霍海峰 溫鮮

摘 要：當(dāng)股票價格滿足Hull-White隨機(jī)波動率模型時，應(yīng)用對偶最小二乘蒙特卡羅（LSM）方法研究美式期權(quán)的定價.首先，采用對偶蒙特卡羅（MC）法模擬出股票價格，并利用這些股票價格計算美式期權(quán)在不同時刻對應(yīng)的現(xiàn)金流.其次，利用改進(jìn)后的最小二乘蒙特卡羅（LSM）法計算美式期權(quán)的價格.最后，進(jìn)行數(shù)值模擬計算，得到了隨機(jī)波動率對美式期權(quán)定價的影響，并驗證了該方法的準(zhǔn)確性.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)波動率；美式期權(quán)；最小二乘蒙特卡羅法

中圖分類號：O29∶F267 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2018.04.018

0 引言

經(jīng)典的Black-Scholes（BS）期權(quán)定價模型在現(xiàn)實應(yīng)用中存在許多不足，例如：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)（股票）的波動率為常數(shù)，這與實際金融市場中隱含波動率的微笑效應(yīng)不相符.為了彌補(bǔ)這一缺陷，將股票價格的波動率也看作一個隨機(jī)過程（即隨機(jī)波動率模型），這已成為當(dāng)下金融市場的熱點研究問題之一.常見的隨機(jī)波動率模型有Hull-White模型[1]（HW隨機(jī)波動率模型）（1987）、Scott模型（1987）、Stein-Stein模型（1991）及Heston模型（1993）.這些模型中最具有代表性且頗受研究者關(guān)注的是通過幾何布朗運(yùn)動或者均值回復(fù)過程來刻畫標(biāo)的資產(chǎn)波動率，即Hul-White或Heston隨機(jī)波動率模型.江良等[2]研究了Hull-White隨機(jī)波動率模型的參數(shù)估計方法，而鄧國和等[3-4]考慮了隨機(jī)波動率下的歐式奇異期權(quán)的定價問題.與歐式期權(quán)相比，美式期權(quán)的持有人可提前執(zhí)行期權(quán)，因此擁有比歐式期權(quán)更多的獲利機(jī)會.另一方面，美式期權(quán)的價格與持有人的最佳實施時刻有關(guān)，持有人必須制定最佳實施策略，計算最優(yōu)執(zhí)行時刻，以獲得最大收益.因此，研究隨機(jī)波動率模型的美式期權(quán)定價問題更具實際意義.

由于美式期權(quán)實施時刻的不確定性，無法求得其價格的解析解，只能采用數(shù)值方法對美式期權(quán)進(jìn)行定價.期權(quán)定價常用的數(shù)值方法主要有二叉樹法、有限差分法和蒙特卡羅模擬法，而蒙特卡羅模擬方法在處理多個標(biāo)的資產(chǎn)和路徑依賴型的期權(quán)定價問題具有明顯優(yōu)勢.Tilly[5]在1993年首次利用 Monte Carlo （MC）模擬法對美式看跌期權(quán)進(jìn)行定價，Broadle等[6]對該模型及方法進(jìn)行改進(jìn)，但模擬結(jié)果偏差較大.直到Longstaff等[7]提出了最小二乘蒙特卡羅（LSM）方法對美式期權(quán)進(jìn)行定價，并用該方法對路徑依賴型期權(quán)定價.隨后，越來越多學(xué)者關(guān)注LSM法對金融資產(chǎn)的定價.Stentoft[8]在多資產(chǎn)的期權(quán)定價中應(yīng)用了LSM法，且通過實證說明了LSM法比二叉樹法更加有效.Cortazar等[9]將LSM法推廣到多維美式實物期權(quán)的估價中，Alonso等[10]也應(yīng)用LSM算法對具有公司投資背景的實物期權(quán)進(jìn)行估價，并展示了這個方法優(yōu)于其他的數(shù)值算法.國內(nèi)也有學(xué)者利用LSM方法對金融資產(chǎn)定價問題進(jìn)行研究[11-12].

然而，普通的Monte Carlo（MC）模擬法是通過隨機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)來模擬標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的路徑，由于這些變量產(chǎn)生的隨機(jī)性，會導(dǎo)致模擬結(jié)果不理想，有時會與實際值產(chǎn)生較大的偏差，因此，減小隨機(jī)性的方差技術(shù)就變得很重要.尤其是對偶變量技術(shù)作為一種常用的方差減少技術(shù)，主要是利用變量間的負(fù)相關(guān)性達(dá)到縮減方差的效果.同時，查詢已有的研究文獻(xiàn)顯示，基于Hull-White隨機(jī)波動率模型下研究美式期權(quán)定價的文獻(xiàn)幾乎為零，因此，本文在Hull-White隨機(jī)波動率模型（包含相關(guān)情形）下應(yīng)用對偶變量方差減少技術(shù)與最小二乘蒙特卡羅模擬（LSM）相結(jié)合的方法研究美式期權(quán)的定價問題，給出了具體的計算步驟，并進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值計算結(jié)果顯示了隨機(jī)波動率對美式期權(quán)定價的影響，也驗證了該算法的準(zhǔn)確性.

1 隨機(jī)波動率模型

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)（股票）在[t]時刻的價格為[St]，滿足Hull-White（1987）[1]隨機(jī)波動率模型，可連續(xù)交易的金融市場無摩擦、無套利且無紅利支付.在風(fēng)險中性概率測度[Q]下連續(xù)交易的投資期為[[0，T]]，[T]為交易的到期時刻.考慮一份美式期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)（股票）價格[St]滿足如下的隨機(jī)微分方程：

[dStSt=rdt+YtdWt] （1）

[dYtYt=μdt+σdW*t] （2）

這里，式（2）描述了股票價格[St]的瞬時波動率，過程[Yt]即為隨機(jī)波動率過程，其中[r]為無風(fēng)險利率，[μ]為波動率過程[Yt]的漂移系數(shù)，[σ]為[Yt]的波動系數(shù)，[r、μ、σ]均為給定的常數(shù).[Wt，W*t]是風(fēng)險中性概率測度[Q]下兩個相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動，且協(xié)方差[Cov（dWt，dWt*）=ρdt]，[ρ]為相關(guān)系數(shù).

2 美式期權(quán)定價的對偶LSM法

2.1 生成波動率的樣本路徑

已知波動率過程[Yt]滿足式（2），由[Ito]公式可知，式（2）可表示為：

[dln（Yt）=（μ-12σ2）dt+σdW*t] （3）

既然[dWt，dW*t]的相關(guān)系數(shù)為[Corr（dWt，dWt*）=ρ]，則可記[dW*t=ρdWt+1-ρ2dZt]，相應(yīng)式（3）可改寫成：

[dln（Yt）=（μ-12σ2）dt+σρdWt+σ1-ρ2dZt] （4）

其中，[dWt]與[dZt]為相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動的增量.

利用式（4）和Monte Carlo法可以模擬波動率的樣本路徑.首先，將時間區(qū)間[[0 ， T]]進(jìn)行[n]等分割，每個子區(qū)間的長度為[Δti=Tn]，則可得式（4）的離散情形：

[lnYti-lnYti-1=（μ-12σ2）Δt+σρε1iΔt+σ1-ρ2ε2iΔt] （5）

其中，[i=1， 2， …， n.][ ε1i ， ε2i]為相互獨立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的簡單隨機(jī)樣本.

若給定初始時刻的波動率[Y0]，由式（5）可模擬出任意時刻[ti]的波動率：

[Yti=Y0exp{i[（μ-12σ2）Δt+σρε1iΔt+σ1-ρ2ε2iΔt]}] （6）

由式（6）模擬的一條波動率路徑記作 [yj=（Yj，t0 ， Yj，t1 ， … ， Yj，tn） ， j=1 ， 2 ， …， N.]經(jīng)過[N]次模擬得到的[N]條波動率樣本路徑記作矩陣：

[PN×（n+1）=y1?yN].

2.2 生成股票價格樣本路徑

在風(fēng)險中性概率測度[Q]下，股票價格[St]滿足模型（1），由[Ito]公式可得：

[dln（St）=（r-12Yt）dt+YtdWt] ， （7）

將時間區(qū)間[[0，T]]作同上的分割，由式（7）可得：

[lnSti-lnSti-1=（r-12Yti）Δt+Ytiε1iΔt] （8）

其中，[ε1i]為獨立的且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的簡單隨機(jī)樣本.當(dāng)給定初始時刻的標(biāo)的股票價格[S0]，由式（6）和式（8）可得任意時刻[ti]的股票價格：

[Sti=S0exp{i[（r-12Yti）Δt+Ytiε1iΔt]}] （9）

經(jīng)過[N]次模擬，同樣可得到股票價格的樣本路徑矩陣，記作：

[L1N×（n+1）=S1，t0…S1，tn??SN，t0…SN，tn].

取隨機(jī)樣本[ε1i]的相反數(shù)[-ε1i]作為對偶樣本，同理可模擬出任意時刻[ti]的股票價格：

[S*ti=exp{lnS0+i[（r-12Yti）Δt-Ytiε1iΔt]}] （10）

類似地，經(jīng)過[N]次模擬，可得到股票價格的[N]條對偶樣本路徑，記作矩陣

[L2N×（n+1）=S*1，t0…S*1，tn??S*N，t0…S*N，tn].

2.3 計算各路徑的最優(yōu)實施時刻和收益

以美式看漲期權(quán)為例.設(shè)期權(quán)在交易時間[[0，T]]的實施時刻有[n]個，分別為[0[VT=f（ST）=（ST-K）+]

[Vi（ti，Sti）=max{（Sti-K）+，EQ[e-rΔtVi+1（ti+1，Sti+1）Sti]}].

接下來利用已經(jīng)模擬出的[2N]條股票價格路徑，由后往前倒向計算，其中美式期權(quán)定價的對偶LSM法包括下列步驟：

步驟一：在[tn=T]時刻，計算每條樣本立即執(zhí)行期權(quán)的收益為[fi（tn）=（Si，tn-K）+，][i=1，…，N.]則該時刻的現(xiàn)金流為[Ci（tn）=fi（tn）].同理，計算相應(yīng)對偶樣本立即執(zhí)行期權(quán)的收益為：[f*i（tn）=（S*i，tn-K）+，i=1，…，N.]則該時刻的現(xiàn)金流為[C*i（tn）=f*i（tn）].

步驟二：在[t=tn-1]時刻，首先采用對偶最小二乘法計算繼續(xù)持有期權(quán)的內(nèi)在估計價值的值[F（tn-1）].在[tn-1]時刻，利用每條路徑的下一個時刻[tn]的現(xiàn)金流折現(xiàn)值作為回歸基函數(shù)[Z]的值，股票價格[Si，tn-1]作為自變量[X]值，作二次擬合，即：

[Z=C1（tn）e-rΔtC2（tn）e-rΔt ?CN（tn）e-rΔt] ，[X=S1 ， tn-1S2 ， tn-1?SN ， tn-1]

[Z=aX2+bX+c] （11）

根據(jù)最小二乘法可以估計系數(shù)[a， b， c]，并將每條樣本路徑[X]帶入式（11），可得[tn-1]時刻繼續(xù)持有期權(quán)的內(nèi)在估計價值為：

[F1（tn-1）=aS21，tn-1+bS1，tn-1+cF2（tn-1）=aS22，tn-1+bS2，tn-1+c ?FN（tn-1）=aS2N，tn-1+bSN，tn-1+c] （12）

其中[Si，tn-1]為[tn-1]時刻第[i]條路徑的股票價格，[Fi（tn-1）]為[tn-1]時刻第[i]條路徑的繼續(xù)持有期權(quán)的內(nèi)在估計價值，[i=1 ， 2 ， … ， N].

同理，利用對偶變量法模擬出[N]條股票價格[S*i，tn， i=1， 2， …， N.]相應(yīng)可以得到[tn-1]時刻繼續(xù)持有期權(quán)的內(nèi)在估計價值為

[F*1（tn-1）=a（S*1，tn-1）2+bS*1，tn-1+cF*2（tn-1）=a（S*2，tn-1）2+bS*2，tn-1+c?F*N（tn-1）=a（S*N，tn-1）2+bS*N，tn-1+c] （13）

將繼續(xù)持有期權(quán)的內(nèi)在估計價值[Fi（tn-1）]與執(zhí)行價值[fi（tn-1）]相比較，確定第[i]條樣本路徑中[tn-1]時刻的最優(yōu)實施策略.若[Fi（tn-1）>fi（tn-1）]，則應(yīng)繼續(xù)持有期權(quán)至[tn]時刻，[tn-1]時刻的現(xiàn)金流為[Ci（tn-1）=0]，而[tn]時刻現(xiàn)金流為[Ci（tn）=fi（tn）=（Si，tn-K）+].若[Fi（tn-1）≤fi（tn-1）]，則應(yīng)立即執(zhí)行期權(quán)，那么[tn-1]時刻即為一個停時，記為[τ=tn-1].此時的現(xiàn)金流為[Ci（tn-1）=fi（tn-1）=（Si，tn-1-K）+]，而下一個時刻[tn]的現(xiàn)金流為[Ci（tn）=0].

同理可更新對偶樣本的現(xiàn)金流，記為[C*i（tn-1） ，C*i（tn）].

步驟三：在[tn-2]時刻，由[tn-1，tn]時刻最優(yōu)策略得到的所有現(xiàn)金流的折現(xiàn)值（到[tn-2]時刻）之和作為回歸基函數(shù)[Z]，標(biāo)的股價[Si，tn-2]作為因變量[X]，即

[Z=C1（tn-1）e-2rΔt+C1（tn）e-rΔtC2（tn-1）e-2rΔt+C2（tn）e-rΔt?CN（tn-1）e-2rΔt+CN（tn）e-rΔt]， [X=S1，tn-2S2，tn-2?SN，tn-2]

重復(fù)步驟二得出[tn-2]時刻的現(xiàn)金流、最優(yōu)執(zhí)行策略和更新最優(yōu)執(zhí)行時刻.類似往前推[tn-3， …， t0]時刻.重復(fù)步驟二，計算每條樣本路徑新的最優(yōu)執(zhí)行時刻[τ=（τ1， …， τN）].同理計算對偶樣本的新的最優(yōu)執(zhí)行時刻[τ*=（τ*1，…，τ*N）].

步驟四：從初始時刻[t=0]開始，直到各[i（i=1， 2， …， N）]條路徑上的第一個停時即為最優(yōu)停時[τi]，將所有路徑最優(yōu)停時[τi]時刻的現(xiàn)金流都折現(xiàn)到初始時刻，再求和，最后對[N]條路徑求均值，從而可以得到美式期權(quán)在初始時刻[t=0]的價值：

[V0=i=1Ne-rτiCi（τ）+i=1Ne-rτ*iC*i（τ*）2N] （14）

其中，[Ci（τ）]為第[i]條路徑在最優(yōu)停時[τ]產(chǎn)生的現(xiàn)金流，[C*i（τ*）]為相應(yīng)的對偶變量模擬的第[i]條路徑在最優(yōu)停時[τ*]產(chǎn)生的現(xiàn)金流.對于美式看跌期權(quán)也有類似的結(jié)論.

3 數(shù)值結(jié)果

考慮一份標(biāo)準(zhǔn)美式看漲期權(quán)，假設(shè)可連續(xù)交易的時間[T]為一年，[K]為執(zhí)行價格，[S0]和[Y0]分別為初始時刻的股票價格和波動率，[r、μ、σ、ρ]的定義同模型（1）和模型（2），由于一年共365天，故時間間隔[Δti=T/365]，計算的基本參數(shù)值為：[S0=50， Y0=0.3， ][r=0.1， σ=0.6， ][ρ=0.4， μ=0.2， n=365，][ N=500.]這里[N]表示模擬的路徑數(shù)目.

首先，考察執(zhí)行價格[K=40、45、50]，交易時長分別為3個月、6個月、12個月時，在經(jīng)典BS模型和HW隨機(jī)波動率模型下利用對偶LSM法計算出美式看漲期權(quán)的價格見表1.由表1可知，HW隨機(jī)波動率模型下計算的美式期權(quán)價格與經(jīng)典BS模型下計算的結(jié)果相比平均相對誤差為13.74%，這說明隨機(jī)的波動率對美式期權(quán)的價格有一定影響，因此，在實際期權(quán)定價中應(yīng)考慮波動率的變化.

其次，當(dāng)T=1，K=45時在HW隨機(jī)波動率模型下分別利用LSM法，對偶LSM法以及普通MC法，計算美式期權(quán)的價格，并進(jìn)行對比分析. 表2為HW隨機(jī)波動率模型下利用LSM法與對偶LSM法計算美式期權(quán)價格，表3為利用普通MC法與對偶LSM法計算美式期權(quán)價格.由表2和表3計算結(jié)果對比可知：①平均相對誤差分別為2.64%，24.71%，說明LSM法與對偶LSM法計算的期權(quán)價格比較接近，而普通MC法在計算美式期權(quán)價格時穩(wěn)定性不高，精確度也不高.②在運(yùn)行時間上，隨著路徑數(shù)目的增加，計算程序的運(yùn)行時間也會增加.由表2、表3可知，在不同路徑數(shù)目下對偶LSM法的運(yùn)行時間多于LSM法和普通MC法，但運(yùn)行時間相差不超過60 s.③對偶LSM法計算美式期權(quán)價格的方差遠(yuǎn)小于普通LSM法和普通MC法的方差，這說明對偶LSM法可以有效地減小方差，保證計算的穩(wěn)定性.綜合上述情形可知，在運(yùn)行時間相差不超過60 s的時間內(nèi)，對偶LSM法計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于LSM法和普通MC法.

最后，在HW隨機(jī)波動率模型下采用對偶LSM法分別計算不同相關(guān)系數(shù)[ρ]時美式期權(quán)的價格，見表4，其他基本參數(shù)值同表1.由表4可知，當(dāng)[ρ=0]時期權(quán)價格最小，期權(quán)價格隨著[ρ]的增大而逐漸增大，在HW隨機(jī)波動模型下研究美式期權(quán)的價格也應(yīng)該考慮相關(guān)系數(shù)[ρ]的影響.

4 結(jié)論

本文運(yùn)用對偶最小二乘蒙特卡羅（LSM）方法對推廣的HW隨機(jī)波動率下美式期權(quán)進(jìn)行定價研究，得到了隨機(jī)波動率下美式期權(quán)定價的對偶LSM方法的具體計算步驟，并在確定參數(shù)值下進(jìn)行了數(shù)值模擬計算.通過數(shù)值計算可知隨機(jī)的波動率對美式期權(quán)定價有一定的影響，并且驗證了對偶LSM法的有效性和準(zhǔn)確性.而隨機(jī)波動模型下應(yīng)用對偶LSM方法對奇異期權(quán)的定價，也是今后研究的方向.

參考文獻(xiàn)

[1]HULL J，WHITE A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities[J]. Journal of Finance，1987，42（2）：281-300.

[2]江良，林鴻熙.隨機(jī)波動率Hull-White模型參數(shù)估計方法[J].系統(tǒng)工程學(xué)報，2016，31（5）：633-642.

[3]鄧國和.隨機(jī)波動率跳躍擴(kuò)散模型下復(fù)合期權(quán)定價[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2015，34（5）：910-922.

[4]溫鮮.非仿射隨機(jī)波動率的歐式回望期權(quán)定價[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報，2018，29（2）：132-136.

[5]TILLY J A.Valuing American options in a path simulation model[J].Transactions of the Society of Actuaries，1993，45：55-67.

[6]BROADIE M，GLASSERMAN P. Pricing American style securities using simulation[J]. Journal of Economics Dynamics and Control，1997，21（8-9）：1323-1352.

[7]LONGSTAFF F A，SCHWARTZ E S. Valuing American options by simulation：A simple least-squares approach[J]. The Review of Financial Studies，2001，14（1）：113-147.

[8]STENTOFT L. Assessing the least squares monte carlo approach to American option valuation[J]. Reviewof Derivatives Research，2004，7（2）：129-168.

[9]CORTAZAR G，GRAVET M，URZUA J. The valuation of multidimensional American real options using the LSM simulation method[J]. Computers and Operations Research，2008：113-129.

[10]ALONSO S，AZOFRA V，F(xiàn)UENTE G D L. What do you do when the binomial cannot value real options？ The LSM model[J].Documentos De Trabajo Funcas，2014，2（1）：942338.

[11]劉堅，馬超群.隨機(jī)利率下美式期權(quán)的LSM方法定價[J].系統(tǒng)工程，2013，31（10）：10-14.

[12]曹小龍，胡云姣. 美式期權(quán)定價的擬蒙特卡羅模擬及其方差減小技術(shù)[J].北京化工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，41（3）：119-124.

[13]熊維玲，甘樺源.（3+1）維Jimbo-Miwa方程的非行波解[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報，2017，28（1）：12-18.

Antithetic variable LSM method to price American option under

Hull-White stochastic volatility model

HUO Haifeng1， WEN Xian1， 2

（1. College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China； 2. Public Mathematics department， Lushan College of Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China ）

Abstract： This paper uses the antithetic variable least-squares Monte Carlo（LSM）method to price the American option under Hull-White stochastic volatility model. First， we simulate the price of the stock by the antithetic variable Monte Carlo （MC） method. Then， we use the price of the stock to calculate the cash flow of American option at different time. And we improve the least-squares Monte Carlo simulation method which can be used to calculate the price of American option. Finally， we illustrate our results with the numerical calculation of the price of the American option. Our numerical investigation shows the impact of the stochastic volatility on the American options and the accuracy of the antithetic variable LSM method.

Key words： stochastic volatility； American option； least-squares Monte Carlo method

（學(xué)科編輯：張玉鳳）