田紅亮,余媛,杜義賢

(三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,443002,湖北宜昌)

滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副具有運(yùn)動(dòng)靈敏度高、定位精度高、牽引力小、磨損小和潤(rùn)滑維修簡(jiǎn)便等優(yōu)點(diǎn),已逐漸取代了傳統(tǒng)的滑動(dòng)直線導(dǎo)軌副(重載機(jī)床除外),成為目前數(shù)控機(jī)床的重要功能部件。滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副通常連接工作臺(tái)和主軸箱,其動(dòng)力學(xué)特性直接影響機(jī)床的加工精度和加工效率,因此,對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行測(cè)試、建模和分析是機(jī)床整機(jī)動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ),對(duì)于數(shù)控機(jī)床的抗振性和穩(wěn)定性設(shè)計(jì)具有重要的作用。因?yàn)榛瑝K沿直線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的方向是工作方向,所以在進(jìn)行受力分析時(shí)不在此方向上施加力,視為在此方向上是固定約束[1]。

多年以來,科研人員在實(shí)驗(yàn)和理論上對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的接觸特性進(jìn)行了許多研究。例如:毛寬民等基于赫茲接觸理論分析了滾珠和滾道之間接觸量與接觸力的關(guān)系,將滑塊簡(jiǎn)化為一個(gè)剛體,建立了滑塊的動(dòng)力學(xué)方程[2],還將滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的可動(dòng)結(jié)合部視為一個(gè)獨(dú)立無質(zhì)量的八結(jié)點(diǎn)六面體單元,每個(gè)結(jié)點(diǎn)之間相互耦合,利用剛度影響系數(shù)法建立了動(dòng)力學(xué)模型[3];王禹林等通過將變形量和偏心載荷等效分解,實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)軌副5種靜剛度的同時(shí)測(cè)量[4];馬雅麗等分析了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副固有頻率與滾珠切向接觸剛度影響因素之間的關(guān)系,建立了綜合考慮切向與法向接觸剛度的滾珠接觸力學(xué)模型[5];田紅亮等借助赫茲點(diǎn)接觸形成橢圓接觸區(qū)域的計(jì)算機(jī)制,考慮外加法向工作總載荷和法向預(yù)緊力,構(gòu)建了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的運(yùn)動(dòng)結(jié)合部法向接觸力學(xué)模型[6];劉耀等建立了滾珠直線導(dǎo)軌副的圓柱面-球面結(jié)合面數(shù)學(xué)模型,用解析方法求解外載荷作用時(shí)結(jié)合面的變形,研究了不同外載荷作用下滾珠直線導(dǎo)軌副圓柱面-球面結(jié)合面的靜特性[7];孫偉等基于赫茲接觸原理,對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副進(jìn)行了赫茲接觸建模及接觸剛度求解[8];王民等建立了滾珠直線導(dǎo)軌副接觸剛度模型,基于赫茲接觸理論對(duì)滾珠和滾道的接觸面進(jìn)行了力學(xué)與變形分析[9]。在上述研究中,分析滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副接觸力學(xué)行為的方法有4個(gè)方面的不足:①文獻(xiàn)[1]認(rèn)為法向接觸變形隨法向外載荷的變化較好地符合冪函數(shù)規(guī)律,但文獻(xiàn)[7]認(rèn)為法向接觸變形與法向外載荷成指數(shù)關(guān)系;②沒有區(qū)分單個(gè)滾珠受到的預(yù)緊力與預(yù)載荷等級(jí)所對(duì)應(yīng)的總預(yù)緊力;③只計(jì)算了滾動(dòng)體與單個(gè)剛體的接觸變形量,而更合理的是將滑塊和直線導(dǎo)軌視為剛體,將滾珠視為彈性體,滑塊和直線導(dǎo)軌溝槽的半徑相等,這樣滾珠與滑塊溝槽之間的變形量等于滾珠與直線導(dǎo)軌溝槽之間的變形量[10];④只考慮了導(dǎo)軌副輕載時(shí)的情況,沒有分析導(dǎo)軌副重載時(shí)的情況。

本文考慮滾珠與滑塊、直線導(dǎo)軌的溝槽同時(shí)接觸,計(jì)算了滾珠的接觸變形量,對(duì)導(dǎo)軌副輕載時(shí)的各種靜力學(xué)特性參數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)計(jì)算,進(jìn)而計(jì)算了導(dǎo)軌副重載時(shí)的各種靜力學(xué)特性參數(shù),最后給出了導(dǎo)軌副輕載和重載時(shí)多種參數(shù)的完整表達(dá)式。

1 滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的接觸

1.1 外力小于臨界力時(shí)的改進(jìn)算法

滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副由直線導(dǎo)軌、滑塊和滾動(dòng)體(滾珠或滾柱)組成,用作直線運(yùn)動(dòng)導(dǎo)向和支承的部件。假設(shè)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副總共有4排通道溝槽,每排通道溝槽的滾珠數(shù)皆為N。滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的滑塊在垂直方向橫截面上的整體受力接觸情況如圖1所示,其中O1和O2分別為滑塊和直線導(dǎo)軌的靜平衡位置,z1和z2分別為滑塊和直線導(dǎo)軌向下的壓縮量,F為整個(gè)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副所受到的外力,Fu為直線導(dǎo)軌上排任意一個(gè)滾珠對(duì)滑塊的斜上支反力,Fl為直線導(dǎo)軌下排任意一個(gè)滾珠對(duì)滑塊的斜下支反力。

圖1 滑塊在垂直方向橫截面上的受力情形

如果4排滾珠在外力作用下始終處于壓縮狀態(tài),滑塊在垂直方向上的靜力平衡方程為

(1)

強(qiáng)調(diào)作用力和反作用力必須在同一直線上是牛頓第三定律的強(qiáng)形式。作用力與反作用力相等而方向相反,是以力的傳遞不需要時(shí)間即傳遞速度為無限大為前提的?；瑝K對(duì)直線導(dǎo)軌上排任意一個(gè)滾珠的斜下壓縮力

(2)

式中:H為赫茲類接觸剛度;δu為直線導(dǎo)軌上排任意一個(gè)滾珠在滑塊作用下的斜下壓縮量,也是該滾珠在直線導(dǎo)軌作用下的斜上壓縮量,故該滾珠的總壓縮量為2δu。

滑塊對(duì)直線導(dǎo)軌下排任意一個(gè)滾珠的斜上壓縮力

(3)

式中:δl為直線導(dǎo)軌下排任意一個(gè)滾珠在滑塊作用下的斜上壓縮量,也是該滾珠在直線導(dǎo)軌作用下的斜下壓縮量,則該滾珠的總壓縮量為2δl。

單個(gè)滾珠受到滑塊或直線導(dǎo)軌的預(yù)緊力

(4)

式中:δ0為單個(gè)滾珠在滑塊或直線導(dǎo)軌作用下的初始?jí)嚎s量,即該滾珠的總初始?jí)嚎s量為2δ0。

滾珠1和4在受預(yù)緊力前、后和在受外力時(shí)的變形協(xié)調(diào)情況如圖2所示。當(dāng)滾珠1承受外力后,因所受的壓縮力增大而繼續(xù)被壓縮,其壓縮變形量增大δ。當(dāng)滾珠4承受外力后,因所受的壓縮力減小而被放松,其壓縮變形量減小δ。

圖2 滾珠1和4的變形協(xié)調(diào)情況

由圖2可得

δ=2δu-2δ0=2δ0-2δl

(5)

由式(5)可得導(dǎo)軌副發(fā)生的垂直變形量[11]

z=δsinα=2(δu-δ0)sinα=2(δ0-δl)sinα

(6)

將式(2)～(4)代入式(5),得

(7)

(8)

(9)

將式(8)代入式(1),得

(10)

(11)

將式(9)代入式(1),得

(12)

將式(2)～(4)代入式(6),得

(13)

(14)

(15)

由式(14),得上排滾珠的接觸剛度

(16)

由式(15),得下排滾珠的接觸剛度

(17)

將式(11)除以式(14),得導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度

(18)

當(dāng)F從0開始增大時(shí),Fu也從F0開始增大(見式(10)),Fl從F0開始減小(見式(12))。當(dāng)下排滾珠剛好均不受載時(shí),有

Fl=0

(19)

將式(19)代入式(12),可求解出F,即臨界力

(20)

導(dǎo)軌副預(yù)緊一般通過調(diào)節(jié)鋼球直徑來實(shí)現(xiàn),而調(diào)節(jié)預(yù)緊力可以提高導(dǎo)軌副的初始接觸力,從而提高其剛性和定位精度。預(yù)載荷等級(jí)所對(duì)應(yīng)的每排滾珠所受到的總預(yù)緊力

(21)

將式(20)代入式(10),得

(22)

1.2 外力大于臨界力時(shí)的靜力學(xué)特性參數(shù)

當(dāng)F>Fc時(shí),Fl=0。將式(19)代入式(1),可得[12]

F=2NFusinα

(23)

(24)

將式(24)除以式(14),可得導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度

(25)

1.3 在整個(gè)外力范圍內(nèi)的靜力學(xué)特性參數(shù)

由式(13)得

(26)

由式(10)和式(23)得

(27)

由式(8)得

(28)

由式(16)得

(29)

由式(17)得

(30)

將式(18)和式(25)合寫為

(31)

2 滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的數(shù)值算例

THK公司生產(chǎn)的SHS-35R型商業(yè)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的主要技術(shù)參數(shù)如下:滑塊材料為淬透滾動(dòng)軸承鋼,彈性模量為206 GPa,泊松比為0.3;滾珠材料也為淬透滾動(dòng)軸承鋼,彈性模量為206 GPa,泊松比為0.3,半徑rb=3.175 mm;直線導(dǎo)軌材料為感應(yīng)淬火滾動(dòng)軸承鋼,彈性模量為206 GPa,泊松比為0.3;溝槽半徑系數(shù)f=0.52,接觸角為45°,溝槽數(shù)為4,每排滾珠數(shù)為12;基本額定動(dòng)載荷C=62.3 kN;預(yù)載荷等級(jí)Z1所對(duì)應(yīng)的總預(yù)緊力為0.01C,預(yù)載荷等級(jí)Z2所對(duì)應(yīng)的總預(yù)緊力為0.04C,預(yù)載荷等級(jí)Z3所對(duì)應(yīng)的總預(yù)緊力為0.07C。

2.1 預(yù)載荷等級(jí)對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響

(a)導(dǎo)軌副的垂直變形量-外力曲線

(b)導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度-外力曲線圖3 導(dǎo)軌副的靜力學(xué)特性曲線

圖3顯示了預(yù)載荷等級(jí)對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。從圖3a可見,在相同的外力作用下,預(yù)載荷等級(jí)越高,導(dǎo)軌副的垂直變形量就越小。從圖3b可見:當(dāng)外力小于臨界力(即每條曲線最低點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo),預(yù)載荷等級(jí)Z1、Z2、Z3對(duì)應(yīng)的臨界力分別為2 492、9 968和17 444 N)時(shí),隨外力增大導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度減小,因?yàn)檩^大的外力導(dǎo)致導(dǎo)軌副表現(xiàn)出明顯的阻尼特性,而導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度隨預(yù)載荷等級(jí)的提高而增大;當(dāng)外力大于臨界力時(shí),隨外力增大導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度增大,因?yàn)镕使Fu線性增大(參見式(23)),最終使導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度k增大(參見式(25)),但導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度與預(yù)載荷等級(jí)無關(guān)。

2.2 預(yù)載荷等級(jí)對(duì)單個(gè)滾珠受力的影響

圖4顯示了預(yù)載荷等級(jí)對(duì)單個(gè)滾珠受力情況的影響。從圖4a可見:隨外力的增大,上排滾珠的接觸壓力增大;在相同的外力作用下,當(dāng)外力小于臨界力時(shí),預(yù)載荷等級(jí)越高,則上排滾珠的接觸壓力越大(參見式(10)),而當(dāng)外力大于臨界力時(shí),上排滾珠的接觸壓力與預(yù)載荷等級(jí)無關(guān)(參見式(23))。從圖4b可見:隨外力的增大,下排滾珠的接觸壓力減小;預(yù)載荷等級(jí)越高,下排滾珠的接觸壓力就越大。

(a)上排滾珠接觸壓力-外力曲線

(b)下排滾珠接觸壓力-外力曲線圖4 預(yù)載荷等級(jí)對(duì)單個(gè)滾珠受力的影響

2.3 預(yù)載荷等級(jí)對(duì)單個(gè)滾珠剛度的影響

圖5顯示了預(yù)載荷等級(jí)對(duì)單個(gè)滾珠接觸剛度的影響。從圖5a可見:隨外力的增大,上排滾珠的接觸剛度增大;在相同的外力作用下,當(dāng)外力小于臨界力時(shí),預(yù)載荷等級(jí)越高,則上排滾珠的接觸剛度越大,而當(dāng)外力大于臨界力時(shí),上排滾珠的接觸剛度與預(yù)載荷等級(jí)無關(guān)。從圖5b可見,隨外力的增大,下排滾珠的接觸剛度減小。

(a)上排滾珠的接觸剛度-外力曲線

(b)下排滾珠的接觸剛度-外力曲線圖5 預(yù)載荷等級(jí)對(duì)單個(gè)滾珠接觸剛度的影響

2.4 接觸角對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響

(a)導(dǎo)軌副的垂直變形量-外力曲線

(b)導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度-外力曲線圖6 接觸角對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響

圖6顯示了預(yù)載荷等級(jí)為Z2時(shí)接觸角對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。從圖6a可見:當(dāng)外力小于臨界力時(shí),導(dǎo)軌副的垂直變形量隨接觸角的增大而減小;當(dāng)外力大于臨界力時(shí),導(dǎo)軌副的垂直變形量隨接觸角的增大而增大。從圖6b可見:導(dǎo)軌副的臨界垂直接觸剛度(最小值)與接觸角無關(guān)(參見式(31))。

2.5 滾珠數(shù)對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響

圖7顯示了預(yù)載荷等級(jí)為Z2時(shí)每排通道溝槽的滾珠數(shù)對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響,從中可以看出:隨滾珠數(shù)增加,導(dǎo)軌副的垂直變形量減小,垂直接觸剛度增大。

(a)導(dǎo)軌副的垂直變形量-外力曲線

(b)導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度-外力曲線圖7 每排溝槽滾珠數(shù)對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響

2.6 滾珠半徑對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響

圖8顯示了預(yù)載荷等級(jí)為Z2時(shí)滾珠半徑對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響,從中可以看出:隨滾珠半徑增大,導(dǎo)軌副的垂直變形量減小,垂直接觸剛度增大。

(a)導(dǎo)軌副的垂直變形量-外力曲線

(b)導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度-外力曲線圖8 滾珠半徑對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響

2.7 溝槽半徑系數(shù)對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響

主曲率

(32)

式中:M為積分模數(shù)e的平方[13],即

M=e2,0≤e≤1

(33)

K為第一類完全橢圓積分

(34)

E為第二類完全橢圓積分

(35)

赫茲系數(shù)

(36)

主曲率與溝槽半徑系數(shù)f之間的關(guān)系為

(37)

圖9顯示了預(yù)載荷等級(jí)為Z2時(shí)溝槽半徑系數(shù)對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。因?yàn)閒和μ都是M的函數(shù)(涉及到第一類完全橢圓積分K和第二類完全橢圓積分E,復(fù)雜的是,這2個(gè)定積分均沒有解析解),如果將M作為中間自變量,就可得到圖9a。產(chǎn)生圖9a的Matlab?R2009b程序代碼見附錄A(僅12行源代碼),e從0增大到1,步長(zhǎng)為0.000 1,即圖9a所示的曲線有10 000個(gè)點(diǎn),巧妙的是,通過源代碼第3行的一個(gè)函數(shù)ellipke輸出結(jié)果K和E,比文獻(xiàn)[6]所使用的函數(shù)ellipticK和ellipticE都高效,因?yàn)楹瘮?shù)ellipticK和ellipticE每次只能計(jì)算1個(gè)數(shù)據(jù),且使用for和and循環(huán)結(jié)構(gòu),導(dǎo)致程序運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)。

(a)赫茲系數(shù)-主曲率曲線

(b)導(dǎo)軌副的垂直變形量-外力曲線

(c)導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度-外力曲線圖9 溝槽半徑系數(shù)對(duì)導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響

根據(jù)圖9a和式(37),可建立μ與f之間的函數(shù)關(guān)系。例如:當(dāng)f=0.52時(shí),μ=0.634 4,不同于文獻(xiàn)[8]的μ=0.634和文獻(xiàn)[11-12]的μ=0.634 1;當(dāng)f=0.60時(shí),μ=0.850 7。由圖9a可知:當(dāng)F(ρ)=0.833 1時(shí),μ=0.762 1;當(dāng)F(ρ)=0.833 6時(shí),μ=0.761 5。因此,當(dāng)f=0.55,即F(ρ)=0.833 3時(shí),用線性插值法[14]可求得赫茲系數(shù)

(0.833 3-0.833 1)=0.761 9

同理,根據(jù)圖9a可知,當(dāng)F(ρ)=0.908 8時(shí),μ=0.665 7,當(dāng)F(ρ)=0.909 5時(shí),μ=0.664 5,故當(dāng)f=0.525,即F(ρ)=0.909 1時(shí),用線性插值法可求得赫茲系數(shù)

這與文獻(xiàn)[9]中的μ=0.665也有所不同。

從圖9b可見,導(dǎo)軌副的垂直變形量隨溝槽半徑系數(shù)的增大而增大;從圖9c可見,導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度隨溝槽半徑系數(shù)的增大而減小。

2.8 本文計(jì)算結(jié)果的驗(yàn)證

(a)劃分網(wǎng)格后的導(dǎo)軌副

(b)滾珠與滾道的接觸應(yīng)力

(c)滾珠與滾道的接觸變形量

(d)導(dǎo)軌副的垂直變形量-外力曲線

(e)導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度-外力曲線圖10 本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

為驗(yàn)證本文計(jì)算結(jié)果的正確性,建立了導(dǎo)軌副的有限元模型,網(wǎng)格劃分如圖10a所示。本文計(jì)算結(jié)果以及與其他文獻(xiàn)結(jié)果的比較見圖10(圖10b、10c所示的曲線都有100 316個(gè)點(diǎn))。從圖10b可見,滾珠與滾道之間的接觸應(yīng)力小于40 MPa。從圖10d可見,本文計(jì)算的導(dǎo)軌副垂直變形量略小于實(shí)驗(yàn)值,而采用有限元法所得的導(dǎo)軌副垂直變形量略大于實(shí)驗(yàn)值。從圖10e可見,本文計(jì)算的導(dǎo)軌副垂直接觸剛度在輕載時(shí)與實(shí)驗(yàn)值相差較大,這主要是因?yàn)槲墨I(xiàn)[11]中只有5個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(F分別為0、5、10、15、20 kN,0≤F/kN≤5屬于輕載,5

3 結(jié) 論

本文考慮滾珠與滑塊、直線導(dǎo)軌溝槽同時(shí)接觸,計(jì)算了滾珠的接觸變形量,對(duì)導(dǎo)軌副輕載時(shí)的多種靜力學(xué)特性參數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)計(jì)算,推導(dǎo)了導(dǎo)軌副重載時(shí)的各種靜力學(xué)特性參數(shù),獲得的具體結(jié)論如下。

(1)導(dǎo)軌副的垂直變形量隨預(yù)載荷等級(jí)的降低,滾珠數(shù)、滾珠半徑的減小或溝槽半徑系數(shù)的增大而增大。

(2)導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度隨滾珠數(shù)、滾珠半徑的增大或溝槽半徑系數(shù)的減小而增大。當(dāng)外力小于臨界力時(shí),導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度隨外力的增大而減小,隨預(yù)載荷等級(jí)的提高而增大;當(dāng)外力大于臨界力時(shí),導(dǎo)軌副的垂直接觸剛度隨外力的增大而增大。

(3)上排滾珠的接觸壓力隨外力的增大而增大。當(dāng)外力小于臨界力時(shí),上排滾珠的接觸壓力隨預(yù)載荷等級(jí)的提高而增大;當(dāng)外力大于臨界力時(shí),上排滾珠的接觸壓力與預(yù)載荷等級(jí)無關(guān)。下排滾珠的接觸壓力隨外力的增大或預(yù)載荷等級(jí)的降低而減小。

(4)上排滾珠的接觸剛度隨外力的增大而增大。當(dāng)外力小于臨界力時(shí),上排滾珠的接觸剛度隨預(yù)載荷等級(jí)的提高而增大;當(dāng)外力大于臨界力時(shí),上排滾珠的接觸剛度與預(yù)載荷等級(jí)無關(guān)。下排滾珠的接觸剛度隨外力的增大而減小。

附錄A 生成圖9a的Matlab程序代碼

e=0:0.0001:1;

M=e.∧2; %式(33)

[K,E]=ellipke(M); %式(34)和式(35)

F=1+2*(1-M)./M.*(E-K)./E; %式(32)

mu=2*K/pi.*(pi*(1-M)./(2*E)).∧(1/3);

%式(36)

plot(F,mu,‘-black’,‘LineWidth’,1) %黑色實(shí)線,線寬為1 point

set(gca,‘XTickLabel’,{0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ‘1.0’}) %在小豎線下面標(biāo)注數(shù)值

set(gca,‘YTickLabel’,{0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ‘1.0’})

box off %使當(dāng)前坐標(biāo)框敞開

xlabel(‘itF m(itρ m)’) %it為斜體,rm為正體

ylabel(‘itμ’)

set(gcf,‘color’,‘white’) %使當(dāng)前坐標(biāo)框外部的顏色為白色