摘 要：一次近似定理是控制理論中的重要定理之一，它為數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域的非線性問題線性化提供了理論依據(jù)。為了幫助學(xué)生理解一次近似定理，本文通過借助Gronwall不等式，證明此定理，并給出了應(yīng)用例子。此定理的證明方法，有助于培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密思維方式。

關(guān)鍵詞：一次近似定理；Gronwall不等式；范數(shù)；特征根

一、 背景介紹

一次近似定理是控制論中十分重要的定理。由于數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域大都是非線性問題，非線性化問題處理，不論是理論上還是實(shí)踐中都非常困難，而線性問題我們有成熟的理論和方法。那么我們能否把非線性問題線性化呢？線性化得到的結(jié)論能否用到非線性系統(tǒng)？若沒有理論根據(jù)，把非線性問題就想當(dāng)然地線性化處理，這種很不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶幚矸绞?，將?huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的后果。非常幸運(yùn)的是我們有理論依據(jù)，即一次近似定理，它為非線性問題線性化提供了理論依據(jù)。由于國(guó)內(nèi)教材大都直接使用此定理，極少有證明，甚至相當(dāng)多的教材使用時(shí)根本不提此定理，把非線性問題想當(dāng)然地線性化處理。一次近似定理及其證明過程，具有深刻的數(shù)學(xué)思想方法，其對(duì)大學(xué)生后續(xù)其他課程的學(xué)習(xí)及將來的研究習(xí)慣的培養(yǎng)具有重要意義。為了幫助學(xué)生理解一次近似定理，提高教學(xué)效果，本文將給出理論證明及應(yīng)用例子。

二、 我們首先證明一個(gè)引理

引理（Gronwall不等式）：設(shè)a是常數(shù)，u（·）和v（·）都是區(qū)間[t0，+∞]上的實(shí)函數(shù)，v（t）≥0，且滿足不等式u（t）≤a+∫tt0v（s）u（s）ds，則u（t）≤ae∫tt0v（s）ds，t≥t0。

證明：令w（t）=a+∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，

上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得dw（t）dt=v（t）u（t）≤v（t）w（t），t≥t0，

則de-∫tt0v（s）dsw（s）dt=e-∫tt0v（s）dsdw（t）dt-v（t）w（t）≤0。

兩邊從t0到t積分可得e-∫tt0v（s）dsw（t）-w（t0）≤0，

所以我們有u（t）≤w（t）≤ae∫tt0v（s）ds。

三、 定理（一次近似定理）的證明

考慮非線性系統(tǒng)

dx（t）dt=Ax（t）+f（x（t）），t≥0，（1）

若矩陣A的特征值全在左半平面，函數(shù)f（·）在x=0的鄰域連續(xù)可微，且存在常數(shù)C滿足

‖f（x）‖≤C‖x‖2，

那么存在α>0，δ>0，K>0，使得當(dāng)‖x（0）‖≤δ時(shí)，方程（1）的解滿足不等式

‖x（t）‖≤K‖x（0）‖e-αt.（2）

證明：由于矩陣A的特征值全在左半平面，則存在α>0，K>0使得以下不等式成立‖eAt‖≤Ke-2αt，t≥0。

（1） 式由常數(shù)變易公式得

x（t）=eAtx（0）+∫t0eA（t-s）f（x（s））ds，t≥0，

從而

‖x（t）‖≤Ke-2αt‖x（0）‖+∫t0Ke-2α（t-s）‖f（x（s））‖ds ≤Ke-2αt‖x（0）‖+∫t0CKe-2α（t-s）‖x（s）‖2ds。

所以我們有e2αt‖x（t）‖≤K‖x（0）‖+∫t0CKe2αs‖x（s）‖2ds。（3）

令η=αCK，δ=ηK+1<η。下面我們首先證明當(dāng)‖x（0）‖≤δ時(shí)，

‖x（t）‖≤η，t≥0.（4）

令T=inf{t|‖x（t）‖≥η}。由于‖x（0）‖≤η，所以T>0。若（4）成立，則T=+∞。下面用反證法。若（4）不成立，則T<+∞。把‖x（t）‖≤η，t∈[0，T]，代入（3）得

e2αt‖x（t）‖≤K‖x（0）‖+∫t0αe2αs‖x（s）‖ds。

令u（t）=e2αt‖x（t）‖，a=K‖x（0）‖，v（t）=α，利用Gronwall不等式得

e2αt‖x（t）‖≤K‖x（0）‖eαt

則當(dāng)t∈[0，T]時(shí)有下式成立

‖x（t）‖≤K‖x（0）‖e-αt。

取t=T，則有‖x（T）‖≤Kδ<η，矛盾，所以T=+∞，即‖x（t）‖≤K‖x（0）‖e-αt對(duì)t≥0均成立。

四、 一次近似定理的應(yīng)用

考查二維系統(tǒng)dx1（t）dt=-x1（t）-sin（x2（t）），

dx2（t）dt=2x1（t）.

矩陣A=-1-1

2 0，f（t）=x2（t）-sin（x2（t））

0，則A穩(wěn)定。由Taylor展開公式得

‖f（x）‖=x2-sinx2=sinξ2x22≤12x22，其中0<ξ

五、 結(jié)束語(yǔ)

一次近似定理是控制論中關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定的重要內(nèi)容，該定理是非線性系統(tǒng)線性化的理論依據(jù)。利用該定理，許多學(xué)科中難以處理的非線性問題才能線性化，然后找到處理的方法。

信息與計(jì)算科學(xué)教研室，全體同仁致力于教研室的發(fā)展，大力開展課程建設(shè)，對(duì)控制論課程的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法多次進(jìn)行探討，本文是教研室發(fā)展的系列成果之一。

參考文獻(xiàn)：

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[4]梅曉榕.自動(dòng)控制原理[M].科學(xué)出版社.第三版，2013，8.

作者簡(jiǎn)介：

葛新同，講師，安徽省阜陽(yáng)市，阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院。