李創(chuàng)第 朱騰飛 柏大煉 葛新廣

摘 要：本文為提高實(shí)用粘彈性阻尼器耗能減震結(jié)構(gòu)基于非平穩(wěn)地震激勵的響應(yīng)分析效率，對實(shí)用粘彈性阻尼器單自由度耗能系統(tǒng)隨機(jī)地震響應(yīng)的數(shù)值分析方法進(jìn)行了系統(tǒng)研究.首先，采用設(shè)置支撐的六參數(shù)實(shí)用粘彈性阻尼器進(jìn)行建模；然后，利用傳遞函數(shù)法直接得到耗能減震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)精確解；最后，基于虛擬激勵法獲得了快速求解調(diào)制非平穩(wěn)激勵下耗能減震結(jié)構(gòu)的時域瞬態(tài)響應(yīng).通過均勻非平穩(wěn)和非均勻非平穩(wěn)算例分析表明：該方法對于此類問題的計算具有效率高、工程應(yīng)用強(qiáng)的特點(diǎn)，為設(shè)置粘彈性耗能減震結(jié)構(gòu)在非平穩(wěn)地震激勵下的快速求解提供了參考.

關(guān)鍵詞：實(shí)用粘彈性阻尼器；耗能減震系統(tǒng)；非平穩(wěn)地震響應(yīng)；快速求解

中圖分類號：TU311.3 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2018.04.003

0 引言

工程上，為減小結(jié)構(gòu)體系的地震動響應(yīng)，常采用增加結(jié)構(gòu)阻尼的方法，其中粘彈性阻尼裝置可以有效提供阻尼被廣泛采用[1-3].粘彈性阻尼器有著非常復(fù)雜的力學(xué)性能，且其性能易受外部激勵和環(huán)境因素的影響，因此，研究人員為了精確描述其本構(gòu)關(guān)系，提出了多種恢復(fù)力模型，主要有：Kelvin模型[3]、Maxwell模型[3]、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型[3]、六參數(shù)模型[4]等.其中，Mazza F和Vulcano A提出了一種六參數(shù)實(shí)用粘彈性阻尼器模型.該實(shí)用粘彈性阻尼器是由兩支Maxwell單元并聯(lián)一支Kelvin單元組成，其本構(gòu)方程從力學(xué)性能說是Kelvin模型[3]和Maxwell模型[3]的復(fù)合，能更準(zhǔn)確的模擬粘彈性材料的蠕變及松弛性能，模型計算參數(shù)更易于測試數(shù)據(jù)擬合.此外，該模型在原結(jié)構(gòu)上可進(jìn)行擴(kuò)階求解，因而已廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程當(dāng)中.在實(shí)際工程中，阻尼器需要與支撐串聯(lián)安裝，常用的支撐形式有人字形支撐和對角式支撐，近年來還出現(xiàn)了剪刀式和肘桿式等新型支撐[5]，支撐的水平等效剛度直接影響到阻尼器的減震效果.因此，采用設(shè)置支撐的六參數(shù)實(shí)用粘彈性阻尼模型分析了耗能結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，具有良好的工程應(yīng)用價值.

一般粘彈性耗能減震變頻結(jié)構(gòu)常用擴(kuò)階精確法和非擴(kuò)階近似法作為分析方法.擴(kuò)階精確法針對廣義Maxwell[6-9]、GHM[10]、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin[11]等易擴(kuò)階粘彈性近似模型，利用擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析解，因擴(kuò)階方程組物理意義不明確、變量個數(shù)劇增、計算效率低等缺陷，難以用于實(shí)際工程的分析.非擴(kuò)階近似法主要是模態(tài)應(yīng)變能法[1，12]和取結(jié)構(gòu)基頻的強(qiáng)行振型解耦法[13]，但因其在多自由結(jié)構(gòu)振動分析時忽略模態(tài)交叉項的影響，使其精度和使用范圍受到限制.

虛擬激勵法[14]將平穩(wěn)振動分析轉(zhuǎn)化為簡諧振動分析和確定性時間歷程分析，在計算步驟簡化的基礎(chǔ)上仍保持理論上的高度精確性.虛擬激勵法與鐘萬勰[15]提出的精細(xì)積分法二者相結(jié)合的方法是運(yùn)動方程的時域數(shù)值求解中常用的方法，簡化了計算過程的同時效率得到很大提升.Su等[16]針對均勻調(diào)制非平穩(wěn)激勵下非線性結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析，提出了一種快速等效線性化方法.傳統(tǒng)的運(yùn)動方程在時域內(nèi)的求解存在矩陣的階數(shù)較高，不便于大型的時程響應(yīng)分析.非齊次的運(yùn)動方程均需計算指數(shù)矩陣以及矩陣求逆，而矩陣求逆容易造成計算精度降低、出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定以及需要考慮逆矩陣不存在的情況，從而限制了使用范圍.非平穩(wěn)隨機(jī)振動分為均勻非平穩(wěn)激勵和非均勻平穩(wěn)激勵，兩者都可以表示為同源平穩(wěn)激勵關(guān)于時間的函數(shù)[17-18]，可以利用虛擬激勵法化為確定性的時間歷程分析.

本文應(yīng)用傳遞函數(shù)法，直接在原結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上獲得設(shè)置支撐六參數(shù)實(shí)用粘彈性阻尼器耗能減震結(jié)構(gòu)在任意激勵和非零初始條件下位移、速度和阻尼器受力時域瞬態(tài)響應(yīng)的精確解，避免了結(jié)構(gòu)擴(kuò)階、計算指數(shù)矩陣以及矩陣求逆.結(jié)合虛擬激勵法，快速求解在非平穩(wěn)地震激勵下（含均勻調(diào)制非平穩(wěn)和非均勻調(diào)制非平穩(wěn)）耗能減震結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)響應(yīng).

1 結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程及其系統(tǒng)響應(yīng)

1.1 實(shí)用粘彈性模型阻尼器本構(gòu)關(guān)系

實(shí)用粘彈性阻尼器[PQ（t）]的分析模型如圖1所示，該模型由兩支Maxwell單元并聯(lián)一支Kelvin單元組成，該實(shí)用粘彈性阻尼器受力[PQ（t）]與相對位移[xQ]的本構(gòu)關(guān)系為[3]：

[PQ（t）=0tQ（t-τ）xQ（τ）dτ=k0xQ（t）+c0xQ+P0Q（t）] （1）

[P0Q（t）=0thQ（t-τ）xQ（τ）dτ] （2）

[hQ（t）=Q（t）-Q（+∞）=k1e-k1c1t+k2e-k2c2t] （3）

式中：[Q（t）]為實(shí)用粘彈性阻尼器的松弛模量函數(shù)，[k0]為實(shí)用粘彈性阻尼器的平衡剛度，[c0]為實(shí)用粘彈性阻尼器的平衡阻尼，[hQ（t）]實(shí)用粘彈性阻尼器的松弛函數(shù)；[k1、k2]和[c1、c2]分別表示實(shí)用粘彈性阻尼器各支Maxwell單元的剛度和阻尼.

1.2 結(jié)構(gòu)原始運(yùn)動方程

設(shè)m、k、c分別為帶支撐六參數(shù)實(shí)用粘彈性阻尼器單自由度耗能減震結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼；將支撐與實(shí)用粘彈性阻尼器的整體串聯(lián)系統(tǒng)作為等效阻尼器[PG（t）].在地震動[xg（t）]的作用下，結(jié)構(gòu)相對于地面的位移為[x]，結(jié)構(gòu)模型如圖2所示，其運(yùn)動方程為：

[mx+cx+kx+PG（t）=-mxg（t）] （4）

根據(jù)前期研究，等效阻尼器受力[PG（t）]與相對位移[x]的本構(gòu)關(guān)系為[19]：

[PG（t）=kGx（t）+0 thG（t-τ）x（τ）dτ] （5）

式中：[kG]和[hG（t）]分別為等效阻尼器[PG（t）]的平衡剛度、松弛函數(shù)，可根據(jù)文獻(xiàn)[19]直接得出.

根據(jù)前期研究，由傳遞函數(shù)法可直接求解出耗能減震系統(tǒng)響應(yīng)解析式可統(tǒng)一表達(dá)為[19]：

[Slt=j=15ρljyjt ， l=1， 2， 3] （6）

其中：[ρlj]——相應(yīng)的響應(yīng)系數(shù)，其值可由文獻(xiàn)[19]直接得出；[S1t]——結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，[S2t]——結(jié)構(gòu)的速度響應(yīng)，[S3t]——等效阻尼器受力.

[yj（t）]為標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)對地震激勵的響應(yīng)，其表達(dá)式為：

[yj（t）-Sjyj（t）=-xg] （7）

[yj（t）=-0teSj（t-τ）xg（τ）dτ] （8）

傳遞函數(shù)法的最大優(yōu)點(diǎn)是不需要擴(kuò)階，本節(jié)應(yīng)用傳遞函數(shù)法，直接在原結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上獲得設(shè)置支撐六參數(shù)實(shí)用粘彈性阻尼器耗能減震結(jié)構(gòu)在任意激勵和非零初始條件下位移、速度和阻尼器受力時域瞬態(tài)響應(yīng)的精確解，避免了因擴(kuò)階方程組物理意義不明確，變量個數(shù)劇增，計算效率低等所帶來的缺陷.

2 耗能減震系統(tǒng)結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)響應(yīng)的快速分析

為考慮地震的強(qiáng)度非平穩(wěn)和頻率非平穩(wěn)，采用Priestley提出的演變譜模型[20]來分析均勻調(diào)制和非均勻調(diào)制非平穩(wěn)地震響應(yīng)，它可以用下式表示：

[xg（t）=-∞+∞a（ω，t）eiωtdα（ω）] （9）

其協(xié)方差函數(shù)可表示為：

[Cxg（t1，t2）=-∞+∞eiω（t1-t2）a（ω，t1）a?（ω，t2）Sxf（ω）dω] （10）

式中：[Sxf（ω）]為0均值平穩(wěn)隨機(jī)過程的自譜密度；[i=-1]；“*”表示取復(fù)共軛；[α（ω）]是一個正交增量過程；[a（ω，t）]是一滿足[a（ω，t）=a?（-ω，t）]的調(diào)制函數(shù).

由式（6）知，耗能減震系統(tǒng)的一般響應(yīng)[Sl（t）]（含結(jié)構(gòu)位移、速度及阻尼器受力）的非平穩(wěn)協(xié)方差函數(shù)為：

[E[Sl（t）Sl（t+τ）]=j=15k=15ρljρ?lkE[yj（t）y?k（t+τ）]] （11）

[E[yj（t）y?k（t+τ）]=0t0t+τeSj（t-η） eS?k（t+τ-ξ）Cxg（η，ξ）dηdξ] （12）

將式（10）代入式（12）可得：

[E[yj（t）y?k（t+τ）]=-∞+∞ Yj（ω，t）Y?k（ω，t+τ）Sxf（ω）dω] （13）

[Yj（ω，t）=0t esj（t-η） a（ω，η）eiωηdη ， （j=1， 2， …， 5）] （14）

式（14）為標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)對激勵[a（ω，t）eiωt]的響應(yīng).根據(jù)林家浩等[18]提出的虛擬激勵法原理，若構(gòu)造如下虛擬激勵：

[g（t）=Sxf（ω）a（ω，t）eiωt] （15）

則產(chǎn)生的虛擬響應(yīng)必定為：

[Yj（ω，t）=Sxf（ω）Yj（ω，t）] （16）

則由式（16）和式（13）可分別求得：

[Yj（ω，t）Y?k（ω，t+τ）=Yj（ω，t）Y?k（ω，t+τ）Sxf（ω）] （17）

[E[yj（t）y?k（t+τ）]=-∞+∞ Yj（ω，t） Y?k（ω，t+τ）dω] （18）

由式（14）—式（16）知：

[Yj（ω，t）=0teSj（t-η）g（η）dη] （19）

對式（19）取時間步長[Δt=ti+1-ti]，進(jìn)行數(shù)值離散化得：

[Yj（ω，ti+1）=TYj（ω，ti）+titi+1eSj（ti+1-η）g（η）dη] （20）

式中：[T=eSjΔt].

在很小的時間步長[Δt]內(nèi)，通?？梢哉J(rèn)為激勵是線性變化的，則式（20）可表示為：

[Yj（ω，ti+1）=TYj（ω，ti）+A1g（ti）+A2g（ti+1）] （21）

式中：

[A1=1-TS2jΔt+TSj；A2=T-1S2jΔt-1Sj] （22）

由式（21）可看出，在零初始條件的情況下，即[Yj（ω，0）=0]，可以推導(dǎo)出[ti=iΔt]時的[Yj（ω，ti）]表達(dá)式：

[Yj（ω， t1）=A1g（t0）+A2g（t1）] （23）

[Yj（ω，ti）=Ti-1A1g（t0）+Ti-2A2g（t1）+…+T0A3g（ti-1）+A2g（ti） ， i≥2] （24）

式中：

[A3=TA2+A1] （25）

上式中，若用[Bi，0， Bi，1， …， Bi，i]表示[g（t0） ， g（t1） ， …， g（ti）]的系數(shù)，則式（24）可表示為：

[Yj（ω，ti）=WiJi] （26）

其中：

[Wi=Bi，0Bi，1…Bi，i ] （27）

[Ji=g（t0）g（t1）…g（ti） T] （28）

由以上推導(dǎo)可知，[Yj（ω，ti）]對應(yīng)系數(shù)的計算是一個遞推過程，[ti]時刻所對應(yīng)的系數(shù)[Bi，0， Bi，1， …， Bi，i]只和結(jié)構(gòu)自身有關(guān)，且可用[ti-1]時所對應(yīng)的系數(shù)[Bi-1，0 ， Bi-1，1， …， Bi-1，i-1]表示.

[B1，0=A1B1，1=A2 ， i=1 ] （29a）

[B2，0=TB1，0 B2，1=TA2+A1 ， i=2 B2，2=A1，1 ] （29b）

[Bi，0=TBi-1，0 Bi，1=TBi-1，1 ， 3≤i Bi，l=Bi-1，l-1 ， 2≤l≤i ] （29c）

根據(jù)式（29）建立的系數(shù)遞推關(guān)系式，各時刻對應(yīng)的系數(shù)均可通過遞推式得出.本文方法未計算指數(shù)矩陣，不需求逆計算，與文獻(xiàn)[21]提出的顯式時域分析法相比，縮短了計算時間，提高了計算效率.

將式（26）代入式（18）便可以簡潔的計算出[E[yj（t）y?k（t+τ）]]，即：

[E[yj（t）y?k（t+τ）]=-∞+∞ Yj（ω，t） Y?k（ω，t+τ）dω] （30）

地震工程中，一般研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)方差，即[τ=0]時，上式可簡化為：

[σ2yy=-∞+∞ Yj（ω，t） Y?j（ω，t）dω] （31）

上式為無窮廣義積分，可根據(jù)數(shù)值積分方法來進(jìn)行求解.在實(shí)際計算中，為考慮積分的計算問題，積分上下限一般取有限值，故而設(shè)積分區(qū)間為[-b，b].若采用等間距梯形積分公式來計算，式（31）可寫為：

[σ2yy=Δωn=0pYj（ωn，t）Y?j（ωn，t）] （32）

式中：[p]為離散頻點(diǎn)數(shù)，[Δω=2b/p]，[ωn=nΔω（n=0，1，…，p）].

3 算例

對如圖2所示設(shè)置帶支撐的六參數(shù)實(shí)用粘彈性阻尼器的某單層鋼結(jié)構(gòu)建筑進(jìn)行地震響應(yīng)分析，結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)為：質(zhì)量[m=42 500 kg]，剛度[k=145.43×105 N/m]，結(jié)構(gòu)基本周期[T0=0.339 s]，阻尼比[S0]分別取0.02、0.04、0.08、0.2；支撐剛度[kb=1.5 k]，實(shí)用粘彈性阻尼器的基本參數(shù)為：Kelvin單元的平衡剛度和阻尼分別為[k0=0.36×105 N/m]、[c0=0.37×105（N?s）/m]，Maxwell單元阻尼器兩分支單元的剛度和阻尼分別為[k1=42.08×105 N/m]，[c1=0.83×105（N?s）/m]；[k2=6.87×105 N/m]，[c2=2.15×105（N?s）/m].平穩(wěn)地震動[xf（t）]譜密度函數(shù)取為Kanai-Tajimi譜：

[Sxf（ω）=ω4f+4ξ2fω2fω2（ω2-ω2f）2+4ξ2fω2fω2?S0]

其計算取值為：[ωf=10.9 rad/s]，[ξf=0.96]；[S0=0.015 54 m2/s3].

調(diào)制函數(shù)分別取為階躍型和非均勻調(diào)制函數(shù)Spanos-Solomos型[22]，計算參數(shù)取為：

[a（t）=1]

[a（ω，t）=a1（ω，t）=2 ω5π t e-0.5×0.15+ω225π2t]

在階躍型調(diào)制非平穩(wěn)地震激勵作用下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力隨時間的響應(yīng)方差如圖3—圖5所示.由計算結(jié)果可以看出：在均勻平穩(wěn)激勵下，結(jié)構(gòu)位移、速度和阻尼器受力在經(jīng)過一個時間點(diǎn)后會趨于穩(wěn)定；阻尼比越大結(jié)構(gòu)的3種響應(yīng)均越??；阻尼比越大，達(dá)到平穩(wěn)值的時間越短；同一阻尼比下，結(jié)構(gòu)速度最先達(dá)到平穩(wěn)，阻尼器阻尼力速度其次，結(jié)構(gòu)位移最后達(dá)到平穩(wěn)值.

在Spanos-Solomos型非均勻調(diào)制非平穩(wěn)地震激勵作用下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力響應(yīng)方差如圖6—圖8所示.由計算結(jié)果可以看到：在非均勻激勵下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼力受力具有峰值效應(yīng)，且同一結(jié)構(gòu)響應(yīng)的峰值發(fā)生時間不隨阻尼比的變化而變化；同一阻尼比下，速度最先達(dá)到峰值，阻尼器阻尼力其次，結(jié)構(gòu)位移最后達(dá)到峰值；阻尼比越大3種響應(yīng)對應(yīng)的值就越小.

為了研究支撐剛度對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，研究了結(jié)構(gòu)基本參數(shù)不變時，而支撐剛度分別為0、0.5 k、1 k、1.5 k、2 k，阻尼比取[S0=0.1]時，在2類非平穩(wěn)激勵下的3種響應(yīng).

階躍型調(diào)制非平穩(wěn)地震激勵作用下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力隨時間的響應(yīng)方差如圖9—圖11所示.由計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：在均勻平穩(wěn)激勵下，結(jié)構(gòu)位移、速度和阻尼器受力在經(jīng)過一個時間點(diǎn)后會趨于穩(wěn)定；支架的剛度越大，結(jié)構(gòu)的3種響應(yīng)均越?。恢Ъ軇偠冗_(dá)到結(jié)構(gòu)剛度的1.5倍以上時，結(jié)構(gòu)位移和速度響應(yīng)隨支架的變化基本趨于穩(wěn)定；支架剛度對于阻尼器阻尼力的影響較小.

在Spanos-Solomos型非均勻調(diào)制非平穩(wěn)地震激勵作用下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力響應(yīng)方差如圖12—圖14所示.由計算結(jié)果可以看到：在非均勻激勵下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼力受力具有峰值效應(yīng)，且同一結(jié)構(gòu)響應(yīng)的峰值發(fā)生時間不隨支架剛度的變化而變化；支架剛度達(dá)到結(jié)構(gòu)剛度的1.5倍以上時，結(jié)構(gòu)位移和速度響應(yīng)隨支架的變化基本趨于穩(wěn)定；支架剛度對于阻尼器阻尼力的影響較小.

4 結(jié)論

本文結(jié)合虛擬激勵法對設(shè)置帶支撐實(shí)用粘彈性阻尼器單自由度耗能減震系統(tǒng)基于非平穩(wěn)地震響應(yīng)作用下進(jìn)行了研究.研究表明：

1）在平穩(wěn)激勵作用下，阻尼器阻尼越大，結(jié)構(gòu)響應(yīng)越快達(dá)到平穩(wěn)，說明阻尼對于減震的有效性.

2）在平穩(wěn)激勵作用下，其他條件一致下，結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)最先達(dá)到平穩(wěn)，位移最慢達(dá)到平穩(wěn)，說明阻尼對于結(jié)構(gòu)響應(yīng)的不同步性.

3）在非平穩(wěn)激勵作用下，結(jié)構(gòu)的3種響應(yīng)均存在峰值效應(yīng)，且結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)最先達(dá)到峰值，結(jié)構(gòu)位移最晚達(dá)到峰值，但峰值發(fā)生時間不隨阻尼而改變，說明在非平穩(wěn)激勵下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與結(jié)構(gòu)頻率有關(guān)，且阻尼對于結(jié)構(gòu)不同影響存在相位差.

4）支撐剛度對于結(jié)構(gòu)的位移和速度的響應(yīng)影響較大，對阻尼器阻尼力影響較小.

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Fast solution to non-stationary seismic response of energy dissipation structure with practical viscoelastic damper

LI Chuangdi， ZHU Tengfei， BAI Dalian， GE Xinguang

（School of Civil Engineering And Architecture， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： In order to improve the response analysis efficiency of energy dissipation structure of practical viscoelastic dampers based on non-stationary seismic excitation， the numerical analysis method of random seismic response of practical viscoelastic dampers with single degree of freedom energy dissipation system is systematically studied. Firstly， a six-parameter practical viscoelastic damper with braces is used to model the behavior of viscoelastic dampers. Then， the transient response of the energy dissipation structure is solved by the transfer function method. Finally， based on the virtual excitation method， the time-domain transient responses of energy dissipation structure under unsteady excitation are obtained and two examples including uniform or non-uniform modulated random excitation are given. The examples show that the method has the characteristics of high efficiency and strong engineering application for the calculation of this kind of problem. This provides a reference for the rapid solution of the viscoelastic energy dissipation structure under non-stationary seismic excitation.

Key words： practical viscoelastic damper； energy absorbing structure； non-stationary seismic response； damper force； fast solution

（學(xué)科編輯：黎 婭）