鄭盟錕1)2)? 尤力1)2)?

1)(清華大學(xué)物理系,低維量子物理國家重點實驗室,北京 100084)

2)(量子物質(zhì)科學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100084)

1 引 言

目前世界上最精密的物理量測量(包括時頻標(biāo)準(zhǔn)和引力波的探測)大多是通過干涉實驗完成的.例如激光干涉引力波天文臺(LIGO)就是一個臂長4 km的光學(xué)腔增強Michelson光學(xué)干涉儀[1].而所謂的原子鐘則是利用原子內(nèi)態(tài)干涉測量其量子波函數(shù)的時間相位來修正電磁波(時鐘)頻率的一種科學(xué)裝置.一個雙模干涉儀的基本工作原理如下:用于探測某物理量的信息載體粒子相干地處于兩條路徑或內(nèi)態(tài)的疊加態(tài),兩條路徑的相對光程變化或者內(nèi)態(tài)的相對時間相位受到待測物理量的影響而改變,這個相位差θ可以通過將兩條路徑(內(nèi)態(tài))合束干涉而測定.干涉實驗的一個重要考量是在有限的測量資源(例如時間和總粒子數(shù))下實現(xiàn)盡可能小的相位測量不確定度?θ.后者由技術(shù)(經(jīng)典的)和基礎(chǔ)(量子的)噪聲決定.在一個理想的、不存在技術(shù)噪聲的雙路徑干涉儀中,如果參與干涉測量的N個粒子之間沒有關(guān)聯(lián)或者只具備經(jīng)典的關(guān)聯(lián),那么相位測量的不確定度最終將受限于所謂的經(jīng)典極限,也叫作標(biāo)準(zhǔn)量子極限(standard quantum limit,SQL).LIGO和世界上最先進(jìn)的原子鐘的測量不確定度目前都已經(jīng)逼近這一極限.那么,為什么不通過簡單增加參與干涉實驗的粒子數(shù)來提高測量精度呢?一般而言,所有實驗資源都是有限的,總會存在某種技術(shù)原因限制了參與干涉的粒子數(shù).例如,在LIGO的實驗中,參與干涉的光子數(shù)目主要受限于光學(xué)腔的反射鏡鍍膜的光強承受能力.而在原子鐘實驗中,由于原子間的碰撞會改變能級的躍遷頻率,原子過多帶來的碰撞效應(yīng)反而會降低原子鐘的準(zhǔn)確度.

幸運的是,標(biāo)準(zhǔn)量子極限并不是量子物理允許的終極極限.量子計量研究的一個重要方向就是探索如何利用量子資源,例如量子糾纏或量子噪聲壓縮等,來實現(xiàn)超越經(jīng)典極限的測量精度.反過來,基于量子關(guān)聯(lián)的量子計量研究又能加深我們對多粒子量子糾纏態(tài)基本性質(zhì)的理解.特別是對超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限研究有價值的量子態(tài)一般由幾千個甚至上百萬個粒子組成,想要對每個粒子的量子態(tài)進(jìn)行獨立的操控和探測,并由此獲得包含所有粒子信息的完整量子波函數(shù)的想法是不現(xiàn)實的.在量子計量實驗中,人們往往只關(guān)注對所有粒子等同的集體調(diào)控和測量.在這種情況下,如何利用有限的集體測量結(jié)果表征一個多體系統(tǒng)的糾纏性質(zhì)變成了一個很重要的問題,這也是量子計量領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容.

可實現(xiàn)超越經(jīng)典極限測量精度的量子糾纏態(tài)包括自旋壓縮態(tài)[2?10],NOON態(tài)[11?13],Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)和Dicke態(tài)[14?19]等.可實現(xiàn)上述糾纏態(tài)的粒子包括了利用自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換生成的糾纏光子、基于離子阱調(diào)控探測技術(shù)的離子、基于光學(xué)腔量子非破壞測量的原子和基于帶自旋分量的玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)的超冷原子等.所涉及的領(lǐng)域和內(nèi)容十分廣泛,對此有興趣的讀者可以參考文獻(xiàn)[20—22].本文針對清華大學(xué)團(tuán)隊最近通過調(diào)控量子相變的確定性制備雙數(shù)態(tài)(自旋1/2的平衡Dicke態(tài))的工作背景和研究內(nèi)容進(jìn)行討論.

2 雙數(shù)態(tài)的性質(zhì)及其在精密測量中的應(yīng)用

2.1 集體角動量算符以及利用廣義Bloch球的量子態(tài)表征

對很小的相位偏移(即θ≈0),由于測量會使得量子態(tài)以各接近一半的概率塌縮到|0或|1態(tài),通過單次測量是無法判斷θ的.也就是說,雖然測量之前的量子態(tài)是確定的,探測引發(fā)的波函數(shù)坍縮引入了測量不確定性,也就是所謂的量子投影噪聲.這里涉及到量子態(tài)估計的最根本結(jié)論,單次測量無法甄別未知的量子態(tài),只有多次測量的統(tǒng)計結(jié)果才能描述該量子態(tài).因此,從量子計量的角度而言,在Bloch球上展示指向某個方向的一個態(tài)投影到其他方向的量子態(tài)的概率,即就顯得更有價值(圖1(b)), 因為它直接反映了該量子態(tài)的測量不確定度.

圖1 二能級量子態(tài)在Bloch球上的表示 (a)平均自旋的指向;(b)考慮投影噪聲,Husimi Q-表示Fig.1. The Bloch sphere representations of the two-level quantum state ≡(a)Representation for the average spin;(b)representation for the uncertainty in the spin direction,or the Husimi-Q representation.

通過對同樣條件下制備的單個粒子重復(fù)N次實驗,或者一次性對N個無關(guān)聯(lián)但是擁有相同量子態(tài)的原子系綜進(jìn)行測量,可以提高測量精度.這種所有原子的自旋都指向同一方向的多粒子態(tài)被稱為自旋相干態(tài),它的波函數(shù)可簡單標(biāo)記為由于對這樣的原子系綜的操控和測量一般都是集體進(jìn)行的,不區(qū)分單個粒子,這樣的多粒子態(tài)可以很好地通過定義集體自旋算符來描述.在這里,,而代表粒子k的Pauli矩陣算符.Ji滿足角動量算符的對易關(guān)系,利用(1)式的定義,可以證明自旋相干態(tài)的平均集體自旋為單個粒子平均自旋的N倍.而它在垂直于平均自旋方向的投影J⊥為

由于自旋相干態(tài)的粒子間沒有關(guān)聯(lián),因此(2)式的第二項為零,,即自旋相干態(tài)的橫向量子投影噪聲漲落為單個粒子的倍.基于上述結(jié)果,由N個二能級粒子組成的自旋相干態(tài)的最高相位探測靈敏度為(即所謂的標(biāo)準(zhǔn)量子極限).與單粒子態(tài)在自旋1/2的Bloch球上的表示一樣,自旋相干態(tài)的投影噪聲?J⊥同樣可以在廣義Bloch球(半徑為N/2)上表示(圖2(a)),其量子投影噪聲是各向同性的.

如果我們能夠在參與干涉的粒子間引入某種量子關(guān)聯(lián)或糾纏,使得(2)式的第二項為負(fù)值,造成,那么就能實現(xiàn)超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限精度的測量.其中一種擁有這種關(guān)聯(lián)性質(zhì)的量子態(tài)就是備受關(guān)注的自旋壓縮態(tài)[3,22].顧名思義,該量子態(tài)在待測方向上的集體自旋的量子投影噪聲較粒子數(shù)相同的自旋相干態(tài)小,但它在正交于測量方向的量子投影噪聲反而更大(圖2(b)).因為海森伯不確定性原理,這兩者的乘積不變.在過去的十幾年中,自旋壓縮態(tài)已在不同的物理體系中得以實現(xiàn),利用該量子態(tài)實現(xiàn)突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限的測量研究也取得了長足的進(jìn)步.

我們最近的研究則關(guān)注了一種被稱為雙數(shù)態(tài)(twin-Fock state,TFS)的多體糾纏態(tài).雙數(shù)態(tài)也稱為balanced spin-1/2 Dicke態(tài),是由不可區(qū)分的雙模玻色子組成,擁有相等自旋朝上和朝下粒子數(shù)的量子態(tài).由于每個粒子不可區(qū)分,每個原子的內(nèi)態(tài)都是全同相干的,我們不能分辨哪個粒子的自旋是朝上或朝下.數(shù)學(xué)上,雙數(shù)態(tài)可以表示為一種在Bloch球赤道上各個方向的自旋相干態(tài)的等權(quán)重疊加[23]:因此它也可以利用半徑為N/2的廣義Bloch球來表征.雖然每一個在Bloch球赤道上的自旋相干態(tài)在Jz方向上有投影噪聲,但是在雙數(shù)態(tài)這種特殊的疊加條件下,各個自旋相干態(tài)在Jz上的量子投影噪聲相互抵消,使得?Jz=0,即沿Jz方向的測量噪聲為零.因此雙數(shù)態(tài)在廣義Bloch球上表征為一個在赤道上的圓環(huán)(圖2(c)),像一個過度壓縮的自旋壓縮態(tài).雙數(shù)態(tài)能實現(xiàn)超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限,在理想的探測條件下,達(dá)到接近海森伯極限1/N的相位測量精度[24].雙數(shù)態(tài)的特殊性質(zhì)使得它與自旋壓縮態(tài)在參數(shù)估計的測量方法上有所不同,自旋壓縮態(tài)可以直接通過測量Jz(即利用Jz的平均值來得到θ,雙數(shù)態(tài)在任何θ下的都為零,它需要通過多次測量Jz來獲得Jz的不確定度才能表征θ.

圖2 幾種不同的集體自旋量子態(tài)及其在廣義Bloch球上的表示 (a)自旋相干態(tài),所有粒子的自旋都指向同一個方向,該量子態(tài)的投影噪聲是各向同性的;(b)自旋壓縮態(tài),某個方向的量子投影噪聲小于同樣原子數(shù)的自旋相干態(tài)的量子噪聲,另一個方向的量子投影噪聲反而更大(海森伯不確定性原則);(c)雙數(shù)態(tài),也是自旋1/2的平衡Dicke態(tài),由不可區(qū)分的玻色粒子組成,自旋朝上和朝下的原子數(shù)目相等,在廣義Bloch球表示中,它在緯度方向上的投影沒有不確定度(量子投影噪聲為零),但是沿經(jīng)度方向上的分布則完全不確定Fig.2.Representation of a few collective spin states on the generalized Bloch sphere:(a)Coherent spin state,the average spin of every particle points at the same direction,the quantum projection noise is isotropic;(b)squeezed spin state,quantum projection noise along one direction is smaller than that of the coherent spin state with the same atom number,at the expense of enhanced quantum noise along the orthogonal(conjugate)direction;(c)twin-Fock state or spin-1/2 balanced Dicke state,made up of indistinguishable bosons equally distributed in two orthogonal modes(exactly half(N/2)in each mode),its spin direction lies in the equatorial plane,but is completely indeterminate along the azimuthal direction.

另外,在單粒子直積態(tài)的表示下,雙數(shù)態(tài)可以表達(dá)為

3 雙數(shù)態(tài)的制備

3.1 利用自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換制備的光子雙數(shù)態(tài)

如果產(chǎn)生一對自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換光子的概率為p,那么產(chǎn)生N個光子的雙數(shù)態(tài)的概率就大致正比于pN/2.由于p?1,每增加一對光子的雙數(shù)態(tài)的發(fā)生概率就會下降好幾個數(shù)量級,所以想利用自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換實現(xiàn)多粒子雙數(shù)態(tài)是非常困難的.另外,由于下轉(zhuǎn)換的光場中充斥著大量的雙光子和四光子糾纏態(tài),利用這種方法獲得的6光子雙數(shù)態(tài)其實是建立在6個單光子探測器同時觸發(fā)的條件下的后選擇結(jié)果.在探測器觸發(fā)的同時,雙數(shù)態(tài)也被破壞掉了.因此,這樣的方法產(chǎn)生的量子糾纏態(tài)雖然對基礎(chǔ)量子物理研究很有價值,但是卻沒有實際的量子計量價值.

3.2 利用離子阱量子調(diào)控制備的Bell態(tài)

離子阱裝置可以很好地進(jìn)行量子計算和量子模擬的實驗研究,它實現(xiàn)了目前世界上準(zhǔn)確度最高的單量子比特操控和雙量子比特邏輯門操作,而且能實現(xiàn)很長的量子退相干時間.因此它也是少有的幾個能確定性制備多粒子糾纏態(tài)的物理系統(tǒng)之一.但是,通過“由下而上”的量子調(diào)控方法制備深度糾纏的多粒子態(tài)是極其復(fù)雜和困難的.據(jù)我們所知,目前利用離子阱制備的“類雙數(shù)態(tài)”依然只停留在兩個粒子的Bell態(tài)[27,28].2005年,因斯布魯克的Blatt研究小組[16]實現(xiàn)了8粒子的W態(tài),一種只有一個自旋激發(fā)的Dicke態(tài),其表達(dá)形式為

之后雖然有一些理論研究提出了利用離子阱制備雙數(shù)態(tài)的操控方法,但是目前還沒有相關(guān)的實驗報道.

由于“由下而上”的糾纏態(tài)制備方式過于復(fù)雜,以目前的技術(shù)而言,想要利用離子阱系統(tǒng)制備對突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限測量有實際應(yīng)用價值的多粒子糾纏態(tài)還是比較困難的.目前,離子阱實驗最高能確定性制備14個粒子的GHZ態(tài)[12].即使在假設(shè)完美無誤差的情況下,這個量子態(tài)能夠?qū)崿F(xiàn)海森伯極限(Heisenberg limit,HL)的測量精度,即?θHL=1/14,該精度也只等同于約200個粒子的無關(guān)聯(lián)相干態(tài)的測量精度.這樣粒子數(shù)目的相干態(tài)在中性原子實驗中可以比較容易地實現(xiàn).

3.3 利用旋量玻色凝聚體中的自旋交換動力學(xué)制備雙數(shù)態(tài)

當(dāng)玻色原子被冷卻到極端低溫狀態(tài)時,幾乎所有的原子都會凝聚到同一內(nèi)態(tài)上,進(jìn)入一種被稱為玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)的超流狀態(tài).如果該BEC被囚禁于一個磁阱中,凝聚體中的原子自旋內(nèi)態(tài)會沿著局域磁場的方向進(jìn)動,原子的自旋自由度因此被凍結(jié),描述該BEC的序參量是一個標(biāo)量.反之,如果該BEC被囚禁于一個光阱中,原子的自旋內(nèi)態(tài)可以發(fā)生演化.此時,描述一個由F自旋原子組成的BEC的序參量有2F+1個分量.這種量子氣體被稱為旋量玻色-愛因斯坦凝聚體(spinor BEC)[29].

通過旋量BEC中原子的自旋交換碰撞可以實現(xiàn)大粒子數(shù)的雙數(shù)態(tài).在該碰撞過程中,兩個在mF=0磁子能級上的原子發(fā)生自旋交換后產(chǎn)生一對mF=±1的原子(圖3(a)).由于無法確定自旋交換后某個原子的自旋朝向,碰撞后的粒子對處于兩粒子雙數(shù)態(tài).如果實驗中使用了不相干的熱原子,又假設(shè)碰撞共產(chǎn)生了N個在mF=±1的粒子,那么自旋交換碰撞實際產(chǎn)生了N/2個兩粒子雙數(shù)態(tài).反之,如果自旋交換碰撞發(fā)生在BEC中,由于處于BEC狀態(tài)下的原子無法區(qū)分,原則上無法判斷是哪兩個粒子參與了自旋交換碰撞,而應(yīng)該說所有的粒子都相干地參與了自旋交換,此時所產(chǎn)生的量子態(tài)是一個真正的N粒子雙數(shù)態(tài).形象上來說,熱原子碰撞產(chǎn)生的量子態(tài)可以利用N/2個半徑為1的Bloch球上的赤道環(huán)(圖2(c))表示,而在BEC中產(chǎn)生的雙數(shù)態(tài)可以用一個半徑為N/2的Bloch球上的大赤道環(huán)表示.這兩者對量子計量而言有本質(zhì)上的區(qū)別,前者提供的測量精度與標(biāo)準(zhǔn)量子極限相同,而后者能提供超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限√倍的測量精度.

圖3 (a)利用旋量BEC中的自旋交換過程制備雙數(shù)態(tài);(b)利用自旋交換碰撞產(chǎn)生的±1粒子對的關(guān)聯(lián)證明[30];測量到的mF=+1的粒子數(shù)(紅色)和mF=?1的粒子數(shù)(藍(lán)色,取為負(fù)值)在不同次實驗中展現(xiàn)了很大的漲落,但在同次實驗中這兩個數(shù)之差(黑色)都幾乎為零Fig.3.(a)Generation of twin-Fock states using spinmixing dynamics in spinor BEC;(b)illustrating correlated populations in the±1 components generated by spin-exchange collisions.The measured particle numbers in mF=+1(red)and mF=?1(blue,taken as negative)show large fluctuations in different experiment runs,but their difference in any run is always near zero.Figure adapted from Ref.[30].

利用旋量BEC中的自旋交換動力學(xué),過去已經(jīng)有報導(dǎo)能夠?qū)崿F(xiàn)多達(dá)幾千個原子的雙數(shù)態(tài)[18,30,31].但是這些實驗中產(chǎn)生的雙數(shù)態(tài)的總粒子數(shù)存在很大的漲落(見圖3(b)),因此以往在利用該雙數(shù)態(tài)演示突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限的測量時都需要對樣本的總粒子數(shù)進(jìn)行后選擇,甚至丟棄超過90%的數(shù)據(jù),這大大地降低了這類雙數(shù)態(tài)的實用性.

4 通過調(diào)控量子相變實現(xiàn)糾纏態(tài)的確定性制備

最近,我們研究團(tuán)隊通過調(diào)控自旋1的銣-87原子BEC的自旋混合過程,使其連續(xù)發(fā)生兩次量子相變,確定性地制備了包含約11000個原子的雙數(shù)態(tài).

在我們的實驗條件下[19],該旋量BEC的自旋動力學(xué)由下面的哈密頓量描述[32]:

以上哈密頓量描述的旋量BEC在q=±2|c2|處有兩個量子相變點.此兩點將這個系統(tǒng)的相圖分為三個區(qū)域:分別為polar(P),broken-axis symmetry(BA),和twin-Fock(TF)雙數(shù)態(tài)相(圖4(a)).簡言之,該旋量BEC的自旋動力學(xué)完全由q與|c2|的比值所決定.當(dāng)?2|c2|2|c2|時,由于自旋交換前后粒子的能量不匹配,自旋交換碰撞被凍結(jié).

在以往利用該系統(tǒng)制備雙數(shù)態(tài)的實驗中[18,30,31],即使采用了不同的手段和原子內(nèi)態(tài),實驗上總是突然地將q從|q|>2|c2|的狀態(tài)改變到|q|<2|c2|的狀態(tài).如前面所述,這種方法雖然也能產(chǎn)生較大的雙數(shù)態(tài),但是所產(chǎn)生的雙數(shù)態(tài)粒子數(shù)的漲落很大.

圖4 (a)自旋1的旋量BEC基態(tài)取決于單原子內(nèi)態(tài)的二階塞曼能移(q)和BEC中自旋交換相互作用強度(c2)的相對大小,依次出現(xiàn)P,BA和TF相;(b)實驗觀察到的不同自旋分量的原子吸收成像圖,給出了線性掃描q時BEC在各個內(nèi)態(tài)上的分布隨時間的變化Fig.4.(a)The ground state of a spin-1 BEC is determined by the relative strength between the quadratic Zeeman shift(q)of individual atoms and the spinexchange interaction strength(c2)between them.It can exhibit P,BA and TF phases. (b)The spinresolved absorption images of the atoms that show the evolution of the spin state populations when q is swept linearly over time across the phase transitions.

我們的實驗則是精心地設(shè)計了q的掃描曲線,讓q在有限時間內(nèi)盡可能慢地穿越量子相變點,使得系統(tǒng)在穿越量子相變點時發(fā)生的激發(fā)大為減少.其結(jié)果是該凝聚體在我們的調(diào)控下發(fā)生了兩次低激發(fā)的量子相變,由polar相中的基態(tài)進(jìn)入了雙數(shù)態(tài)相中的低激發(fā)態(tài),確定性地將96%±2%的mF=0原子(共約11000個原子)轉(zhuǎn)移到了mF=±1態(tài)上(圖4(b)).為了更直觀地展現(xiàn)本文量子相變方法的制備效率與以前動力學(xué)方法的區(qū)別,圖5給出了類似圖3(b)的相應(yīng)實驗數(shù)據(jù).在連續(xù)制備的420個雙數(shù)態(tài)中,測量顯示處在mF=+1和mF=?1態(tài)的粒子數(shù)分布為5409±200和5427±202個.這兩個態(tài)的平均粒子數(shù)的差別來自不同內(nèi)態(tài)粒子的探測系統(tǒng)誤差.而粒子數(shù)的均方根漲落一部分來自于0—±1態(tài)的轉(zhuǎn)換效率漲落,另一部分則來自BEC總粒子數(shù)的漂移和漲落.與±1態(tài)的粒子數(shù)漲落相比,在+1和?1態(tài)的粒子數(shù)之差的漲落僅為30.4個,遠(yuǎn)小于11000個粒子的散粒噪聲.而該剩余漲落主要來源于探測原子的成像光的散粒噪聲,不是所制備的雙數(shù)態(tài)的自身漲落.

圖5 利用調(diào)控量子相變所制備的雙數(shù)態(tài)的mF=+1粒子數(shù)(紅色)和mF= ?1的粒子數(shù)(藍(lán)色,取為負(fù)值)的漲落展示,以及±1粒子數(shù)之差(黑色)的漲落展示,插圖為粒子數(shù)差的放大圖Fig.5.Same as Fig.3(b)but for twin-Fock states generated using our method.Inset is a blow-up of the difference in the±1 atom numbers.

由于用緩慢掃過相變點的方法制備的雙數(shù)態(tài)的總粒子數(shù)漲落很小,可以在完全不做后選擇的情況下測量該雙數(shù)態(tài)的性質(zhì).本文的實驗表征該雙數(shù)態(tài)的不同內(nèi)態(tài)間原子數(shù)的差值的漲落低于經(jīng)典極限(10.7±0.6)dB,其集體自旋的歸一化長度為近似完美的0.99±0.01.這兩個指標(biāo)反映該多體糾纏態(tài)可以提供超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限約6 dB的相位測量靈敏度,以及至少910個糾纏原子數(shù)[19].

5 結(jié) 論

利用量子相變確定性地制備多體糾纏態(tài)是一種嶄新的嘗試.由于連續(xù)量子相變點處有限系統(tǒng)的能隙很小,系統(tǒng)穿過相變點時會產(chǎn)生較大的激發(fā).我們的研究顯示即使這種激發(fā)會發(fā)生,量子相變點兩邊迥異的多體能級結(jié)構(gòu)依然能夠幫助制備出高品質(zhì)的多粒子糾纏態(tài).這一全新的理解和糾纏態(tài)制備的方法為未來其他多粒子糾纏態(tài)的制備提供了一種思路.另外,利用類似的量子相變操控方法,我們最近還成功制備出首個三模的balanced spin-1 Dicke態(tài)[33],并利用該態(tài)實現(xiàn)了超越三模標(biāo)準(zhǔn)量子極限的干涉測量精度.我們的研究為超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限測量的量子計量研究指引了新方向.