閆隆基，肖 瑋，陳 鵬

(陸軍勤務學院，重慶 401311)

0 引 言

正弦信號頻率估計廣泛應用于檢測技術、自動控制、雷達、目標信號識別等領域，具有很大的研究價值[1-8]。基于自相關的頻率估計方法是常用的正弦信號頻率估計方法，主要有改進協(xié)方差(Modified Covariance, MC)方法[9-10]、Pisarenko諧波分解(Pisarenko Harmonic Decomposition, PHD)方法[11-12]、改進Pisarenko諧波分解(Improved Variant of Pisarenko Harmonic Decomposition, IVPHD)方法[13-14]、擴展自相關(Expanded Autocorrelation, EA)方法[15-16]等。MC方法利用待估信號的2次自相關計算推導頻率表達式得到頻率值；PHD方法首先計算信號的自相關矩陣，利用其特征結構對采樣信號進行頻率估計得到頻率值；IVPHD方法通過重新定義新的自相關，較為完整地利用自相關信號的信息來計算頻率值；EA方法通過較為完整地利用自相關函數(shù)中包含的頻率信息，推導擴展自相關函數(shù)，同時利用誤差函數(shù)獲得采樣信號的頻率值。PHD方法頻率估計性能較差，MC方法、IVPHD方法與EA方法頻率估計性能較PHD方法有所提高。由于信號非整周期采樣，導致自相關信號均包含誤差項，致使基于自相關的頻率估計方法為有偏估計，導致其頻率估計精度受限。

針對基于自相關的頻率估計方法受信號非整周期采樣影響的問題，本文提出一種基于延時互相關的正弦信號頻率估計方法。本文方法通過延時互相關得出包含相同誤差項的互相關信號；并利用互相關信號相減，抵消誤差項，從而構建僅含有同頻項的誤差校正信號；最后通過柯西-施瓦茲不等式與誤差校正信號推導頻率表達式，進而獲得高精度的正弦信號頻率估計值。

1 方法原理

基于延時互相關的正弦信號頻率估計方法原理如圖1所示。

圖1 方法原理圖

1)截取采樣信號內指定長度信號段1，通過對信號段1延時獲得等長度延時信號。

2)對信號段1及其等長延時信號進行互相關運算，得到延時互相關信號；利用延時互相關信號包含相同誤差項的特點，將互相關信號相減，抵消誤差項，從而構建不包含誤差項的誤差校正信號。

3)通過柯西-施瓦茲不等式與誤差校正信號推導本文方法的頻率表達式，得出頻率估計值。

1.1 等長度延時信號獲取

設有采樣信號x(n)為：

x(n)=s(n)+z(n)

(1)

其中:n=1,2,…,N, N為采樣信號長度;s(n)=Acos (ωn+θ)為單頻正弦信號，A為正弦信號幅值，ω為正弦信號頻率，θ為正弦信號的初相位;z(n)為高斯白噪聲。截取x(n)內長度為N0的信號段1，其中n′=1,2,…,N0:

x1(n′)=s(n′)+z(n′)

(2)

對信號段1延時N1點，截取等長度延時信號段2：

x2(n′)=x1(n′+N1)=s(n′+N1)+z(n′+N1)

(3)

其中N1為延時截取的時寬，N0+N1N, 2段信號獲取示意圖如圖2所示。

圖2 長度為N0的采樣信號及延時信號(延時N1點)示意圖

1.2 基于延時互相關的校正信號構建

將1.1節(jié)所得2段信號做互相關計算，得到互相關信號：

(4)

(5)

其中r12(k)和r21(k)為延時互相關信號，k=1,2,…,N0-1。

將x1(n′)與x2(n′)代入式(4)與式(5)：

(Acos (ω(N1+n′+k)+θ)+z(N1+n′+k))]

(6)

(Acos (ω(n′+k)+θ)+z(n′+k))]

(7)

r(k)=r21(k)-r12(k)

(8)

將r12(k)、r21(k)代入式(8):

=A2sin (N1ω)sin (kω)

(9)

由式(9)可知得到的校正信號r(k)不包含由非整周期采樣造成的誤差項ε12(k)=ε21(k)，僅包含采樣信號的同頻項ω，即待估頻率。

1.3 無偏頻率估計

首先根據(jù)式(10)計算得到采樣信號頻率粗估計值ω1[17]：

(10)

為了獲得采樣信號的頻率精確估計值，根據(jù)r(k)的形式構建參考信號h(k)，并在采樣信號頻率的粗估計值ω1處對h(k)進行泰勒級數(shù)展開，且僅保留其一次項為：

=sin (N1ω1)sin (kω1)+(N1cos (N1ω1)sin (kω1)+

(11)

(12)

(13)

其中a(k)=sin (N1ω1)sin (kω1), b(k)=N1cos (N1ω1)sin (kω1)+ksin (N1ω1)cos (kω1)。

2 仿真驗證

為了驗證本文提出的基于延時互相關的正弦信號頻率估計方法，利用MATLAB仿真軟件,從以下3個方面：不同信號長度條件下、不同信噪比條件下、不同信號頻率條件下，進行仿真實驗。在仿真中，不失一般性，正弦信號幅度設置為1，信號的初相位-πθπ，正弦信號疊加的噪聲為高斯白噪聲，仿真實驗的結果為1000次獨立運行所得均方根誤差的平均值。

2.1 不同信號長度的對比試驗

考慮在信噪比SNR=30 dB、信號頻率ω=2π/30的條件下，比較本文方法與MC方法、PHD方法、IVPHD方法、EA方法在不同信號長度的情況下的頻率估計性能，實驗結果如3圖所示。

圖3 不同信號長度時各類方法均方根誤差的對比

由圖3可知：本文方法較PHD方法、MC方法、IVPHD方法、EA方法的頻率估計均方根誤差曲線更接近克拉美羅下限，且PHD方法與EA方法頻率估計值的均方根誤差受信號非整周期采樣的影響，呈現(xiàn)出一定的周期波動，周期為2π/ω。本文方法的頻率估計精度隨信號采樣點數(shù)的增加不斷提高，未出現(xiàn)明顯波動，表明本文方法受信號非整周期采樣影響較小，頻率估計性能優(yōu)于其他方法。

2.2 不同信噪比的對比試驗

考慮在信號長度N=300，信號頻率ω=2π/30的條件下，比較本文方法與MC方法、PHD方法、IVPHD方法、EA方法在不同信噪比情況下的頻率估計性能，實驗結果如圖4所示。

圖4 不同信噪比時各類方法均方根誤差的對比

由圖4可知：MC方法和IVPHD方法的頻率估計精度隨信噪比提高而提高，但是由于方法本身的不足，導致其均方根誤差曲線距克拉美羅下限較遠，頻率估計精度有限；PHD方法和EA方法在信噪比高于15 dB時，其均方根誤差曲線近似為直線，說明此時這2種方法的頻率估計精度幾乎不再提高；本文方法的頻率估計精度隨著信噪比的提高而不斷改善，均方根誤差小于其他方法頻率估計值的均方根誤差，更接近克拉美羅下限，說明本文方法不僅提高了正弦信號的頻率估計精度，且抗噪性能較好。

2.3 不同信號頻率的對比試驗

考慮在信號長度N=300，信噪比SNR=30 dB的條件下，比較本文方法與MC方法、PHD方法、IVPHD方法、EA方法在不同信號頻率的情況下的頻率估計性能，實驗結果如5圖所示。

圖5 不同頻率時各類方法均方根誤差的對比

由圖5可知：MC方法與EA方法在信號頻率較低或者較高時，其頻率估計精度較低，可適用的頻率估計范圍較窄；PHD方法與IVPHD方法的頻率估計精度隨信號頻率變化較平穩(wěn)，IVPHD方法的頻率估計精度高于PHD方法的頻率估計精度；本文方法在不同信號頻率處相比于其他幾種方法，頻率估計精度的均方根誤差更接近克拉美羅下限，頻率估計范圍較廣，估計精度優(yōu)于其他方法。

3 結束語

針對基于自相關的頻率估計方法受信號非整周期采樣影響的問題，本文提出一種基于延時互相關的正弦信號頻率估計方法。該方法通過延時互相關得出包含相同誤差項的互相關信號，并利用互相關信號抵消誤差項，構建僅含有同頻項的誤差校正信號，通過柯西-施瓦茲不等式與誤差校正信號推導頻率表達式，獲得頻率估計值。理論推導結果表明：本文方法在根源上抑制了信號非整周期采樣的影響，消除了影響頻率估計精度的誤差項；在不同信號長度、信噪比以及不同信號頻率實驗條件下的仿真實驗結果驗證了理論推導的結果，頻率估計結果不再受信號非整周期采樣影響，且頻率估計精度優(yōu)于MC方法、PHD方法、IVPHD方法與EA方法的頻率估計精度，均方誤差更接近克拉美羅下限。