李麗平　馬晨譽

摘要以揭示中國冬、夏季氣溫、降水之間的同期耦合時空特征為例，比較了SVD與MEOF分析所得主要正交模的相關關系及均衡性，論證了SVD方法在揭示兩個要素場序列互相關關系上的優(yōu)越性。結果表明：1）SVD的分解對象僅包含反映兩種要素場相關關系的信息，而MEOF還包含了兩個要素場各自的自相關信息，前者分解對象更純粹。2）MEOF和SVD揭示的氣溫和降水空間耦合模態(tài)正負異常分布大致相似，但相較SVD所揭示的耦合模態(tài)，MEOF分析的冬、夏季氣溫、降水主要正交模存在不均衡現(xiàn)象，即一個主要MEOF正交模往往側重描述兩種異常要素場中的一種，這種差異在冬季尤為突出。SVD方法揭示了中國冬、夏季同期氣溫、降水間局域高溫少降水或低溫多降水是二者主要異常配置，且相關性夏強冬弱。3）比較SVD、MEOF方法同序正交模的相關系數(shù)和均衡度發(fā)現(xiàn)，SVD多數(shù)正交模的相關系數(shù)較MEOF的更大、更穩(wěn)定，且均通過顯著性檢驗，MEOF的冬季部分正交模相關系數(shù)未通過顯著性檢驗；SVD主要正交模的均衡性冬季優(yōu)于MEOF分析、夏季優(yōu)于（第一模態(tài)）或者接近于（第二、三模態(tài)）MEOF分析。故SVD方法是揭示兩要素之間耦合關系的更好方法。

關鍵詞氣溫；降水；SVD；MEOF分析；均衡性；相關性；耦合模態(tài)差異

近50 a來，自然正交函數(shù)（Empirical Orthogonal Function，EOF）分析方法在大氣科學的實際應用中，發(fā)展出適于各種分析目的EOF方法，多變量EOF（Multivariable Empirical Orthogonal Function，MEOF）分析方法（Bretherton et al.，1992；Wang，1992）就是其中一種。MEOF的分析對象，是相同時域上兩個或兩個以上不同變量場時間序列組成的多變量場時間序列，因MEOF分析得到的單個標準化特征向量是兩個或兩個以上變量的聯(lián)合表達（Lorenz，1956），并按時間系數(shù)變化，故MEOF分析方法可以揭示多個變量場間的耦合關系（Bretherton et al.，1992）。奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）方法主要用于兩種要素場時間序列間最強相關聯(lián)系的分析。由于SVD方法對計算條件要求甚高，直到20世紀70、80年代才在大氣科學中得到實際應用（Weare，1977；Wallace and Gutzler，1981；Roger，1984；Palmer and Sun，1985）。國內孫照渤等（1991）、趙紅旭和葛玲（1991）將SVD方法用于大氣環(huán)流及氣候異常的早期研究中，后得到廣泛應用（王盤興等，1997；Wang et al.，2001；謝瑤瑤，2013；李麗平和袁愛軍，2015；孫一等，2015；苗青等，2016）。吳洪寶和吳蕾（2005）系統(tǒng)地介紹了SVD方法原理及應用。

由上可見，MEOF和SVD兩個方法均可用于揭示兩種要素場的耦合時空特征，那它們的分析結果有何差異？使用哪個方法更合理或更具優(yōu)越性？這是個值得探究的有趣問題。本文以分析中國冬、夏季氣溫、降水的耦合相關關系為例，從對比兩方法的分解對象及結果差異的角度，論證兩方法在研究兩要素場耦合關系中的合理性和優(yōu)越性，為科研工作者更好利用這些方法提供參考。

1資料與模方擬合率分析

11資料及分解對象比較

所用資料為中國160站1951—2010年冬、夏季同期平均氣溫（F）、降水（G）的標準化距平場序列，站點數(shù)m1=m2=160，時間序列長度n=60 a。

MEOF方法分解的直接對象是相關系數(shù)方陣D=HHT（對標準化變量），其中，

Hm′×n=Fm1×nGm2×n。 （1）

Hm′×n被簡記為H，是MEOF的分析對象；m′=m1+m2（本文m′=320）。D可寫成分塊矩陣（假定m1Dm′×m′=Am1×m1Cm1×m2CTm2×m1Bm2×m2。 （2）

子矩陣Am1×m1=FFT、Bm2×m2=GGT是F、G的自相關系數(shù)方陣，它們是EOF分析中求特征值、特征向量的矩陣；子矩陣Cm1×m2=FGT及其轉置CT是F、G的互相關系數(shù)矩陣，它包含了F、G中全部同期互相關信息，它是本文SVD的直接分解對象?？梢?，D是包含了F、G自相關（A、B）、互相關（C、CT）全部信息的矩陣，它決定了MEOF分析方法及導出統(tǒng)計量意義比SVD更復雜。

12模方擬合率

1）MEOF模方分析

由表1的方差貢獻率ρh、累積方差貢獻率Ph可知，冬、夏季氣溫、降水 MEOF分析的前10個分量的方差貢獻率均大于按自由度均分的模方擬合率=170%；前3個分量的ρh均大于5×=848%；且冬、夏累計方差貢獻率P3分別為520%、375%，故稱前3個為主要分量，它們是分析重點。

2）SVD模方分析

氣溫、降水同期互相關系數(shù)矩陣記為C=FGT。由表2、3知：冬、夏季C的模方分別為75832、82493，說明夏季氣溫、降水同期相關強于冬季。其中，1）第一類模方擬合率ρh（即對‖C‖2的擬合率）隨h增大迅速減小，前三對正交模累積模方擬合率P3冬、夏季分別達853%、744%，且ρ3/ρ4分別達242、279，故前三對正交模態(tài)最重要。2）第二類模方擬合率fρh、gρh（對‖F(xiàn)‖2、‖G‖2的擬合率）隨h增大而減小的趨勢存在，但它們不是嚴格的非升值序列；前三個奇異向量是擬合冬季的‖F(xiàn)‖2、‖G‖2及夏季的‖F(xiàn)‖2的最重要奇異向量，夏季gρ3對應的奇異向量不是擬合‖G‖2的最重要奇異向量（gρ3是第4大值）。但從兩類模方擬合率總體看，前三對正交模態(tài)對‖F(xiàn)‖2、‖G‖2的擬合最重要，因此，選擇前三對正交模，即左、右奇異向量（h、h）及相應時間系數(shù)序列qh、rh、h=1，3，進行重點分析。

21MEOF主要模態(tài)分析

MEOF特征向量h可以分解為與氣溫F、降水G對應的兩個部分，分別記為h、h。首先，由圖1、2知，冬、夏季氣溫和降水MEOF分析的某些主要特征向量h主要由一個h或一個h構成（陰影區(qū)為異常絕對值相對大值區(qū)），或者說MEOF分析的一個主要正交模往往側重于描述兩種異常要素場中的一種，如冬季1、2分別主要描寫氣溫F、降水G，夏季1主要描寫氣溫F。稱為主要正交模的不均衡現(xiàn)象。

具體而言，反位相異常分布是夏季氣溫、降水MEOF正交模的主要耦合特征（圖2），如第一正交模（圖2a）整個中國東部（100°E以東）基本呈反位相異常分布。第二正交模（圖2b）呈華北、東北與長江流域反位相異常分布，第三正交模（圖2c）大致呈黃淮、江淮流域與華南反位相異常分布。由MEOF分析同序時間系數(shù)的相關系數(shù)（表4）均為正可知，熱旱、涼澇是中國夏季氣溫和降水的主要異常配置。冬季氣溫、降水MEOF第二、三正交模（圖1b、圖1c）中國東部也大致呈反位相異常分布，第一正交模耦合特征較復雜。

另外，MEOF方法給出的中國冬、夏季同期氣溫、降水前三個主要模態(tài)時間系數(shù)與其分量變化趨勢的分析也進一步說明MEOF主要模態(tài)結構的均衡性差（圖略），因篇幅所限，這里不再贅述，下節(jié)給出定量分析來說明。

22SVD主要模態(tài)分析

由夏季同序SVD奇異向量（圖3）知，中國東部氣溫h上的顯著正（深陰影區(qū)）、負（淺陰影區(qū)）異常區(qū)基本與降水h上的反號顯著異常區(qū)一致，而SVD方法給出的相應主要模態(tài)間的異型相關系數(shù)均顯著，且夏季相關強于冬季（表4）。因為異型相關系數(shù)均為正，同樣表明中國東部夏季熱旱、涼澇是常見的異常配置，這與周曉霞等（2007）從單站季氣溫、降水局地同期相關分析得出的結論一致。冬季第一、二對奇異向量相關特征較為復雜，第三奇異向量存在類似夏季的特點（圖4）。

23MEOF和SVD主要模態(tài)異同

分別比較MEOF和SVD所揭示的中國冬季（圖1和圖4）、夏季（圖2和圖3）氣溫和降水主要正交模發(fā)現(xiàn)，兩種方法所得的正交模大致呈相似分布關系，夏季，中國東部呈熱旱、涼澇的基本異常配置；冬季二者耦合關系較為復雜，特別是第一主要耦合模態(tài)。

兩種方法揭示的耦合模態(tài)主要差異在于，MEOF揭示的主要正交模存在明顯不均衡性，即MEOF分析的一個主要正交模往往側重于描述兩種異常要素場中的一種，SVD分析的左右奇異向量則更為均衡地兼顧了兩個要素場的主要異常信息。這種均衡性的差異在冬季更為顯著。盡管夏季均衡性差異略小，但MEOF分析所得正交模的不均衡性體現(xiàn)在最主要的第一正交模。故總體而言，兩種方法正交模的空間分布直觀顯示了MEOF空間耦合模態(tài)的均衡性要差于SVD模態(tài)。

3MEOF和SVD模態(tài)耦合關系度量及比較

上節(jié)從定性角度對比分析了MEOF和SVD揭示的耦合空間模態(tài)異同，下面從兩個方面定量比較MEOF和SVD分析所得主要正交模在揭示F、G兩要素場耦合關系中的差異性。

31相關性度量參數(shù)及其比較

相關性指由SVD、MEOF分析方法揭示的同序正交模（分別與F、G對應）間的相關關系，它由同序時間系數(shù)h、h（MEOF）和qh、rh（SVD）的相關系數(shù)rh度量。其中，h、h是MEOF時間系數(shù)th的分量，記為

SVD的同序時間系數(shù)qh、rh間相關系數(shù)定義式與式（4）類似，它是度量MEOF（SVD）分析第h個正交模中與F、G對應的特征向量h、h（奇異向量h、h）耦合緊密程度的統(tǒng)計量，rh越大耦合越緊密。

表4給出了中國160站60 a冬、夏季氣溫、降水SVD、MEOF分析的rh、h=1，10。由表4知：1）SVD方法給出的多數(shù)正交模（冬9/10、夏8/10）的rh大于MEOF；SVD方法的rh均通過信度α=005的經驗蒙特卡洛法（Empirical Monte Carlo，簡記為EMC法）顯著性檢驗（Iwasaka and Wallace，1995；謝瑤瑤等，2011），而MEOF分析所得正交模冬季rh、h=2、6，10未通過顯著性檢驗。2）SVD的主要模態(tài)（h=1，3）的rh值穩(wěn)定，MEOF的rh則起伏大，甚至出現(xiàn)不顯著值（冬季r2）。3）SVD的夏季rh全部大于冬季同序rh，集中反映了中國氣溫、降水相關性夏強冬弱的季節(jié)變化特征。

32均衡性度量參數(shù)及其比較

均衡性，是指描述MEOF（SVD）分析對象F與G的同序正交模h、h（h、qh）與h、h（h、rh）在擬合F、G模方中的差異。MEOF（SVD）第h個正交模對兩個場F、G各自的方差貢獻率分別記為ρhf（fρh）、ρhg（gρh），用MEOF同序ρhf、ρhg定義均衡度

γh=min（ρhf，ρhg）max（ρhf，ρhg）。（5）

SVD均衡度定義式與式（5）類似。γh在[0，1]上取值，γh越大，說明MEOF中的（h、h）和（h、h）、SVD中的（h、qh）與（h、rh）越均衡，反映了F、G的耦合關系好；反之，γh越小，反映的耦合關系越差。

表5給出了中國160站60 a冬、夏季氣溫、降水SVD、MEOF分析的均衡度γh、h=1，10。由表5知：冬季SVD方法主要（h=1，3）正交模的γh均大于MEOF，夏季SVD主要正交模的γ2、γ3雖小于MEOF，但其值差異相對較?。ㄅc冬季MEOF的γ1、γ2遠小于SVD相比）。故SVD方法所得主要正交模的均衡性優(yōu)于MEOF分析。

上述相關性、均衡性比較表明，若將F、G的耦合關系理解為它們的互關關系，則SVD方法是揭示F、G之間耦合關系的較好方法，MEOF分析方法則存在明顯缺陷。

4結論和討論

以分析中國冬、夏季氣溫、降水之間的耦合關系為例，對比分析了SVD方法和MEOF方法在揭示兩要素場耦合關系中的異同。主要結論如下：

1）據(jù)SVD和MEOF原理，在研究兩要素場耦合關系的分析中，SVD的直接分解對象比MEOF的直接分解對象更純粹，前者僅僅包含反應兩種要素場的互相關信息，而后者還包含了兩個要素場各自的自相關信息。

2）MEOF和SVD揭示的氣溫和降水耦合模態(tài)空間分布大致相似，但相較SVD所揭示的空間耦合模態(tài)，MEOF分析的季氣溫、降水主要正交模存在明顯不均衡現(xiàn)象，即一個主要MEOF正交模往往側重描述兩種異常要素場中的一種；如冬季MEOF第一、第二正交模分別主要描寫氣溫、降水，夏季第一正交模主要描寫氣溫。由SVD方法給出的中國季同期氣溫、降水前三個空間耦合模態(tài)兼顧了兩要素的異常信息，主要模態(tài)時間系數(shù)間異型相關系數(shù)均顯著且為正，夏季相關強于冬季；二者奇異向量顯著相關區(qū)符號相反，故局域高溫少降水或低溫多降水是主要異常配置，且相關性存在夏強冬弱季節(jié)變化特征。

3）比較SVD、MEOF方法同序正交模的相關系數(shù)和均衡度發(fā)現(xiàn)，SVD的多數(shù)正交模相關系數(shù)大于MEOF，且均通過顯著性檢驗，MEOF分析的冬季部分正交模相關系數(shù)未通過顯著性檢驗。SVD主要模態(tài)的相關系數(shù)值穩(wěn)定，MEOF的相關系數(shù)則起伏大，甚至出現(xiàn)不顯著值（冬季r2）。冬季SVD主要正交模的均衡度均大于MEOF，夏季SVD第一正交模均衡度遠大于MEOF，第二、三主要正交模的均衡度雖小于MEOF，但其值差異相對較小。故SVD方法所得主要正交模的均衡性優(yōu)于MEOF分析。

通過第2、3節(jié)定性和定量分析可知，MEOF和SVD方法揭示的季氣溫和降水異常正交?？臻g型雖大致呈相似分布關系，但SVD的多數(shù)正交模相關系數(shù)大于MEOF，且數(shù)值更穩(wěn)定，均通過顯著性檢驗，而MEOF的冬季部分正交模相關系數(shù)未通過顯著性檢驗；冬季SVD正交模的均衡性明顯優(yōu)于MEOF模態(tài)；夏季MEOF正交模均衡性相對較好，與SVD分析結果更接近，但作為反映要素最主要耦合時空特征的MEOF第一正交模卻呈現(xiàn)明顯不均衡特征（主要反映氣溫）。故定性和定量分析均表明，SVD方法相比MEOF是揭示兩要素場耦合關系的更好方法。這實際也從另一個角度佐證了SVD分解對象更純粹，揭示的耦合關系必然更合理的結論1）。

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Comparison of SVD and MEOF analysis on anomalous coupling relationship between temperature and precipitation in winter and summer in China

LI Liping1，2，MA Chenyu1，2，NI Yuman2，3，YUAN Aijun2，4，WANG Panxing1，2

1Collaborative Innovation Center on Forecast and Evaluation of Meteorological Disasters（CICFEMD）/Key Laboratory of Meteorological Disaster，Ministry of Education（KLME），Nanjing University of Information Science & Technology，Nanjing 210044，China；

2School of Atmospheric Sciences，Nanjing University of Information Science & Technology，Nanjing 210044，China；

3Anhui Meteorological Observatory，Hefei 230031，China；

494995 Army Meteorological Observatory，Rugao 226500，China

Taking study on the simultaneous coupling temporal and spatial characteristics between temperature and precipitation of China as an example in winter and summer respectively，the correlation relationship and equilibrium of the main orthogonal modes of SVD and MEOF analysis are compared，and the superiority of SVD method in revealing correlation relationship between two element fields is demonstrated.The main conclusions are as follows：（1） Comparing the principle of SVD with that of MEOF，the direct decomposition object of SVD is more pure and only contains information reflecting correlation relationship between two element fields，while that of MEOF also includes the autocorrelation information of two element fields itself，respectively.（2） The positive and negative anomalous distributions of the spatial coupled modes between air temperature and precipitation revealed by MEOF and SVD are approximately similar，but the main MEOF orthogonal modes between air temperature and precipitation in winter and summer are unbalanced compared with those revealed by SVD.That is，one of the main MEOF orthogonal modes often focuses on describing one of the two anomalous element fields.This difference is especially pronounced in winter.The SVD method reveals that the local high temperature and less precipitation or low temperature and more precipitation are the main abnormal configurations between temperature and precipitation in winter and summer over the same period in China，and the correlation is strong in summer and weak in winter.（3） By comparing the correlation coefficients and equalization of the same order orthogonal modes of SVD with those of MEOF，it is found that the correlation coefficients of most orthogonal modes of SVD are larger and more stable than those of MEOF，and all pass the significance test，and part of correlation coefficients of MEOF orthogonal modes in winter do not pass the significance test.The equalization of SVD main orthogonal modes is superior to that of MEOF analysis in winter，and is superior to （for the first mode） or close to （for the second and third modes） that of MEOF in summer.So the SVD method is a better way to reveal the coupling relationship between the two elements.

temperature；precipitation；SVD；MEOF analysis；equilibrium；correlation；difference of coupling modes

doi：1013878/j.cnki.dqkxxb.20180528001

（責任編輯：張福穎）