林炳鋒

【摘 要】從近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中可以看出，幾乎每套試卷都考查了分布列或期望值，涉及超幾何分布與二項分布的分布列和數(shù)學(xué)期望問題已成為?？碱}型，但發(fā)現(xiàn)學(xué)生在幾次考試中，這類題目的得分情況并不樂觀，甚至可以說失分比較嚴(yán)重，歸結(jié)其原因主要有：①基本的計算錯誤；②對超幾何分布與二項分布的概念模糊不清而導(dǎo)致運算失誤.本文主要是通過一節(jié)試卷講評課遇到的一道有關(guān)分布列的試題，來分析因概念模糊不清導(dǎo)致的錯誤。

【關(guān)鍵詞】高考；數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.65 【文獻標(biāo)識碼】B 【文章編號】1671-8437（2018）10-0060-02

1 課堂再現(xiàn)

【題目】2013年春季，我國多個地區(qū)出現(xiàn)了H7N9禽流感疫情，為強化對H7N9禽流感疫情的防控，許多新聞媒體介紹了H7N9禽流感防治常識，比如：勤洗手、室內(nèi)通風(fēng)換氣、注意營養(yǎng)、保持良好體質(zhì)有利于預(yù)防流感等呼吸道傳染病等。為此，某中學(xué)舉行了“H7N9禽流感防治常識”知識測試。已知在備選的10道試題中，甲同學(xué)能答對其中的6道題，乙同學(xué)能答對其中的8道題，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題才算合格。

（1）求甲、乙兩同學(xué)至少一人測試合格的概率；

（2）求甲同學(xué)答對的試題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

師：由已知條件你能夠知道甲、乙兩同學(xué)測試合格的概率各是多少嗎？

生：題目中提到“至少答對2道題才算合格”，所以甲測試合格的概率應(yīng)該等于甲答對2道題的概率加上答對3道題的概率，乙的也是一樣。

師：很好，那么甲、乙兩同學(xué)測試合格的概率我們就清楚了。對于問題（1），“至少有一人測試合格”包含了幾個基本事件？

生：三個，一是甲合格乙不合格；二是甲不合格乙合格；三是甲乙都合格。

師：那我們怎么計算問題（1）中的概率？

生：將三者的概率都算出來，然后相加就可以了。

師：相加就可以了嗎？為什么能這么做？

生：因為三個事件互斥。

師：很好！不過上面的方法算起來有點繁瑣，請同學(xué)們思考一下，還有沒有更簡潔的方法？

生：可以從它的對立事件著手考慮， “甲、乙兩同學(xué)至少一人測試合格” 的對立事件是“甲乙都不合格”，所以我們可以先算它的對立事件的概率，再用1來減。師：回答的很好，那大家一起把解答過程寫出來吧！

解析：（1）設(shè)甲、乙兩人測試合格的事件分別為A、B，

則 ，

甲、乙兩同學(xué)測試均不合格的概率為：

故甲、乙兩同學(xué)至少有一人測試合格的概率為：

師：問題（2）“求甲同學(xué)答對的試題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望”，X的所有可能取值有哪些？它服從什么分布？X取每個值時的概率是多少？怎么計算？

生：有0、1、2、3，此時只有十來個學(xué)生回答X服從超幾何分布，而且隱約聽見有其他學(xué)生回答服從二項分布，剛開始我也沒有在意，就繼續(xù)往下上課。）

師：既然這樣，那我們就可以利用超幾何分布的相關(guān)知識解答了。

解析：（2）依題意，X的可能取值為0，1，2，3，

則

甲答對的試題數(shù)X的分布列如下：

甲答對的試題數(shù)X的均值為

正當(dāng)我準(zhǔn)備繼續(xù)評講下一道題的時候，一位學(xué)生提出了問題：我覺得X應(yīng)該服從二項分布，我用二項分布解出來的數(shù)學(xué)期望和老師的一樣啊！

師：哦，那你能不能說說看你是怎么解的？（這時候的我也帶著點好奇心等待他的講解）

這位同學(xué)解釋道：總共10道試題，甲能答對其中的6道，也就是說他答對每道題的概率可以認(rèn)為是，答錯的概率為，從中抽出3道題，所以 ，X的可能取值為0，1，2，3

所以甲答對的試題數(shù)X的分布列如下：

又 ，所以 （竟有相當(dāng)部分的同學(xué)也是這樣認(rèn)為的）

師：到底是超幾何分布，還是二項分布呢？同學(xué)們有其他的看法嗎？

我一邊提問一邊觀察同學(xué)們的表情，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)還是一臉的迷茫。此時我才發(fā)現(xiàn)，對于概率統(tǒng)計的這類題目，本以為學(xué)生應(yīng)該只是會在計算上出現(xiàn)較大的問題，沒想到還會因為對超幾何分布與二項分布的概念產(chǎn)生了混淆，概念模糊不清，理解不夠深刻而導(dǎo)致錯誤。想到了原因，接下來就有對策了。

1.1 重新認(rèn)識超幾何分布與二項分布的定義

超幾何分布的定義是這樣的：一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X=k}發(fā)生的概率為P（X=k）= ，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*。則稱隨機變量X服從超幾何分布。

二項分布的定義是這樣的：一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=（k=0，1，2，…，n），則稱X服從二項分布，記作X～B（n，p）。

由以上定義可知，二項分布與超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是無放回抽樣。一般來說，有放回抽樣與無放回抽樣計算的概率是不同的，特別在抽取對象數(shù)目不大時更是如此。所以，在解有關(guān)二項分布與超幾何分布問題時，仔細(xì)閱讀、辨析題目條件是非常重要的，我們要對含“取”或“摸”的題型加以分析，不能隨便濫用公式。

例如，某個袋中有10個形狀大小一樣的小球，其中有8個白球、2個黑球，從中隨機地抽取3次，每次取一個球，問：①有放回地抽取時，求取到黑球的個數(shù)X的分布列；②無放回地抽取時，求取到黑球的個數(shù)Y的分布列。像這種把放回與無放回放置在一起考查時，同學(xué)們是比較容易區(qū)別的，犯的錯誤也會較少。

1.2 二項分布滿足的條件以及與超幾何分布的區(qū)別

判斷一個隨機變量X是否服從二項分布可以從幾點進行：

一是各次試驗是相互獨立，互不影響的。

二是在每次試驗中事件A的發(fā)生只有兩種可能，要么發(fā)生，要么不發(fā)生。

三是在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率都是相同的。

一般滿足上述三點我們就可以大致判斷隨機變量是否服從二項分布。從前面的分析可以看出：有放回抽樣時，每次抽取時的總體沒有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是獨立重復(fù)試驗，此種抽樣是二項分布模型；而無放回抽樣時，取出一個則總體中就少一個，因此每次取到某物的概率時不同的，此種抽樣為超幾何分布。例如，前面的那道題目，甲同學(xué)能答對10道題中的6道，從10道中隨機抽出3道，其實就是不放回的抽取，第一次抽的結(jié)果會影響第二次抽（比如甲第一次抽他能答對相應(yīng)的概率為，第二次抽的時候只有9道題，他能答對的概率為），這與二項分布需滿足的條件是相矛盾的，所以甲同學(xué)答對的試題數(shù)X沒有服從二項分布的，故不能用二項分布的方法來解決，這是一個超幾何分布模型。

1.3 超幾何分布與二項分布的聯(lián)系

事實上，超幾何分布與二項分布還有著密切的聯(lián)系，樣本個數(shù)越大，超幾何分布與二項分布的對應(yīng)概率相差就越小，當(dāng)樣本個數(shù)為無窮大（足夠多）時，超幾何分布與二項分布對應(yīng)的概率就相等，換句話說，超幾何分布的極限就是二項分布。還有超幾何分布所涉及的樣本數(shù)目是具體的，所以只有掌握“有、無放回”及樣本個數(shù)“有限、無限”時所對應(yīng)的分布類型，才不會出現(xiàn)選擇方法上的錯誤。抓住了此類題目的主要區(qū)分點，我相信學(xué)生以后對于隨機變量服從什么樣的分布列，判斷一定會更加地準(zhǔn)確！

2 教學(xué)反思

這類題目讓我對學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)有了新的看法，不可否認(rèn)，學(xué)生計算能力的培養(yǎng)是重要的，可是讓學(xué)生搞清楚他們一些容易混淆或模糊不清的概念問題，對學(xué)生運算能力的培養(yǎng)也起著至關(guān)重要的作用，因此我們要弄明白學(xué)生為什么會犯錯，錯在哪里，解決措施是什么，也就是我們提出的“診療式”教學(xué)模式，體現(xiàn)了在教學(xué)過程中要以學(xué)生為主體的核心思想。