此,從最大真空糾纏熵假設(shè)出發(fā)得到了完整的非線性愛因斯坦方程.在幾何上,測地球半徑的選擇遠(yuǎn)小于任何宏觀長度尺度,所以黎曼正則坐標(biāo)的使用是合理的.Jacobson利用閔可夫斯基時(shí)空中變分δgab在黎曼坐標(biāo)系下計(jì)算面積缺陷δA,可得面積缺陷與紫外區(qū)的糾纏熵變化δSUV成正比,即δSUV=δA/(4G).總熵變δStotal受到從物質(zhì)場狀態(tài)的變化δ|ψ〉所產(chǎn)生的紅外區(qū)δSIR的貢獻(xiàn),假設(shè)小測地球中的真空糾纏熵是極值,總熵變δStotal=δSUV+δSIR就為零,通過進(jìn)一步利用量子糾纏第一定律δSA=δ〈HA〉,最后可以推導(dǎo)出愛因斯坦方程[7].

本文主要從糾纏的觀點(diǎn)理解宇宙動力學(xué),在糾纏是時(shí)空的基本元素的假設(shè)下展示了如何從糾纏第一定律得出弗里德曼方程.文中采用費(fèi)米正則坐標(biāo)(Fermi normal coordinates,FNC)對面積缺陷進(jìn)行了擴(kuò)展討論[8].FNC描述了一個(gè)類時(shí)測地線并且沿著測地線克里斯托弗符號對有限的空間區(qū)域和所有的時(shí)間區(qū)域是有效的.在宇宙學(xué)背景下,FNC只適用于尺度遠(yuǎn)小于哈勃視界的情況下,弗里德曼方程首先建立在FNC系統(tǒng)中.然后引入共形費(fèi)米坐標(biāo)(conformal Fermi coordinates,CFC)[9],在CFC中主要研究的是空間曲率為零的平坦宇宙,弗里德曼方程將會在CFC中再次被推導(dǎo)出來.

下面對量子糾纏第一定律做一個(gè)簡短的回顧.對于一般量子系統(tǒng)中的任意狀態(tài),子系統(tǒng)A的密度矩陣可以描述為這里ρtotal是整個(gè)系統(tǒng)的密度矩陣,是A的補(bǔ)集,通過糾纏熵SA描述子系統(tǒng)A與系統(tǒng)其余部分的糾纏.定義馮·諾依曼糾纏熵為

其中ρA為子系統(tǒng)A的密度矩陣,通過哈密頓量定義密度矩陣ρA,

其中,HA是厄米算符,ρA是厄米的且為正,(2)式右邊的分母保證了ρA有單位跡.子系統(tǒng)A的糾纏熵的一階變分為

密度矩陣ρA對任何狀態(tài)都有單位跡,因此最后一項(xiàng)為零,于是得出量子糾纏第一定律

其中哈密頓量HA是根據(jù)最初的無擾的密度矩陣定義的.方程(4)被解釋為量子糾纏的第一定律,因?yàn)樗从沉藷崃W(xué)第一定律的一般形式[10].從熱狀態(tài)ρA=eβH/tr(e?βH)開始,方程(4)就可以簡化為通常的熱力學(xué)第一定律δ〈H〉=TδSA.

本文從量子糾纏第一定律出發(fā),結(jié)合理想流體的連續(xù)性方程,得出宇宙學(xué)弗里德曼方程.本文的結(jié)構(gòu)安排如下:第2節(jié)簡要回顧了FNC的概念;第3節(jié)用FNC計(jì)算了面積缺陷;第4節(jié)和第5節(jié)分別討論了因果結(jié)構(gòu)、糾纏熵變化和弗里德曼方程;第6節(jié)通過引入CFC推導(dǎo)出了弗里德曼方程;第7節(jié)進(jìn)行了討論和總結(jié).

2 費(fèi)米正則坐標(biāo)的簡要回顧

廣義相對論等效原理認(rèn)為,在一個(gè)引力場下慣性參考系中的物理定律在一個(gè)無窮小的實(shí)驗(yàn)室是有效的.根據(jù)等效原理,引力場效應(yīng)與在平直時(shí)空中的加速效應(yīng)是局部不可分辨的,其實(shí)熱力學(xué)中的物理概念是與觀測者有關(guān)的.對于一個(gè)平直時(shí)空的零溫情況下,一個(gè)自由下落觀察者不會感覺到溫度,而加速的局域Rindler觀測者能同時(shí)感覺到溫度和觀測到熵.在宇宙學(xué)中,時(shí)間變量與空間變量不同,其中一個(gè)特殊的時(shí)間變量是測地線觀測者的固有時(shí)間,而空間隨著時(shí)間會出現(xiàn)膨脹.在時(shí)空中的每一個(gè)事件中，時(shí)空都是局部平坦的,需要引入黎曼正則坐標(biāo),其基本的思想就是用測地線通過一個(gè)給定的點(diǎn)定義附近點(diǎn)的坐標(biāo).

這里引入FNC[8],然后從幾何角度進(jìn)行構(gòu)建.我們考慮一個(gè)自由下落觀測者沿著一個(gè)世界線移動,時(shí)空坐標(biāo)為正交平行傳播四元組為自由下落觀測者的軌跡是一個(gè)類時(shí)測地線,是觀測者O的類時(shí)單位切向量形成觀測者的局部空間系.通過類空測地線在任意事件Q(τ)正交于世界線可以構(gòu)造一個(gè)局部超曲面.考慮在Q(τ)鄰近的一點(diǎn)P,坐標(biāo)xμ位于這個(gè)超曲面上,從Q(τ)到P將有一個(gè)獨(dú)特的時(shí)空測地線連接,因此,分別定義Q點(diǎn)和P點(diǎn)的FNC 為滿足關(guān)系

其中λ是從Q到P段的本征長度,因?yàn)橐幌盗锌臻g基集是正交的,FNC度規(guī)是在O中是成直角的,于是得出

基于以上的研究可以利用xiF逐階計(jì)算FNC,重復(fù)使用測地線方程來計(jì)算,包括一些坐標(biāo)系(例如史瓦西坐標(biāo))xμ和FNC,然后得到任意坐標(biāo)xμ和FNC之間的關(guān)系:

把xμ展開成

其中

更簡單地說,可以把時(shí)空元素展開為gμv=ημv+所以,在FNC下度規(guī)為

其中FRikjl表示黎曼張量的投影,可以從給定的黎曼張量得出修正.

下面討論FNC中的弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克(FLRW)度規(guī).

在笛卡爾坐標(biāo)系中標(biāo)準(zhǔn)的FLRW度規(guī)為

通過下面的度規(guī)張量變換得出FNC,

其中H是哈勃常數(shù),這里得到的FNC也可以通過(12)–(14)式求出.特別地,里奇標(biāo)量的空間分量可以容易寫作

3 面積缺陷

首先,考慮d維時(shí)空在測地線中心O的FNC系,測地線從O發(fā)出正交于ua,形成一個(gè)d?1維類空球.假設(shè)l是球的半徑,考慮一個(gè)基于O的FNC系,類時(shí)坐標(biāo)類空坐標(biāo)其中r是測地距離,ni是一個(gè)單位向量,滿足δijninj=1,時(shí)空度規(guī)的號差取為(?+++).假設(shè)球的半徑遠(yuǎn)小于局部曲率長度(即l?H?1).Σ上空間度規(guī)gij在(14)式已經(jīng)給出,Σ的FNC坐標(biāo)的二階體積元為

d?代表單位(d?2)球體上的面積微元.對于球?qū)ΨQ函數(shù)從到積分

?=的空間里奇標(biāo)量,?d?2代表(d?2)球體上的面積.利用積分與閔可夫斯基空間在?=0處相比,固定半徑下的體積變化

?Σ面積變化由dδV/dl給出,即

當(dāng)球的半徑變化時(shí),體積和面積的變化形式為

總面積變化可分解為兩部分,

然后在固定體積的面積變化滿足[7]

對于FLRW度規(guī),空間里奇標(biāo)量為?=6(H2+k/a2).在本節(jié)中可以發(fā)現(xiàn)固定半徑和固定體積下的面積變化,利用費(fèi)米坐標(biāo)中里奇標(biāo)量等于兩倍的一般愛因斯坦張量00分量可以聯(lián)系到愛因斯坦方程.在文獻(xiàn)[3]中,作者考慮了體積缺陷并從復(fù)雜性/體積對偶出發(fā)導(dǎo)出愛因斯坦方程.此外,他們發(fā)現(xiàn)宇宙加速膨脹可以理解為由量子復(fù)雜性造成的.

圖1 因果結(jié)構(gòu),在一個(gè)最大對稱時(shí)空中,測地球Σ的中心為O,邊界為?ΣFig.1.A sketched diagram for Causal diamond of a ball-shaped Σ region with center O and boundary ?Σ.

4 因果結(jié)構(gòu)

文獻(xiàn)[7]討論了因果結(jié)構(gòu)D(Σ)和閔可夫斯基線元共形等距,由基林(Killing)矢量推導(dǎo)出了獨(dú)特的球?qū)ΨQ性因果結(jié)構(gòu)共形等距

對于FLRW幾何線元ds2=?dt2+a(t)2dx2,可以定義共形時(shí)間坐標(biāo)

將度規(guī)變換為共形閔可夫斯基時(shí)空

相應(yīng)的基林矢量為

注意當(dāng)a(t)=1,根據(jù)文獻(xiàn)[7]可得相應(yīng)的基林矢量

當(dāng)k=0時(shí)基林矢量為

對于一般的在任意的空間曲率FLRW下ds2=度規(guī)取為下面的形式:

零坐標(biāo)為

因此,基林矢量采取下面的形式

對于非共形物質(zhì)系統(tǒng),因果結(jié)構(gòu)D(Σ)糾纏熵由紫外部分與紅外部分組成.如果考慮幾何的變化和量子場的狀態(tài),總熵變可以寫成

Jacobson在文獻(xiàn)[7]提出最大真空糾纏假說:當(dāng)幾何和量子場由最大對稱性同時(shí)變化時(shí),在固定體積下小測地球中糾纏熵是最大的.由最大真空糾纏假說得

現(xiàn)在繼續(xù)在最大真空糾纏假說下推導(dǎo)弗里德曼方程,分別在FNC和FNC系統(tǒng)中.

5 量子糾纏和弗里德曼方程

本節(jié)使用糾纏第一定律δSA= δ〈HA〉推導(dǎo)出宇宙學(xué)弗里德曼方程.現(xiàn)在假設(shè)因果結(jié)構(gòu)封閉的量子態(tài)是熱力學(xué)平衡的,第3節(jié)已經(jīng)推導(dǎo)出了在固定體積下的面積變化.考慮處于平衡狀態(tài)的普通熱力學(xué)系統(tǒng)中的最小亥姆霍茲自由能F=E?TS,量子場理論的真空狀態(tài)被限制在這個(gè)因果結(jié)構(gòu)中可以表示成一個(gè)熱密度矩陣:

其中K與哈密頓量有關(guān),T是Unruh溫度[11,12],自由能FK= δ〈K〉?TS,δ〈K〉表示模哈密頓量的量子期望值,S=?Trρlnρ代表馮·諾依曼糾纏熵.由最小亥姆霍茲自由能原理知δFK必須為零,于是有

這是對于一個(gè)熱狀態(tài)的普通的克勞修斯關(guān)系,K和H?在文獻(xiàn)[7]中有比較詳細(xì)的討論.一般來說,這里的K不是一個(gè)局部算子,不生成幾何流,對于普通的FLRW宇宙學(xué),它與CFT無關(guān).對于非共形物質(zhì)場,文獻(xiàn)[7]猜想中有附加項(xiàng)δX,

δ〈T00〉是能量密度的變化,δX是一個(gè)時(shí)空標(biāo)量,X首次引入于文獻(xiàn)[7],它在量子場理論中是一些標(biāo)量運(yùn)算符.下文只考D=4的特殊情況,假設(shè)量子場是具有因果關(guān)系的,處于熱力學(xué)平衡狀態(tài)且由真空態(tài)支配.在固定的體積下總熵變?yōu)?,即從(38),(41),(42)和(27)式可得

從而

因此

其中η=1/(4πG).下文假設(shè)δX=0,對于第一階,假設(shè)宇宙不是空的而是由一些物質(zhì)和能量支配的.這里選擇用理想流體來模擬宇宙中的物質(zhì)和能量,一個(gè)理想流體的能量動量張量可以寫成

ρ是能量密度,P是壓力,Uμ是流體的四速度,四速度Uμ=(1,0,0,0).能量動量張量可以簡單表示成

方程(45)重新寫為標(biāo)準(zhǔn)的弗里德曼方程

再加上理想流體的連續(xù)性方程

得出另外一個(gè)弗里德曼方程

其中,·表示tF的導(dǎo)數(shù).因此,對于FLRW宇宙應(yīng)用糾纏第一定律得出弗里德曼方程.在這個(gè)意義上,弗里德曼方程的出現(xiàn)可以視為是由于物質(zhì)δ〈HA〉糾纏的變化δSA的原因,推導(dǎo)的有效性僅限于一個(gè)小測地球的半徑遠(yuǎn)小于視界半徑,為了克服這個(gè)局限性,我們將在下一節(jié)探討CFC.

6 共形費(fèi)米坐標(biāo)(CFC)和弗里德曼方程

現(xiàn)在討論CFC的構(gòu)建.為了研究宇宙學(xué)應(yīng)用,作者在文獻(xiàn)[9]中引入CFC,CFC在視界外也是有效的.與FNC類似的是它構(gòu)建在一個(gè)類時(shí)中心測地線附近,在CFC系中,最低階CFC度規(guī)是一個(gè)平坦的FLRW時(shí)空.度規(guī)取為下面的形式:

a(τF)代表共形時(shí)間,為了計(jì)算的方便引入共形度規(guī)下面簡要介紹CFC的構(gòu)建.

這里τF表示時(shí)間坐標(biāo),點(diǎn)P有CFC坐標(biāo)(τF,0).考慮一族與有關(guān)的共形測地線通過條件分別得到P點(diǎn)的仿射參數(shù)和正切矢量.換句話說,αi通常決定測地線方向,λ測量共形度規(guī)測地線距離[9].P點(diǎn)在共形測地線上點(diǎn)的坐標(biāo)為

于是可得CFC度規(guī)與共形黎曼曲率張量之間的關(guān)系:

Fikjl是黎曼曲率張量,在CFC系下的黎曼張量可以寫作在全局坐標(biāo)中可以計(jì)算出μναβ的分量.

與第3節(jié)相似,考慮一個(gè)測地球,在真空糾纏熵是極值的條件下δStotal=0.通過類似于第5節(jié)的方法,在平坦宇宙中CFC系下弗里德曼方程如下:

因此,得出FLRW宇宙下的弗里德曼方程在k=0的情況下是有效的.

7 討論與結(jié)論

本文探討了量子信息理論的關(guān)鍵概念與時(shí)空和引力之間的深層聯(lián)系,在一個(gè)新的坐標(biāo)系下研究宇宙學(xué),認(rèn)為時(shí)空幾何是微觀量子態(tài)的糾纏結(jié)構(gòu).結(jié)合理想流體的連續(xù)性方程從量子糾纏第一定律推導(dǎo)出宇宙學(xué)弗里德曼方程,討論了時(shí)空微觀自由度、糾纏與引力的關(guān)系.首先,在FNC下的因果結(jié)構(gòu)尺度l比局部曲率長度小很多,但仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于普朗克尺度lp的情況下推導(dǎo)出弗里德曼方程.如果因果結(jié)構(gòu)尺度比得上紫外線尺度lp,那么量子引力效應(yīng)就變得更強(qiáng).通過探索CFC系統(tǒng),我們拓展到一個(gè)更大的因果結(jié)構(gòu)尺度進(jìn)行討論.在這個(gè)意義上,可以得到一個(gè)曲率修正值較高的引力場方程.

這里介紹的推導(dǎo)過程可以看作是一個(gè)弗里德曼方程導(dǎo)出的補(bǔ)充,這從宇宙學(xué)表觀視界的熱力學(xué)[13?15]可知.而如何從糾纏平衡態(tài)獲得高階導(dǎo)數(shù)引力下的弗里德曼方程,例如Gauss-Bonnet引力[16?18]和Lovelock引力[14,19],在這兩種引力中,熵與視界面積的關(guān)系不再成正比,這時(shí)Gauss-Bonnet引力和Lovelock引力中的熵面積關(guān)系應(yīng)該為表觀視界的熵與面積關(guān)系.然后重復(fù)本文中的推導(dǎo)弗里德曼方程的整個(gè)過程,就能得出Gauss-Bonnet引力和Lovelock引力的弗里德曼方程.這可能涉及到糾纏第一定律的擴(kuò)展,在此不做具體的推導(dǎo).類似地,通過糾纏第一定律,文獻(xiàn)[20–30]進(jìn)行了一系列的計(jì)算,在均勻標(biāo)量場的暴漲模型考慮弗里德曼方程將是很有趣的.對于糾纏的本質(zhì)以及宇宙的評估的研究也會是一個(gè)有趣的課題[3].

量子糾纏可以用來描述量子物質(zhì)態(tài),對量子物質(zhì)態(tài)中糾纏的大小的研究已經(jīng)成為一個(gè)值得探討的問題.而對糾纏結(jié)構(gòu)面積定律的研究也有助于研究張量網(wǎng)絡(luò)的算法[31],利用量子體系糾纏熵正比于其邊界的大小為研究量子多體提供了可能.而有研究表明黑洞熵在某些方面也與面積定律有著深刻的聯(lián)系[32].另外,從量子信息的角度來審視引力可以進(jìn)一步促進(jìn)我們對時(shí)空的本源的理解,從而更進(jìn)一步地了解宇宙學(xué).所以,量子糾纏的深遠(yuǎn)影響到底是什么,還需要我們?nèi)ネ诰蚱渲械膴W秘.