甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣第八中學(xué)(730699) 白富榮

美國(guó)著名學(xué)家布魯姆曾說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有預(yù)料不到的結(jié)果,教學(xué)就不可能成為一門藝術(shù)．”只要教者善于啟發(fā)引導(dǎo),營(yíng)造輕松開(kāi)放的課堂氛圍,學(xué)生的思維還是很活躍的,也總會(huì)提出一些令人預(yù)料不到的問(wèn)題．在一節(jié)題為“特殊四邊形的面積問(wèn)題”的中考復(fù)習(xí)課中,學(xué)生的問(wèn)題就讓我始料未及......

一、課堂再現(xiàn)

師：還有什么四邊形的面積可以用兩條對(duì)角線乘積的一半來(lái)計(jì)算?

生1：正方形．因?yàn)檎叫问翘厥獾牧庑危?/p>

師：很好!還有什么四邊形呢?

學(xué)生陷入沉思......

圖1

師：我們不妨回顧下菱形這一面積公式的推導(dǎo)過(guò)程,你能從中發(fā)現(xiàn)什么?如圖1：因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直,所以有

生2：我知道了．菱形面積是被一條對(duì)角線分成的兩個(gè)三角形面積的和．因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直,所以以一條對(duì)角線為三角形的底邊,另一條對(duì)角線被交點(diǎn)分成的兩條線段正好是兩個(gè)三角形的高,所以才有這樣的結(jié)論．

師：好!我們繼續(xù)前面的問(wèn)題,相信這次你能找到其它四邊形了．

生3：箏形(兩組鄰邊相等的四邊形)．如圖2,因?yàn)楣~形是軸對(duì)稱圖形,它的兩條對(duì)角線互相垂直,面積計(jì)算方法同菱形,可以得出它的面積也等于對(duì)角線乘積的一半．

圖2

生4：這樣的話,只要一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直,它的面積就等于兩條對(duì)角線乘積的一半．

這時(shí)意料之外的事情發(fā)生了......

生5：那對(duì)角線互相垂直的凹四邊形也行嗎?

同學(xué)們笑了,看出來(lái)該生是在故意和生3對(duì)著說(shuō),想要駁倒他的意思．

我并沒(méi)有簡(jiǎn)單否定,而是讓大家畫圖探究,小組討論．這時(shí)有位同學(xué)肯定了凹四邊形也行,并給出了理由：

圖3

生6：如圖3所示,凹四邊形ABCD中,對(duì)角線BD與對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線互相垂直,垂足為點(diǎn)

同學(xué)們送上了掌聲．至此,學(xué)生們思維被徹底激活了......

生7：對(duì)角線互相不垂直的任意四邊形的面積又該怎樣算呢?它的面積還和對(duì)角線長(zhǎng)度有關(guān)嗎?

如圖4：任畫四邊形ABCD,連接對(duì)角線AC、BD.

圖4

生8：與前面一樣,還是通過(guò)對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積．分別過(guò)A、C兩點(diǎn)做BD的垂線,垂足分別為E、F．于是

師：這時(shí)四邊形的面積并不等于兩條對(duì)角線乘積的一半．那么,任意四邊形的面積還和兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度有關(guān)嗎?

生9：計(jì)算時(shí)用到了一條對(duì)角線,至于和另一條對(duì)角線的關(guān)系嗎(充滿疑惑和迷茫)?還沒(méi)看出來(lái)……

師：那么,兩條高和另一條對(duì)角線AC有關(guān)系嗎?

生10：我認(rèn)為有關(guān)系．因?yàn)閷?duì)角線AC被交點(diǎn)O分成了兩段OA和OC．而OA與AE是直角三角形OAE的斜邊和直角邊,OC和CF也是一樣的位置關(guān)系．

師：這位同學(xué)觀察的很細(xì)致!那么直角三角形的斜邊和直角邊的有何關(guān)系?

大多數(shù)同學(xué)首先提到勾股定理．這時(shí)我及時(shí)引導(dǎo)如下：

師：勾股定理反映的是直角三角形的三邊關(guān)系．請(qǐng)大家回想下,與直角三角形兩邊有關(guān)的內(nèi)容還有什么?

生11：我想到了!銳角三角函數(shù)．

師：你真聰明!那么我們不妨設(shè)兩條對(duì)角線的夾角為α.請(qǐng)大家運(yùn)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)分別在兩個(gè)直角三角形中列出AE、CF與OA、OC的關(guān)系．

生12：AE=OAsinα,CF=OCsinα.

由此可見(jiàn),任意四邊形的面積都和兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度及其夾角的大小有關(guān)．

二、課后反思

本來(lái)這只是一節(jié)特殊四邊形面積問(wèn)題的專題復(fù)習(xí)課,但課堂上的精彩生成令我興奮不已!對(duì)于這堂課,我有以下幾點(diǎn)思考：

1.課堂上必須營(yíng)造輕松和諧的課堂氛圍,建立融洽的師生關(guān)系． 孔子云：“知之者不如好之者,好之者不如樂(lè)之者．”興趣是最好的老師,一旦學(xué)生興趣激發(fā)出來(lái),讓學(xué)生樂(lè)學(xué)會(huì)學(xué),那么課堂教學(xué)就會(huì)呈現(xiàn)出勃勃生機(jī),獲得事半功倍之效．教師提出具有挑戰(zhàn)意味的情境或是巧設(shè)懸疑,往往能調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性,自覺(jué)地思考、分析、解決問(wèn)題．

2.教師不固守自封,墨守成規(guī),而是要善于引導(dǎo),耐心傾聽(tīng)每一位學(xué)生的想法．本課提出凹四邊形的那位學(xué)生看似是出風(fēng)頭,但恰恰說(shuō)明這位同學(xué)思維的廣闊性．如果我當(dāng)時(shí)沒(méi)有冷靜處理,而是簡(jiǎn)單否定,可能這位同學(xué)就會(huì)備受打擊,而且也不會(huì)有后續(xù)精彩問(wèn)題的生成．

3.數(shù)學(xué)是思維的體操．?dāng)?shù)學(xué)課堂上,師生首先要思維活躍,勇于突破自我．引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行深入思考,從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,拓展問(wèn)題．比如本課以學(xué)生熟悉的菱形面積計(jì)算公式為出發(fā)點(diǎn),再現(xiàn)公式的推導(dǎo)過(guò)程,從而讓學(xué)生明白菱形面積計(jì)算的原理就是把菱形通過(guò)對(duì)角線分成兩個(gè)三角形,一條對(duì)角線是公共底邊,另一條對(duì)角線被交點(diǎn)分成的兩條線段正好為高．在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生深入思考,大膽拓展,引出了一系列問(wèn)題,訓(xùn)練了學(xué)生思維的靈活性和廣闊性．