劉支亮李明峰陸建華

（1.蘇州市測繪院有限責任公司，江蘇 蘇州215006;2.南京工業(yè)大學測繪科學與技術學院，江蘇 南京211816）

0 引 言

在逆向工程、工業(yè)檢測和工程測量中，圓柱面的擬合問題十分常見[1]。三維激光掃描技術突破了傳統(tǒng)單點測量模式[2]，與傳統(tǒng)圓柱面擬合數(shù)據(jù)獲取手段相比，三維激光掃描能夠快速獲取大量點云數(shù)據(jù)。通過圓柱面點云坐標數(shù)據(jù)的擬合處理，可得圓柱面在空間直角坐標系中的幾何方程。根據(jù)圓柱面的幾何關系，僅考慮觀測向量的隨機誤差，采用最小二乘（Least Squares，LS）原理，構建經(jīng)典的Gauss-Marko模型計算幾何參數(shù)是最常用的擬合算法[3-5]。實際上，受儀器、掃描環(huán)境和人員等因素影響，圓柱面擬合平差模型中所有觀測值都含有隨機誤差，即觀測向量與系數(shù)矩陣均存在誤差，這類模型稱為EIV（Errors-In-Variables）模型[6]?？傮w最小二乘（Total Least Squares，TLS）法除了考慮觀測值誤差，還顧及系數(shù)矩陣的誤差，能夠得到EIV模型的最優(yōu)估計[7-9]。加權總體最小二乘（Weighted TLS，WTLS）法[10]進一步考慮了觀測值點位精度的差異，并根據(jù)一定準則賦予權值參與求解，從而獲得更為可信的參數(shù)解。袁慶等[11]基于點位精度賦予權重，通過WTLS方法解算點云數(shù)據(jù)平面擬合參數(shù)。陳瑋嫻等[12]將WTLS方法應用于激光掃描球型標靶的擬合，根據(jù)點云激光回波強度特性確定先驗權，提高了參數(shù)解的精度。本文根據(jù)點到圓柱面的距離與點位精度的相關性，提出顧及距離的WTLS算法，即在迭代時自適應修正觀測值權，使得權值的確定更加可靠。同時，由于獲取的點云數(shù)據(jù)中不可避免存在粗差點，故以3倍距離標準差為閾值，剔除粗差點，構造穩(wěn)健的加權總體最小二乘（Robust Weighted TLS，RWTLS）圓柱面擬合算法，并通過實例數(shù)據(jù)驗證算法的有效性。

1 圓柱面擬合數(shù)學模型

圓柱擬合參數(shù)包括大小參數(shù)和定位參數(shù)。大小參數(shù)由圓柱的半徑?jīng)Q定，所以圓柱面的標準方程x2+y2=r2只有一個半徑參數(shù);定位參數(shù)由圓柱中軸線的位置和姿態(tài)參數(shù)兩部分構成。結合圓柱的標準坐標系與測量坐標系之間的關系，圓柱面的定位參數(shù)實質(zhì)上就是兩個坐標系的坐標轉換參數(shù)，中軸線位置參數(shù)即坐標系的平移參數(shù)，姿態(tài)參數(shù)即坐標系的旋轉參數(shù)。

圓柱標準坐標系與測量坐標系之間的轉換關系為:

由于標準坐標系在xoy平面內(nèi)投影是一個圓，x軸與y軸方向不需要嚴格指定，只需兩個旋轉參數(shù)εX、εY就能實現(xiàn)姿態(tài)參數(shù)的確定，此時εZ=0，z軸指向天頂方向。另外，標準坐標系的原點可為中軸線上任意一點，即只需兩個平移參數(shù)就可以確定位置，文中令。那么，原來所需求取的7個參數(shù)，實際只需要求取ΔX、ΔY、εX、εY、r共5個參數(shù)。

結合式（1），可構造目標函數(shù)為:

式（2）中，r為 圓 柱半 徑 （r＞ 0），R=，且

將式（2）在近似值（ΔX0、ΔY0、（εX）0、（εY）0、r0）處以泰勒級數(shù)展開，舍去二階及以上項，有:

則根據(jù)最小二乘原理，可列誤差方程為:

式（4）中，ξ表示參數(shù)向量的改正值，ξ=，V L表示觀測值誤差向量，B為系數(shù)矩陣，B=，L為觀測向量，

選取合適的參數(shù)初始值，求解參數(shù)向量改正值ξ，利用上次得到的參數(shù)近似值，加上本次迭代的ξ，作為新的近似值，重新計算ξ。經(jīng)迭代收斂，最后得到5個參數(shù)的最佳估值，進而可得圓柱方程。

2 RWTLS算法擬合圓柱面

2.1 WTLS算法基本原理

顧及系數(shù)矩陣的隨機誤差，建立系數(shù)矩陣與觀測向量均含有誤差的EIV模型，誤差方程為:

設觀測值誤差向量和系數(shù)矩陣誤差向量服從的如下分布:

式（6）中，vec（·）表示矩陣的拉直變換，V L和vec（V B）分別為觀測值和系數(shù)矩陣的誤差向量，Q L、Q B為對稱陣，Q L為觀測值的協(xié)方差陣，且Q L，系數(shù)矩陣的協(xié)因數(shù)陣Q B可以用行矩陣和列矩陣表示:

加權總體最小二乘估計準則為:

其中，v B=vec（V B）。

2.2 權陣的定義

激光點與對象越貼近，表明測量精度越高，兩者的相關性越強;反之，則說明受其他因素干擾較多，兩者相關性較弱[13]。因此，可通過激光點到圓柱面的距離確定該點的權重。根據(jù)標準圓柱方程，由式（9）計算各點到圓柱面的距離。再按式（10）將距離轉換成[0，1]的數(shù)值，并將其作為各點對應的權值P i。

式（9）—（10）中，D i為點到圓柱面的距離，max（D i）為點到圓柱面距離的最大值，δ為預設的一個小數(shù)值，通常取10-6，使P i不為0。那么，考慮每個點的點位精度差異，有系數(shù)矩陣B的行向量和觀測向量L權陣為。假設待求圓柱面擬合參數(shù)相互獨立，則系數(shù)矩陣的列向量權陣為單位陣，即P0=I5。

2.3 RWTLS求解及精度評定

利用Lagrange乘數(shù)法，可構造Lagrange目標函數(shù)為:

式（11）中，λ為Lagrange乘數(shù)子列向量?；谶x權迭代[14]的思想，利用Schaffrin B等[10]，[15]的求解算法，以3倍標準差作為閾值剔除粗差點，構造一種RWTLS算法。算法迭代計算步驟如下:

（1）由TLS解作為圓柱參數(shù)估值，計算點到圓柱面的距離，得到系數(shù)矩陣行向量和觀測向量的初始權陣

（2）計算RWTLS迭代初始值:

（3）利用前一次得到的參數(shù)近似值，加上本次的ξ（i）作為新的擬合參數(shù)近似值，更新誤差方程系數(shù)矩陣B和觀測向量L，依據(jù)2.2節(jié)中權陣定義，更新權陣和

（4）迭代更新相關值:

（5）計算ξ（i+1）:

（6）由式（15）計算點到圓柱中軸線的距離與圓柱半徑的較差d i、均值和標準差:

此時，圓柱面擬合單位權中誤差估值和擬合精度為:

3 實例分析

利用Leica ScanStation C10三維激光掃描儀對蘇州市太平天國忠王府某圓形立柱進行掃描，經(jīng)配準、去噪等預處理后，得到完整的圓柱面點云。通過簡化降低點云數(shù)據(jù)量，獲得實驗的原始點云數(shù)據(jù)（圖1）。分別利用LS、TLS、WTLS、RWTLS算法對圓柱面點云數(shù)據(jù)擬合，計算圓柱面擬合精度（表1）。

圖1 圓柱面點云數(shù)據(jù)分布圖

表1 點云數(shù)據(jù)擬合精度結果

由表1可知，幾種算法得到的最終擬合參數(shù)結果較為接近。RWTLS算法的單位權中誤差明顯優(yōu)于LS、TLS和WLTS算法，分別相對提高了45%、45%和27%。在圓柱面擬合精度方面，RWTLS算法比WTLS、TLS和LS算法精度更高，擬合效果最好。圓柱面擬合時，迭代過程直接解算的是參數(shù)向量改正值，數(shù)值上非常小，所以TLS算法與LS算法的單位權中誤差幾乎一致。WTLS算法顧及距離自適應調(diào)整權陣，具備一定抗差能力，單位權中誤差優(yōu)于TLS算法。由于點云數(shù)據(jù)中粗差的存在，自適應權陣無法反映在計算擬合精度中，使得WTLS解算的擬合參數(shù)精度反而低于TLS算法。而RWTLS算法除了能自適應修正權值，還能探測剔除粗差，可獲得更可靠的參數(shù)解，其擬合得到圓柱面的標準方程為x2+y2=0.023 313 7。

為說明本文算法的正確性，利用田曉等[5]的全站儀觀測數(shù)據(jù)進行驗證，得到ΔX=107.176 75 m，ΔY=225.396 40 m，εX=0°7'16.597 67″，εX=0°5'28.252 83″，r=0.124 08 m，擬合精度（即圓度的標準差[16]）為0.53 mm，遠優(yōu)于田曉等得到的0.92 mm。結果表明，本算法是有效的，且優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

4 結 語

（1）針對圓柱面點云數(shù)據(jù)的特點，根據(jù)圓柱面擬合的數(shù)學模型，提出了RWTLS圓柱面擬合算法，較好地顧及了不同掃描點精度的微小差異，削弱了異常值對圓柱面點云數(shù)據(jù)擬合的干擾，且可任意選取參數(shù)初始值。

（2）經(jīng)過工程實例數(shù)據(jù)計算，證明了在圓柱面點云數(shù)據(jù)擬合中RWTLS算法能有效避免粗差影響，得到準確可靠的擬合參數(shù)，擬合效果優(yōu)于傳統(tǒng)算法。盡管實例的圓形柱體近似垂直于地面，但算法亦適用于大旋轉角情形的柱體擬合，具有較強的工程應用價值。

（3）RWTLS解算的迭代過程較為繁瑣，且收斂速度較慢，如何優(yōu)化先驗定權的規(guī)則提高運算效率有待進一步研究。