作為教師，對學生經(jīng)常提出的問題，我們很樂意給他們解惑.回答完學生問題后，是不是就完事了呢？答案當然是否定的.如果這樣，對于教師而言，雖然解決了學生的問題，若不能深入去思考的話，就可能錯失了一次教學相長，揭示問題本質的機會；對于學生而言，雖然問題解決了，若不能觸類旁通、舉一反三，就有可能下次遇到同類型題仍然不會.所以，我們應該充分利用好學生問題這一資源，通過對學生問題的探究，來激發(fā)學生學習的內(nèi)驅力，調(diào)動學生的思維參與度，進而根據(jù)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生領悟思想方法，真正的找出解決問題的思路和方法.下面是一位學生的問題，筆者對此題進行了變式探究，供大家參考.

問題 如圖1，⊙O的半徑是6，點A是圓上一定點，B是OA的中點，E是圓上一動點，以BE為邊構造正方形BEFG（B、E、F、G四點按照逆時針方向排列），當點E在⊙O上運動一周時，求點F運動軌跡圍成的圖形的面積.

解析 如圖2，過點O作OC⊥OA，交⊙O于C，取OC的中點I，連接OE，BF，BI，IF；

因為四邊形BEFG是正方形，所以∠EBF=45°，BFBE=2.因為△BOI是等腰直角三角形，所以∠I=45°，BIBO=2，所以BIBO=BFBE.因為∠EBF-∠F=∠I-∠F，所以∠EBO=∠FBI，所以△BIF∽△BOE，所以BFBE=IFOE=2，所以IF=2OE=62，所以點F的運動軌跡是以I為圓心、IF為半徑的圓，所以點F運動軌跡圍成的圖形面積為72π.

回答完學生的問題后，自己并沒有停止思考，而是繼續(xù)探究此問題，發(fā)現(xiàn)點G的運動軌跡也是圓，此時我感覺這其中可能隱含著什么奧秘.因此，筆者對此問題作出了如下的探究.1 通過改變結論中點F的位置，探究點的運動軌跡是否類似

變式1 原問題其他條件不變，將結論改為“求G的運動軌跡長.”

解析：如圖3，過點O作OC⊥OA，交⊙O于C，以OB為邊構造正方形BODI，連接OE，IG；

因為四邊形BEFG正方形，所以∠EBG=90°，BE=BG.因為四邊形BOID是正方形，所以∠OBI=90°，BO=BI.

因為∠EBG-∠OBG=∠OBI-∠OBG，所以∠EOB=∠IBG，所以△BOE≌△BIG，所以IG=OE=6，所以點F的運動軌跡是以I為圓心、IG為半徑的圓，所以點F運動軌跡長為12π.

探究1完成后，繼而反問自己，正方形頂點G的軌跡如此，那其中心H是否也一樣？

變式2 其他條件不變，將結論改為設為“求正方形BEFG中心H的運動軌跡長”.

解析 如圖4，在變式1的基礎上，連接BD，取BD中點I，連接OE，BH，IH.

易證BEBH=2，BOBI=2，所以BEBH=BOBI，又易證∠EBO=∠HBI，所以△BIH∽△BOE，所以BEBH=OEIH=2，

所以IH=22OE=32.因為點H的運動軌跡是以I為圓心、IH為半徑的圓，所以點H運動軌跡的長是62π.

完成變式1、2后，發(fā)現(xiàn)通過改變結論中點F的位置，點的運動軌跡完全類似.而題目條件里“點B是OA的中點”，點B位置有些特殊，不由想到如果改變點B的位置，點F的運動軌跡是否發(fā)生變化？2 通過改變條件中點B點位置，探究點的運動軌跡是否依舊

變式3 若點B是線段OA的三等分點（B靠近O），其他條件不變，求點F運動的路徑長.

解析 如圖5，過點O作OC⊥OA，交⊙O于C，在OC上取一點I，使得OI=13OC.連接OE，BF，IF，BI；

易證BFBE=2，BIBO=2，所以BFBE=BIBO，又易證∠EBO=∠FBI，所以△BIF∽△BOE.所以BFBE=IFOE=2，IF=2OE=62.所以點F的運動軌跡是以I為圓心、IF為半徑的圓，所以點F運動軌跡的長是122π.

變式3完成后，我又想了想，當點B是平面內(nèi)任意一點，這時的結論和方法是否有所改變呢？

變式4 若點B在AO延長線任意一點上，且AB=γOA，其他條件不變，求點F運動的路徑長.

解析 如圖6，過點O作IO⊥AB于O，且IO=OB，連接OE，BF，IF，BI.易證BFBE=2，BIBO=2；

所以BFBE=BIBO，又易證∠EBO=∠FBI，所以△BIF∽△BOE，所以BFBE=IFOE=2，IF=2OE=62.因為點F的運動軌跡是以I為圓心，IF為半徑的圓，所以點F運動軌跡的長是122π.

完成變式3、4后，我們可以驚喜的發(fā)現(xiàn)，點F運動軌跡長與γ的大小無關，也就是點B的位置對結論的結果沒有影響，那會不會是正方形BEFG的形狀特殊的原因呢？3 通過改變正方形BEFG的形狀，探究點的運動軌跡長是否變化

變式5 將題目中以“BE為邊構造正方形BEFG”改為“BE為邊構造等邊△BEF”，其他條件不變，求點F運動的路徑長.

解析 如圖7，以OB為邊構造等邊△BOI，連接OE，IB，IF.易證BE=BF，BO=BI，∠EBO=∠FBI，△BOE≌△BIE，從而IF=OE=6，所以點F的運動軌跡是以I為圓心，IF為半徑的圓，所以點F運動軌跡的長是122π.

完成變式5后，發(fā)現(xiàn)方法跟變式1很類似，是不是等邊三角形太特殊了呢？如果是矩形，會有改變嗎？

變式6 將以“BE為邊構造正方形BEFG”改為“BE為邊構造矩形BEFG，且BG=2BE”，其他條件不變，求點F運動的路徑長.

解析 如圖8，在⊙O上取一點I，過I作IO⊥AO于O，連接OE，BI，IF，BF；易證BFBE=5，BIBO=5，所以BFBE=BIBO，又易證∠EBO=∠FBI，所以△BIF∽△BOE.所以BFBE=IFOE=5，IF=5OE=65.因為點F的運動軌跡是以I為圓心，IF為半徑的圓.所以點F運動軌跡圍長是125π.

從變式5、6可以看出，此時形狀的改變，解答方式上與原題及變式?jīng)]有大多改變，點F的軌跡是圓也沒有改變，那么，原題和變式題的解題方法和本質又是什么呢？4 問題的本質揭示

4.1 抽絲剝繭，圖中尋找本質

為了更清晰地了解解題方法的本質，我從原題和變式的圖形中，去掉了原題和變式中的圓和一些線段，留下如下圖9—12.從圖9—12中我們驚喜的發(fā)現(xiàn)：圖9是兩個正方形旋轉后構成的相似三角形，圖10、圖12是兩個直角三角三角形的旋轉構成的相似三角形，圖11是兩個等邊構成的旋轉全等三角形！此時，本質出現(xiàn)了，原來都是通過旋轉圖形得到的兩個三角形相似.

解題方法：已知△BOE，OE=r，BFBE=n，∠EBF=α，將△BOE繞B點旋轉α度，且滿足BIBO=n，從而

△BIF∽△BOE，IF=nOE=nr，所以點F遠動軌跡長是以I為圓心，nr長為半徑的圓周長.

4.2 尋根覓源，本質的升華

從原題到變式，我們發(fā)現(xiàn)主動點E的軌跡是圓，被動點F的軌跡也是圓，我們已經(jīng)從圖9—12中歸納了這類解題方法，那么，我們的理論支撐是什么呢？能否證明呢？

如圖13，點A，C為定點，AC=d，點B在以A為圓心，定長r為半徑的圓上，直線BC外有一點D滿足

∠BCD=α且BC=nCD，則點D的運動軌跡是圓.

證明 將線段AC繞點C旋轉α得到CE，并且AC=nCE，從而ACCE=BCCD=n，∠ACB=∠ECD，所以

△ABC∽△EDC，故E是定點，ABED=n，ED=rn為定長.所以點D在以點C為圓心，rn為半徑的圓上運動.

通過變式、證明可以看出，關鍵在于找到定線段，主動點，被動點與旋轉角，方法是將定線段繞著定點同向旋轉α度，構成兩個旋轉后的相似三角形，且它們的相似比為n.5 反思與感悟

一方面，對數(shù)學問題變式探究，體現(xiàn)了數(shù)學思維的發(fā)散性、開放性與深刻性，體現(xiàn)了數(shù)學問題的延伸、解題的拓展，是對知識方法的進一步理解與深化.因此，對一道問題進行變式探究訓練，可借此機會告訴學生這類題如何思考和解決，有利于學生思維的發(fā)展與發(fā)散，也是數(shù)學教師必須具備的教學能力.經(jīng)常對學生進行問題的變式訓練，能夠提高學生解答同類問題的應變能力.

另一方面，解題不在多而在于深，膚淺的去解決許多問題，有可能會“好求多而不求甚解”.認真研究一個問題，從原問題中挖掘新問題，總結其本質和根源，以后遇到同類或者近似的問題就會從容面對，從而達到以一當十，觸類旁通的效果.

作者簡介 高紅濤（1983—），男，湖北紅安人，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學課堂教學研究，連續(xù)多年擔任初三教學工作，已發(fā)表論文10余篇.