林碧珍

【編者按】在教師們普遍關(guān)注學(xué)生知識與技能的發(fā)展時，我們是不是更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的思考？學(xué)生是否能夠自覺自愿地用數(shù)學(xué)的思想方法去觀察、分析周遭事物，進而加以解決？本期專輯圍繞“促使學(xué)生用數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實問題”加以探討。

數(shù)學(xué)的難教與難學(xué)，學(xué)生面對新的現(xiàn)實情境無法有效調(diào)用綜合能力，無法用數(shù)學(xué)的思維解決問題，成了長期困擾師生的難題。筆者經(jīng)過對課堂教學(xué)現(xiàn)象的深入研究和反思，發(fā)現(xiàn)造成這些難題的主要原因是，教師教學(xué)時過多地關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和技能的掌握，總是一節(jié)節(jié)課、一個個知識點地教，往往忽視了引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟和運用。數(shù)學(xué)知識就好比一顆顆珍珠，數(shù)學(xué)思想是能串起這些珍珠的線，有了這根線，所有的知識才能融會貫通，形成知識體系，這樣結(jié)構(gòu)化的、形成體系的知識才能轉(zhuǎn)化為解決問題的能力。因此筆者提出要提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維解決現(xiàn)實問題的能力，就要構(gòu)建起“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”這一教學(xué)主張，并進行了長達十五年的研究和實踐。實踐證明“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”對于提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維解決問題的能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著重要的作用。

一、詮釋“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”

“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”是指在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中適時、科學(xué)、有效地引導(dǎo)學(xué)生感悟、體會和運用數(shù)學(xué)思想的課堂。在這樣的課堂中教師結(jié)合數(shù)學(xué)知識的探索，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想；并通過回顧、反思解決問題的過程，體會數(shù)學(xué)思想；最后通過拓展運用，引導(dǎo)學(xué)生靈活地、創(chuàng)造性地運用數(shù)學(xué)思想解決現(xiàn)實情境中的一類問題。數(shù)學(xué)思想的感悟、體會和運用打破了長期以來數(shù)學(xué)知識碎片化教學(xué)的格局，讓數(shù)學(xué)知識間建立起“融會貫通”的聯(lián)系，這樣的課堂中學(xué)生不僅能學(xué)到必備的知識和技能，更重要的是在經(jīng)歷學(xué)習(xí)的整個過程中能夠感悟、體會數(shù)學(xué)的思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問題的常識、規(guī)律和門道。有了它們，學(xué)生在面對現(xiàn)實問題時就能靈活地調(diào)用數(shù)學(xué)思想，找到解決問題的方向和策略，解決問題的能力就能真正得到提升。

二、“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”操作策略

“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”是能真正促進學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維解決問題的課堂，那么在平時教學(xué)中要如何構(gòu)建起這樣的課堂呢？筆者提煉出了“意識先行”“理念滲透”“方法變革”“自覺運用”等四大操作策略。下面就以人教版五上“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”的教學(xué)為例，展示“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”具體的操作策略，以及它對于促進學(xué)生用數(shù)學(xué)思維解決問題的作用。

1. “意識先行”和“理念滲透”。

“意識先行”指教師在備課、研讀教材時要從數(shù)學(xué)思想的高度上解讀教材，挖掘所教知識背后隱含的數(shù)學(xué)思想?！袄砟顫B透”指在教學(xué)過程中把讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想的理念轉(zhuǎn)化為具體、靈活、多變的教學(xué)方法和教學(xué)步驟，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式?！爸矘鋯栴}”這一內(nèi)容，我們從知識的角度來研讀教材會發(fā)現(xiàn)，教材中設(shè)置了三個例題。例1：在一條線段上植樹（兩端都栽）；例2：在一條線段上植樹（兩端都不栽）；例3：在一條封閉的曲線上植樹。在以知識為線索的常態(tài)教學(xué)中，教師往往分三部分來教學(xué)，第一節(jié)課教學(xué)兩端都栽的情況，而后進行建模，解決生活中與此相關(guān)的問題。第二節(jié)課則在兩端都栽的例題的基礎(chǔ)上進行遷移和轉(zhuǎn)化，教學(xué)兩端都不栽和只栽一端的情況，并解決生活中的實際問題。第三節(jié)課教學(xué)在封閉圖形中植樹的情況。三個例題都教學(xué)完畢后，再利用練習(xí)課溝通植樹問題間的聯(lián)系，解決相關(guān)的問題。凡是教過這一內(nèi)容的教師們都知道，不管我們怎么教，學(xué)生們總是容易將兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽三種情況混淆起來，在解決問題時分不清這個問題是屬于植樹問題中的哪一種情況，算出間隔數(shù)后是該加1還是該減1，或是間隔數(shù)就是所求的結(jié)果……如果教師能有數(shù)學(xué)思想的意識，從數(shù)學(xué)思想的高度去研讀教材，并把教學(xué)重點落在探索規(guī)律和在建立模型的過程中感悟、體會、運用數(shù)學(xué)思想上，這一難題就能獲得有效破解。帶著滲透數(shù)學(xué)思想的意識和理念，我們重新從數(shù)學(xué)思想的角度去分析、解讀教材，通過對這一教材的深度研讀我們發(fā)現(xiàn)，在解決“植樹問題”的過程中，重點是引導(dǎo)學(xué)生能把復(fù)雜的情境轉(zhuǎn)化為簡單的情境，并且能夠通過畫圖找到該情境下點數(shù)與段數(shù)的關(guān)系，再利用點數(shù)與段數(shù)的對應(yīng)關(guān)系來理解算理，今后遇到相關(guān)問題時，學(xué)生只要能自覺地化繁為簡，動手畫圖，找到對應(yīng)關(guān)系就能很好地解決現(xiàn)實生活中的各類問題。這樣的研讀不僅讓我們讀懂教材所承載的知識與技能目標，更幫助我們挖掘出隱藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)下，我們決定打破教材中例題的限制，以“化繁為簡”“數(shù)形結(jié)合”“一一對應(yīng)”等數(shù)學(xué)思想的滲透作為教學(xué)的主線，貫通起“植樹問題”整個單元知識的教學(xué)，以思想的感悟、體會和運用為主，引導(dǎo)學(xué)生靈活地運用數(shù)學(xué)思想解決問題。

2. “方法變革”和“自覺運用”。

“方法變革”指教師在教學(xué)過程中不是簡單地教知識和技能，而是讓學(xué)生通過獨立思考、合作交流、反思回顧等方式，既獲得數(shù)學(xué)知識和技能，又逐步感悟數(shù)學(xué)思想?！白杂X運用”指在不同學(xué)段、不同領(lǐng)域知識教學(xué)中螺旋上升地滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在不斷感悟、體會的基礎(chǔ)上自覺、靈活、創(chuàng)造性地運用數(shù)學(xué)思想，解決數(shù)學(xué)問題。在“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”的意識和理念的引領(lǐng)下，我們改造“植樹問題”的教學(xué)，設(shè)計并實施了四個引導(dǎo)學(xué)生感悟、體會和運用數(shù)學(xué)思想的教學(xué)環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)：新課教學(xué)環(huán)節(jié)（經(jīng)歷探索過程，感悟數(shù)學(xué)思想）。教師在教學(xué)例1時故意改變教材中路的長度，把例題改為“要在1000米長的路的一邊植樹，每隔5米種一棵（兩端都種），需要準備多少棵樹？”出示例題后引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，而后引導(dǎo)學(xué)生該如何進行驗證。學(xué)生在共同操作中體會和感悟，路的長度太長，解決問題就會很麻煩，為了便于學(xué)習(xí)，可以從簡單的例子入手，通過畫圖等方式在簡單的例子中找到規(guī)律，再利用規(guī)律解決復(fù)雜的問題。第二個環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)環(huán)節(jié)（通過回顧反思，體會數(shù)學(xué)思想）。當學(xué)生利用化繁為簡、畫圖的方法解決問題后，教師再及時引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程進行反思，提煉出解決問題時所用到的數(shù)學(xué)思想。第三個環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)（觸類旁通，自覺運用數(shù)學(xué)思想）。在學(xué)生感悟化繁為簡、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想對于解決問題的妙用的基礎(chǔ)上，教師呈現(xiàn)兩端都不種和只種一端的情況，讓學(xué)生自己運用化繁為簡、數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題。這樣學(xué)生在解決問題時，就能主動把題目中的數(shù)據(jù)變小，并巧妙地通過畫圖找出各種情況下種樹的棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系，解決了相關(guān)問題。第四個環(huán)節(jié)：拓展運用環(huán)節(jié)（創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，靈活地、創(chuàng)造性地運用數(shù)學(xué)思想）。有了對數(shù)學(xué)思想的感悟、體會和運用，今后學(xué)生在解決與植樹問題相關(guān)聯(lián)的其他生活問題時（如：鋸木頭、敲鐘、爬樓梯等），就不會盲目地去猜想這道題是該用“段數(shù)+1”求棵數(shù)，還是用“段數(shù)-1”求棵數(shù)，他們遇到問題時就能自覺地化繁為簡，把題目中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)據(jù)，而后根據(jù)題目的要求畫個簡單的示意圖，通過畫圖找出規(guī)律，再利用規(guī)律解決一系列現(xiàn)實情境中的問題了。由此不難看出教師結(jié)合數(shù)學(xué)知識的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生感悟、體會數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建起“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”就能大大提高教學(xué)的效率，提高學(xué)生解決問題的能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的養(yǎng)成，實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

當然，數(shù)學(xué)思想的感悟、體會和運用是一個循序漸進、螺旋上升的過程。我們在不同學(xué)段、不同領(lǐng)域的知識教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容與學(xué)生情況的不同，實施不同的滲透策略：低年級只需要初步體驗，到了中年級就可以感悟提升，長此以往地堅持，到了高年級時學(xué)生就能達到自覺、靈活運用的水平。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓，是數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為解決問題能力的橋梁，它比數(shù)學(xué)知識更具有抽象性和概括性，是隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的。因此，要構(gòu)建“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”，我們就必須深度研讀教材，挖掘出教材承載知識背后所隱藏的數(shù)學(xué)思想和方法，只有教師心中有思想、有意識，才能在構(gòu)建“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”教學(xué)理念的引領(lǐng)下，科學(xué)、適時、靈活地結(jié)合數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感悟、體會和運用數(shù)學(xué)思想，課堂的建構(gòu)才有了根基。但意識、理念最終都要落實到教學(xué)行動上，“富有數(shù)學(xué)思想的課堂”要求教師們要留給學(xué)生充分的時間和空間，經(jīng)歷探索的過程，在探索、反思、運用中，不斷地感悟數(shù)學(xué)思想的魅力，最后達到能自覺運用數(shù)學(xué)思維創(chuàng)造性地解決現(xiàn)實情境中的問題的目的。

（作者單位：福建省福州金山小學(xué)）