劉超,方宗德

(西北工業(yè)大學機電學院,710072,西安)

機械優(yōu)化設計中普遍存在著目標函數(shù)為隱性甚至是完全未知的情況,這給該優(yōu)化問題的數(shù)學建模帶來了極大困難。例如,在齒輪驅(qū)動渦扇發(fā)動機(geared turbofan engine,GTF)減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設計中,由于整體剛度很難用解析方法求得,通常采用有限元分析(FEA)方法進行計算,因此剛度目標函數(shù)在優(yōu)化前很難表示為明確的函數(shù)關(guān)系式[1]。再如,在指尖密封性能多目標優(yōu)化設計中,結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)與響應變量間的函數(shù)關(guān)系是隱性的,同樣需要進行FEA計算以確定對應結(jié)構(gòu)條件下的磨損率和泄漏率(即目標函數(shù))[2-3]。在這類隱性優(yōu)化問題中,機械裝配體的幾何結(jié)構(gòu)和相互作用關(guān)系較為復雜,且常表現(xiàn)出高度非線性特性等,此外,常規(guī)的解析方法很難描述隱性目標函數(shù)的關(guān)系式,因而通常采用FEA方法求解系統(tǒng)響應(例如變形量、剛度、強度、接觸應力及摩擦因數(shù)等)。

圖1 復雜機械裝配體嵌入?yún)?shù)化FEA的響應面優(yōu)化設計流程

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡[4]可以有效構(gòu)造系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系以替代真實的隱性目標函數(shù),遺傳算法[5]可以巧妙避開隱性目標函數(shù)的數(shù)學建模而直接進行迭代優(yōu)化,因此這2種方法對常規(guī)隱性優(yōu)化問題具有一定的適用性。然而,對于本文的這類典型隱性問題而言,由于優(yōu)化算法需要進行多次迭代以獲得最優(yōu)解,而采用這2種方法進行優(yōu)化需要大量的計算資源以獲得FEA結(jié)果,這無疑會降低優(yōu)化設計的效率。響應面法(response surface method,RSM)[6]通過在設計空間內(nèi)科學地選取試驗點,能夠有效減少有限元計算次數(shù),進而提高整體優(yōu)化效率,因此對求解本文的典型隱性優(yōu)化問題具有優(yōu)越性。張春宜等應用多重響應面法對航空發(fā)動機渦輪葉片進行了可靠性分析[7],李興泉等基于響應面法對液力變矩器葉片進行了優(yōu)化設計[8],汪建等運用響應面法擬合了齒輪修形量與動態(tài)傳遞誤差波動量間的函數(shù)關(guān)系[9],王楓等應用響應面法對小型活塞式壓縮機的曲軸進行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計[10]。目前,響應面法多應用于單一構(gòu)件或簡單機構(gòu)的優(yōu)化設計,而對于大型復雜機械裝配體嵌入FEA計算的響應面優(yōu)化設計方法,尚需進行更加深入的研究與總結(jié)。

本文針對復雜機械裝配體的隱性優(yōu)化問題,提出了一種基于統(tǒng)計學理論的響應面優(yōu)化方法,并以GTF減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設計為案例,詳細闡述了該方法的求解思路與基本過程,最后深入討論了該方法在工程應用方面的適用性與優(yōu)越性。

1 理論分析

圖1所示為復雜機械裝配體嵌入?yún)?shù)化FEA的響應面優(yōu)化設計流程。由于采用FEA方法求解復雜機械裝配體的響應值需要大量的計算資源,因此首先應建立裝配體系統(tǒng)的參數(shù)化FEA程序,這樣不但可以大大節(jié)省有限元的建模時間從而有效提高整體優(yōu)化效率,還可以降低因人為操作而引入的模型誤差。整個設計流程主要包括試驗設計(DOE)過程、RSM建模過程及數(shù)學優(yōu)化過程3個階段,現(xiàn)詳細分析如下。

(1)試驗設計的目的是確定設計變量。首先選擇出對響應值影響較大的若干個影響因子,并采用兩水平完全正交方法進行抽樣,獲得多組取值不同的輸入?yún)?shù)組合,再通過多次調(diào)用參數(shù)化的FEA程序求得多組對應的輸出響應值組合,據(jù)此對各影響因子進行析因設計,最終確定優(yōu)化問題的設計變量。

(2)RSM建模過程的目的是確定目標函數(shù)。在復雜機械裝配體的隱性優(yōu)化問題中,由于系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)及相互作用關(guān)系過于復雜,響應變量通常采用FEA方法求解,因此這類問題的目標函數(shù)在優(yōu)化前是未知的,很難用明確的函數(shù)進行描述,從而給相應的數(shù)學建模帶來極大的困難。本文采用RSM構(gòu)建相應的目標函數(shù)表達式:首先采用優(yōu)化的拉丁超立方方法在可行域內(nèi)進行科學的抽樣,從而獲得多組取值不同的輸入?yún)?shù)組合;多次調(diào)用參數(shù)化的FEA程序獲得這些參數(shù)組合所對應的輸出響應值;結(jié)合試驗設計的響應結(jié)果,再根據(jù)統(tǒng)計學理論建立設計變量與響應變量間的函數(shù)關(guān)系式,從而確定優(yōu)化問題的目標函數(shù)。

(3)通過試驗設計與RSM建模,可最終確定本文優(yōu)化問題的數(shù)學模型。最后,對所建立的數(shù)學模型進行求解,得到最優(yōu)參數(shù)下的機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng),為復雜裝配體的后續(xù)分析與設計提供理論保障。

2 GTF減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化設計案例

GTF不僅成為了新一代民用發(fā)動機的主要發(fā)展方向之一,同時也在軍用航空動力領(lǐng)域表現(xiàn)出了誘人的應用潛力[11-12]。齒輪減速器作為GTF的核心部件,其均載特性極大地影響著整個發(fā)動機的動態(tài)性能。圖2為某型號GTF齒輪減速器的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖2 某型GTF齒輪減速器結(jié)構(gòu)示意圖

為了保證這種減速器的均載設計,通常要求支撐該減速器的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(主要指圖2中星型架與力矩器的復雜裝配體)在滿足構(gòu)件強度要求的同時能提供最優(yōu)的剛度,以保證各對齒輪在高速大載荷工況下仍能按照理論設計規(guī)律相互嚙合,進而確保最佳的嚙合性能。然而,由于該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的幾何構(gòu)型及其所包含的非線性耦合關(guān)系非常復雜,使得傳統(tǒng)的解析方法很難描述隱性的剛度目標函數(shù),通常只能采用FEA方法進行計算。因此,在GTF的眾多核心技術(shù)中,齒輪減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設計無疑成為了重點和難點之一。

下面將以GTF減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設計為案例,詳細闡述本文方法。

2.1 參數(shù)化的FEA計算模型

顯然,傳統(tǒng)的手動FEA流程是不可取的,這是因為過多的人工干預會使得整個優(yōu)化過程耗時費力,因此,建立參數(shù)化的FEA模型具有重要意義。案例采用Python語言在Abaqus平臺上進行編程,可實現(xiàn)FEA從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的三維實體建模到求解計算、再到結(jié)果后處理的自動化運行。整個FEA流程無需人工干預,只需在應用時根據(jù)優(yōu)化要求控制相應的輸入?yún)?shù),即可在程序運行結(jié)束后獲得裝配體的FEA響應結(jié)果。

GTF減速器在實際工作時,其力矩器通過螺栓固定在機架上,星型架通過銷釘與力矩器相連,因此星型架也是相對固定的。輸入軸通過花鍵與中心輪相連,中心輪通過輪齒與5個星型輪外嚙合。各星型輪的輪軸安裝在星型架上,因此,5個星型輪只能繞各自的軸線轉(zhuǎn)動。各星型輪再通過輪齒與柔性齒圈內(nèi)嚙合,所產(chǎn)生的嚙合力使得內(nèi)齒圈繞其軸線轉(zhuǎn)動。內(nèi)齒圈通過螺栓與輸出軸相連,從而將運動傳遞出去。根據(jù)上述GTF減速器的基本工作原理[13-16],可建立其結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)化FEA模型,如圖3所示。建模要點總結(jié)如下。

(a)結(jié)構(gòu)裝配關(guān)系

(b)載荷與邊界條件

(1)根據(jù)基本的幾何尺寸建立星型架與力矩器的三維模型。力矩器保留了主要的倒角特征以獲得準確的FEA結(jié)果;星型架上去除了油孔以及倒角等微小特征,因為這些特征對結(jié)果不會有顯著影響,反而會增加FEA的計算量。各齒輪輪軸采用三維線單元模擬。各軸承采用三維等效彈簧模擬,彈簧的剛度取軸承的實際支承剛度。根據(jù)各零部件的材料屬性,分別定義相應的彈性模量、泊松比及密度等。

(c)有限元網(wǎng)格模型圖3 GTF減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)化FEA模型

(2)根據(jù)各零部件的裝配關(guān)系對該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行組裝。力矩器的法蘭面采用位移全約束,即約束法蘭面上各節(jié)點在空間內(nèi)的6個自由度。星型架通過銷釘與力矩器上的“手指”相連。為簡化模型,銷釘與星型架固連在一起,且銷釘與“手指”上的銷孔通過面面接觸定義其相互作用關(guān)系。軸承等效彈簧的一端與星型架上的軸承孔內(nèi)表面耦合,另一端與星型輪輪軸上的支撐點耦合。在三維軸線上的星型輪輪心處分別施加集中力,以模擬嚙合齒對間的法向嚙合力,該力通過三維齒輪軸線、等效軸承彈簧、星型架及銷釘傳遞到“手指”上,并最終與力矩器法蘭面上的固定支反力相平衡。此外,給定星型架一微小的徑向位移(見圖3b),用于模擬減速器的不平衡力所產(chǎn)生的裝配體彎曲變形,由該變形量最終可求得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體剛度。

(3)采用Abaqus中的C3D4單元(三維四節(jié)點四面體線性單元)模擬三維幾何實體,同時采用B31單元模擬三維齒輪軸線。應用Abaqus自由網(wǎng)格技術(shù)對整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行網(wǎng)格劃分,以實現(xiàn)參數(shù)化的建模要求。眾所周知,隨著有限元模型網(wǎng)格數(shù)量的增多,位移近似解將收斂于精確解。然而,過度地增加網(wǎng)格密度不僅會大大增加單元劃分時間及方程求解時間,有時還會因計算的累積誤差而降低求解精度。因此,案例綜合考慮計算效率及計算精度等因素,最終選擇了恰當?shù)娜志W(wǎng)格種子密度,并對重點關(guān)心的幾何特征(如力矩器“手指”根部倒角及銷孔的接觸面等)進行了局部網(wǎng)格加密,從而獲得了高質(zhì)量的網(wǎng)格模型。整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)化FEA模型包含約28萬個節(jié)點和140萬個單元。案例關(guān)心的是該結(jié)構(gòu)裝配體的長期變形效應,故采用AbaqusStandard中的“General,Static”分析步進行求解。

2.2 析因設計

盡管該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所包含的幾何尺寸較多,但由于減速器中的各幾何尺寸間存在相互制約關(guān)系,因此該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上可供優(yōu)化的幾何參數(shù)非常有限。基于整體設計的概念,在主要零部件(如齒輪、軸承等)的設計工作結(jié)束后即可基本確定該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可供優(yōu)化的幾何參數(shù)。此外,根據(jù)該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在實際工作時的受力情況進行初步判斷,影響系統(tǒng)剛度和強度的幾何尺寸主要位于力矩器的“手指”部分及星型架的軸承孔。綜合以上考慮,選取如圖4所示的6個幾何參數(shù)作為影響因子參與析因設計。

圖4 析因設計的影響因子

析因設計的目的是從眾多的影響因子中確定出參與優(yōu)化的設計變量。對這6個影響因子進行兩水平完全正交抽樣,共可獲得70組取值不同的幾何參數(shù)的組合。如圖1所示,將這些組合中的幾何參數(shù)的取值分別傳入第2.1節(jié)中所建立的參數(shù)化FEA模型并運行程序,可最終求得相應的70組FEA響應結(jié)果。

案例以該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的銷釘與銷孔處的接觸應力p、最大von Mises等效應力s以及系統(tǒng)整體剛度k作為響應變量,各影響因子及其交互作用對各響應變量的Pareto效應如圖5所示。圖中橫坐標“標準化效應”表示各效應的t檢驗所獲得的t值的絕對值,縱坐標按標準化效應值的大小從高到低對各效應項依次排列[17]。根據(jù)選定的顯著性水平α=0.05,給出了t值的臨界值2.01,絕對值超過臨界值的效應為顯著效應。由圖5可知,對銷釘與銷孔處的接觸應力p、最大von Mises等效應力s和系統(tǒng)整體剛度k影響較大的幾何參數(shù)是h、R1、R2和R3,故考慮將這4個參數(shù)作為本例優(yōu)化問題的設計變量。

2.3 響應面模型的建立

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的主要功能是為整個減速器提供足夠的剛度,以保證每對嚙合副都能在理論工作位置處正確嚙合,因此在該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設計中,通常以星型架和力矩器的整體剛度為優(yōu)化目標。然而,經(jīng)計算發(fā)現(xiàn),該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的強度屬于危險指標,其最大von Mises等效應力超出了構(gòu)件的許用應力。為了使構(gòu)件不致失效,首先以結(jié)構(gòu)的強度為主要優(yōu)化目標,在保證構(gòu)件強度的條件下盡量使得整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度有一定的提升。

根據(jù)該裝配體的基本幾何尺寸及其復雜的裝配關(guān)系,可確定4個設計變量的取值范圍如下

(1)

(a)接觸應力p

(b)最大von Mises等效應力s

通常,樣本容量過小會導致樣本信息失真,而樣本容量過大可能會造成樣本信息間的互相干擾,不利于獲得具有統(tǒng)計規(guī)律的結(jié)論。因此,案例采用優(yōu)化的拉丁超立方抽樣方法,在式(1)所示的可行域內(nèi)得到60個采樣點,即60組不同的設計參數(shù)。如圖1所示,將每組參數(shù)值代入第2.1節(jié)中建立的參數(shù)化FEA模型并運行程序,可最終求得相應的60組FEA響應結(jié)果。結(jié)合析因設計中的70組結(jié)果,共計有130組樣本信息,以此樣本對GTF減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的強度進行響應面設計不但可以提高統(tǒng)計精度,還可以提高優(yōu)化效率。

(c)系統(tǒng)整體剛度k圖5 標準化效應的Pareto圖

根據(jù)求得的130組s響應值,采用二次多項式函數(shù)來擬合設計變量R1、R2、R3與目標函數(shù)s之間的函數(shù)關(guān)系式,并以此作為初始響應面模型,再通過回歸分析方法不斷修正該模型,直至達到精度要求(通常取顯著性水平α=0.05,即方差分析的置信水平為95%)。案例最終確定的最大von Mises等效應力s的響應面模型為

s=386 302-12 105R1+620R2+1 106R3+

68.1R1R1+2.63R1R2-4.58R1R3-3.892R2R3

(2)

表1 最大von Mises等效應力s的響應面模型的方差分析結(jié)果

圖6所示為式(2)的三維響應曲面(保持值選定為設計變量取值范圍的中心點)。

(a)保持R3=214 mm

(b)保持R2=194 mm

(c)保持R1=92.5 mm圖6 最大von Mises等效應力s的三維響應曲面

2.4 優(yōu)化模型及結(jié)果

結(jié)合式(1)與式(2),可得GTF減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化設計的數(shù)學模型

(3)

式(3)是一個多元函數(shù)含約束條件的優(yōu)化問題。對式(3)進行數(shù)值優(yōu)化,可得該問題的局部最優(yōu)解為:R1=92.67 mm;R2=188.00 mm;R3=220.00 mm;最大von Mises等效應力s在設計變量取值范圍內(nèi)的最小值smin=558.92 MPa。圖7所示分別為參數(shù)R1、R2、R3與s間的關(guān)系。

(a)R1與s

(b)R2與s

(c)R3與s圖7 設計變量與響應值s的關(guān)系曲線

3 案例驗證及討論

為了考察本文方法在上述案例應用中的準確性,現(xiàn)以所得的GTF減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的最優(yōu)幾何參數(shù)重新建立精確的有限元模型,并將求解后的結(jié)果與響應面數(shù)值優(yōu)化結(jié)果進行比較。

將局部最優(yōu)解代入第2.1節(jié)建立的參數(shù)化FEA模型中并運行程序,所得的主要結(jié)果如圖8所示。

(a)力矩器的等效應力云圖

(b)星型架的接觸應力云圖

(c)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的等效應力云圖圖8 最優(yōu)幾何參數(shù)下的有限元仿真結(jié)果

在最優(yōu)幾何參數(shù)下,有限元計算結(jié)果與等效應力s的響應面優(yōu)化結(jié)果的對比見表2,可知響應面優(yōu)化模型與精確有限元模型所計算的最大von Mises等效應力之間的相對誤差為5.92%,從而驗證了本文方法獲得的響應面模型的正確性。

表2 最優(yōu)幾何參數(shù)下s的有限元仿真與數(shù)值優(yōu)化結(jié)果對比

從2.1節(jié)中的案例建模過程可以看出,構(gòu)成GTF減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的星型架和力矩器的幾何結(jié)構(gòu)本身很復雜,加之該裝配體中存在非線性的接觸或耦合關(guān)系,且其所承受的邊界條件和載荷情況也非常復雜,因此,常規(guī)隱性優(yōu)化算法在求解此類復雜工程問題時,由于在迭代中需要多次調(diào)用有限元計算以獲得最優(yōu)解,會導致優(yōu)化效率大幅下降。然而,上述算例驗證的結(jié)果表明,本文方法在保證計算精度的前提下,其內(nèi)嵌的參數(shù)化FEA流程及科學的DOE設計能有效提高優(yōu)化效率,從而對此類復雜機械裝配體的隱性優(yōu)化問題具有更好的適用性。

由圖8可知,所得的最優(yōu)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上的最大von Mises等效應力發(fā)生在銷釘與銷孔的接觸面上以及力矩器的“手指”根部,因此在進行強度校核時,應對這2處危險部位分別校核。由于受力類型不同,在接觸面上主要受接觸應力,故應以接觸應力來校核,而力矩器指根部主要受彎曲應力和拉應力的綜合作用,故可以用von Mises等效應力來校核。按照齒輪接觸強度校核標準,該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所受最大接觸應力遠小于許用接觸應力(1 200 MPa)。需要說明的是,盡管本例所計算的該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上的最大von Mises等效應力為594.12 MPa,但該應力作用于銷釘與銷孔的接觸面上而并非作用于力矩器的指根部。根據(jù)構(gòu)件的強度校核條件

(4)

力矩器指根部位的等效應力(437.51 MPa)遠小于許用應力(516.66 MPa),故該力矩器滿足強度條件,這說明本文方法確定的GTF減速器的最優(yōu)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)安全可靠,滿足工程使用要求。

將案例的響應面優(yōu)化結(jié)果與優(yōu)化前的模型仿真結(jié)果進行對比(見表3),可知優(yōu)化后模型的剛度比優(yōu)化前的剛度提高了7.13%,最大等效應力和最大接觸應力分別降低了12.15%和18.99%,說明經(jīng)本文方法優(yōu)化后該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體工作性能得到了大幅度提升。

表3 減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化前后仿真結(jié)果對比

4 裝配體響應面方法的特點及應用

從上述算例可以看出,本文方法具有以下特點。

(1)與單一構(gòu)件或簡單機構(gòu)的響應面方法不同,本文方法主要針對多個零部件所構(gòu)成的復雜機械裝配體。這類多體系統(tǒng)不僅幾何構(gòu)型較為復雜,且其構(gòu)件間的相互作用關(guān)系常伴有高度非線性特性(如接觸、摩擦及動態(tài)耦合等),所以常規(guī)解析方法很難描述此類隱性優(yōu)化問題的目標函數(shù),故常選擇FEA方法進行求解。例如,在GTF齒輪傳動系統(tǒng)的減振降噪設計中,復雜的裝配體結(jié)構(gòu)不僅包含了非線性的輪齒接觸關(guān)系,還涉及到柔性輸入、輸出軸和軸承系統(tǒng)的相互耦合作用,而本文方法可用于求解齒輪減速器動態(tài)傳遞誤差目標函數(shù)的優(yōu)化問題。

(2)常規(guī)優(yōu)化算法的多次迭代搜索需要大量有限元計算資源以獲得最優(yōu)解,而本文方法集成的DOE設計及RSM設計在保證計算精度的前提下能有效節(jié)省計算成本,從而提高整體優(yōu)化效率,因此本文方法更適合于求解計算量較大的隱性優(yōu)化問題。例如,在指尖密封性能多目標優(yōu)化設計中,為了獲得磨損率與泄漏率的大樣本容量信息,往往需要上千次的FEA計算,而本文方法能有效求解該優(yōu)化問題并大幅提升設計效率。

(3)內(nèi)嵌式的參數(shù)化FEA流程使得本文方法可選擇的設計變量的類型以及可求解的隱性目標函數(shù)的類型更加豐富。事實上,在參數(shù)化的FEA流程中,模型的結(jié)構(gòu)尺寸、材料屬性及接觸屬性等均可作為設計變量,而通過FEA獲得的剛度、強度、接觸應力、彈塑性變形量、熱效應以及動態(tài)位移響應等均可作為目標函數(shù),這使得本文方法在工程實際中具有更強的適用性。例如,在大型電除塵器底梁及支架裝配體的輕量化設計中,復雜的鋼結(jié)構(gòu)具有多變的載荷工況及邊界條件,本文方法適用于該系統(tǒng)的質(zhì)量優(yōu)化問題,從而可獲得最優(yōu)的構(gòu)件截面尺寸、材料密度、彈性模量及泊松比等。

正是由于以上特點,本文方法在實際工程應用方面具有一定的優(yōu)越性及使用價值,能為更多的機械結(jié)構(gòu)設計提供便利。

5 結(jié) 論

對于GTF減速器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設計案例,本文提出的參數(shù)化的FEA程序可自動實現(xiàn)有限元前、后處理及分析計算等全過程;兩水平全因子正交試驗設計方法確定的設計變量合理有效;建立的最大von Mises等效應力的響應面模型正確,優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體剛度較優(yōu)化前提高了7.13%,最大von Mises等效應力和最大接觸應力分別降低了12.15%和18.99%,有效提高了該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的工作性能。

本文提出的復雜機械裝配體的響應面優(yōu)化設計方法是一種可行、高效的隱性優(yōu)化方法,具有一定的普適性和優(yōu)越性,能為更多的工程優(yōu)化問題提供設計參考及解決方案。