孫夢成，徐衛(wèi)亞，王蘇生，王如賓，王偉

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基于最小耗能原理的巖石損傷本構模型研究

孫夢成1, 2，徐衛(wèi)亞1, 2，王蘇生1, 2，王如賓1, 2，王偉1, 2

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，江蘇 南京，210098；2. 河海大學 巖土工程科學研究所，江蘇 南京，210098)

在連續(xù)損傷理論框架下引入最小耗能原理，將巖石統(tǒng)一能量屈服準則作為耗能約束條件，基于各向同性基本假定構建一種新型損傷本構模型。假定以巖石初始屈服點作為損傷閾值，模型考慮損傷閾值對損傷演化規(guī)律的影響；推導巖石三軸壓縮強度和變形參量與模型參數的理論關系。為驗證模型的合理性，對角礫熔巖進行不同圍壓下的常規(guī)三軸壓縮試驗，并分析破壞過程中巖石變形各階段的能量演化特征。研究結果表明：該模型能較好地反映巖石材料在復雜應力條件下的非線性力學行為，且考慮損傷閾值影響的模型對巖石后屈服段的擬合精度更高，對復雜應力條件下的巖石工程安全分析具有參考價值。

巖石力學；最小耗能原理；巖石統(tǒng)一能量屈服準則；損傷閾值；損傷演化方程

漫長的地質演變過程及復雜的三向應力環(huán)境使巖石內部產生大量非連續(xù)且形態(tài)不規(guī)則的隱裂隙、微裂紋、微孔洞及節(jié)理等微缺陷，微缺陷在不同應力條件下的力學響應決定其顯著的宏觀非線性力學特性[1]。大量巖石高邊坡及大型地下洞室開挖工程實踐表明，巖石的力學特性對巖土結構的安全設計和穩(wěn)定性分析尤為重要[2?3]，因此，構建巖石在復雜應力狀態(tài)下的非線性力學本構模型歷來是巖土界的研究熱點之一。為了準確反映巖石的非線性本構關系，基于有效應力概念和LEMAITRE等效應變假說[4]，引入損傷變量構建損傷本構模型已發(fā)展成研究巖石本構關系的一種重要方法。韋立德等[5?7]假定巖石內部微缺陷隨機分散，巖石微元強度服從概率分布，結合連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計規(guī)律，構建了可描述巖石應變軟化特性的彈塑性統(tǒng)計損傷本構模型；曹瑞瑯等[8?10]基于體積變化和峰后殘余強度對損傷變量的影響，修正模型參數并考慮損傷閾值，使巖石統(tǒng)計損傷本構研究得到進一步發(fā)展。但巖石損傷同時受材料內的微缺陷和巖石微元所受應力狀態(tài)的影響，上述模型存在一定的局限性。巖石變形破壞的實質是其內部能量耗散和釋放的過程，能量耗散是損傷逐步發(fā)展的內動力[11]，為更深層次地分析巖石破壞過程的能量耗散與損傷演化的關系，眾多研究者從能量角度對巖石非線性力學特性展開研究并取得了許多成果。劉天為等[12?13]開展了巖石室內三軸壓縮試驗，通過計算加載各階段的能量轉換量，研究了巖石加載變形過程的能量耗散規(guī)律；謝和平等[14?17]在不可逆熱力學框架下，基于能量耗散原理推導了損傷演化方程并建立了巖石損傷本構；依據巖石損傷演化的能量耗散過程符合最小耗能原理的客觀規(guī)律，高瑋 等[18?19]運用最小耗能原理研究了花崗巖在單軸壓縮下的損傷演變規(guī)律，為巖石損傷研究提供了一條新路徑?？梢?，研究復雜應力條件下巖石的非線性本構關系時，很少將最小耗能原理運用于巖石損傷演化方程的建立，已有基于能量原理的損傷本構中較少考慮損傷閾值的影響。鑒于此，本文作者基于最小耗能原理和連續(xù)損傷理論，引入巖石統(tǒng)一能量屈服準則為耗能約束條件，建立基于最小耗能原理的新型損傷本構模型。此外，對角礫熔巖開展不同圍壓下的常規(guī)三軸壓縮試驗，結合試驗結果分析巖石變形各階段的能量轉換關系，在此基礎上驗證所建損傷本構模型的合理性。

1 巖石損傷本構模型

1.1 損傷演化方程推導

巖石內部從萌生初始裂隙到貫通為宏觀裂紋導致整體破壞，其實質是損傷變量逐漸增大，直至臨界值的過程。巖石損傷演化伴隨著能量的不可逆耗散，在封閉無熱交換的系統(tǒng)內，巖石單元耗散能d滿足：

式中：為巖石單元總應變能，由試驗機壓縮巖樣作功1和巖樣沿徑向變形壓縮液壓油作功2組成；e為巖石單元可釋放彈性應變能；和(=1，2，3)為巖石單元的名義主應力和主應變。

在常規(guī)三軸應力狀態(tài)下(2=3)，假定加載中巖石損傷為各向同性且泊松比不受損傷影響，即1=2=3=，1=2=3=(其中，為損傷巖石的卸載彈性模量，為材料損傷前的名義泊松比)。將泊松比=?3/1代入式(1)~(3)得

在巖石三軸壓縮試驗中，通常先施加圍壓到預設值，再施加軸向應力至巖樣破壞?，F階段計算單元應變能時一般不考慮施加軸向應力前巖石在圍壓作用下產生的初始應變10和初始應變能0，為精確反映巖樣在各階段的能量轉換特征，結合式(4)對巖石應變能進行修正，得到巖石單元實際應變能1：

式中：10為初始壓密段的初始應變；0為巖石損傷前的初始彈性模量。在主應力空間中，巖石單元可釋放彈性應變能[17]為

式中：為巖石的卸載彈性模量。為簡化數值分析，取初始彈性模量0代入計算。

結合式(6)和式(7)，整理得常規(guī)三軸應力狀態(tài)下的巖石單元耗散能為

在巖石損傷破壞各階段，將系統(tǒng)的熱力學變化看作是一種平衡被打破和重建的過程。當巖石內產生裂隙時，當前平衡狀態(tài)被打破；當能量耗散趨于穩(wěn)定時，系統(tǒng)處于新的平衡狀態(tài)。因此，巖石的損傷演化是符合最小耗能原理的能量耗散過程，可以通過研究能量耗散率分析損傷演化規(guī)律。

最小耗能原理[20]指出：所有耗能過程都在對應的約束條件下沿最小耗能路徑進行。“沿最小耗能路徑進行”指瞬時耗能率對應于耗能過程的任何時刻均為最小值，物理變量需滿足的控制方程即耗能約束條件。

在彈性損傷模型中，假定損傷產生的不可逆應變?yōu)閹r石破壞過程中的唯一耗能機制，材料耗能率定義為

將式(11)代入式(9)，耗能率可表示為

式中：和為材料參數，表征巖石初始屈服時剪切應變能與體積變形能的數值關系；為內摩擦角；和分別為剪切模量和體積模量。

根據最小耗能原理，在材料耗能損傷過程的任意時刻，耗能率都在對應耗能約束條件下取駐值，引入待定Lagrange乘子*，可表達為

結合式(13)~式(15)，推導得損傷演化方程為

巖石損傷存在閾值問題[9]，巖石損傷當應變達到閾值后開始發(fā)展，在損傷閾值前處于線彈性變形階段。因而，需要考慮損傷演化規(guī)律的閾值影響，引入損傷閾值應變0后的損傷演化方程表示為

對于常規(guī)三軸壓縮試驗，試驗實測軸向偏應力1t為實際軸向表觀應力1與圍壓3的差值，表示為

為真實反映應力?應變關系，需要考慮巖石初始壓密過程，根據式(5)和實測應變1t將軸向表觀應變1修正為

將式(18)~(20)代入式(10)，得基于最小耗能原理的巖石損傷本構為

1.2 損傷閾值確定和模型參數辨識

損傷閾值通常需要借助CT實時細觀試驗或聲發(fā)射技術來進行定量分析。EBERHARDT等[22]研究花崗巖的脆性破壞特性時，定義損傷閾值為體積應變?軸向應變曲線駐點處的應力水平，并分析了花崗巖損傷階段的力學參數演化規(guī)律。鑒于巖石在體積擴容起始點之后，巖石內部產生塑性變形且力學性質開始弱化，為簡化分析，將初始屈服點與體積擴容應力點建立聯系，并確定體積擴容點為損傷閾值。根據角礫熔巖在不同圍壓下的三軸壓縮試驗結果，確定體積應變?軸向應變曲線駐點處的軸向應變?yōu)閾p傷閾值應變0。

考慮角礫熔巖在低圍壓下的應變軟化特征，采用巖石應力?應變曲線的峰值點強度辨識模型參數，使參數具有明確的物理含義。假定圍壓下巖石的應力?應變曲線峰值點處應力、軸向應變和徑向應變?yōu)閟，1s和3s；由應力?應變曲線的極值性，在峰值點處，有

2 角礫熔巖三軸壓縮試驗及能量演化特征

2.1 角礫熔巖三軸壓縮試驗

角礫熔巖三軸壓縮試驗在河海大學巖石流變力學實驗室?guī)r石三軸伺服測試系統(tǒng)上完成，對角礫熔巖巖樣開展圍壓為6，8，10 MPa的常規(guī)三軸壓縮試驗。按照國際巖石力學學會(ISRM)標準[23]，將角礫熔巖原狀樣打磨成直徑×高度為50 mm×100 mm的標準圓柱體，所選巖樣的均勻性和完整性均滿足試驗規(guī)范，對應于圍壓6，8和10 MPa下的巖樣編號分別為B-J-01，B-J-02和B-J-03。角礫熔巖試樣如圖1所示。

試驗以軸向位移控制方法實施，先按靜水壓力條件施加圍壓至預設值，待圍壓施加完畢并穩(wěn)定后按0.02 mm/min速率施加軸向偏壓至巖樣破壞。在整個加載過程中，伺服測試系統(tǒng)自動記錄施加的軸向荷載，并由安裝在壓力室底座的2個高精度LVDT和固定在試樣上的1個應變測量環(huán)分別記錄軸向和徑向變形量。

圍壓/MPa：(a) 6；(b) 8；(c) 10

圖2所示為破壞后的巖石試樣。從圖2可看出：巖樣在三軸壓縮應力路徑下均為單截面剪切破壞，且在低圍壓狀態(tài)下由于圍壓對巖樣徑向約束作用較弱，破壞時巖樣兩端易于產生張拉性裂紋；在高圍壓下，因靜水壓力約束試樣徑向膨脹變形，抑制了巖樣內部張性裂隙的發(fā)育和擴展，其破壞形式主要為剪切滑移破壞。

圍壓/MPa：(a) 6；(b) 8；(c) 10

按照上述試驗方案，對角礫熔巖開展常規(guī)三軸壓縮試驗得到應力?應變關系曲線和體積應變?軸向應變曲線，分別如圖3和圖4所示。從圖3可見：隨著圍壓增加，抗壓強度分別為147.04，170.10和185.95 MPa，表明初始圍壓的增加能夠顯著提高巖石的強度；在初始圍壓下，巖樣內部微裂隙逐漸閉合且顆粒骨架更密實；此外，加載時圍壓作用限制巖石內原生裂隙面間的摩擦滑移，使內部裂紋貫通更困難，增強了巖石抗壓能力。根據室內三軸壓縮試驗結果，整理得出角礫熔巖的力學強度參數如表1所示。

圍壓/MPa：(a) 6；(b) 8；(c) 10

據圖4所示應變關系曲線可確定體積應變?軸向應變曲線駐點為初始屈服點，計算得到不同圍壓下的角礫熔巖在初始屈服處的剪切應變能與體積應變能近似符合線性關系，表明巖石統(tǒng)一能量屈服準則能較好地描述角礫熔巖的屈服特性，結合試驗結果擬合式(14)，確定屈服準則(1，3)的材料參數=0.032，=7.960。

圍壓/MPa：1—6；2—8；3—10。

表1 角礫熔巖常規(guī)三軸壓縮試驗力學參數

注：黏聚力為15.68 MPa；內摩擦角為53.39°。

2.2 三軸壓縮角礫熔巖的能量特征

基于能量數值計算原理，采用表1所示的力學參數，計算得到角礫熔巖壓縮破壞過程中能量演化與偏應力的關系如圖5所示。根據能量演化規(guī)律和應力?應變關系，巖石破壞過程可分為4個階段。

1) 初始非線性段()。巖石單元可釋放彈性能U增大速度緩慢，表明加載初期外荷壓縮巖樣做功主要用于材料內部孔隙閉合和顆粒骨架彈性變形。

2) 線彈性段()。隨著偏應力逐漸增大，巖樣內部原生裂隙閉合完全，應力?應變關系趨于線性且?guī)r石內部顆粒骨架產生線彈性變形并將外荷做功儲存為可釋放彈性勢能，巖石吸收總能量和可釋放彈性能快速增加，耗散能仍不增大。

圍壓/MPa：(a) 6；(b) 8；(c) 10

3) 破裂發(fā)展段()。當應力水平超過初始屈服點后，巖石內部微裂紋快速擴展并產生塑性變形，損傷開始發(fā)展導致巖石強度逐漸弱化，巖石呈現出非線性力學特征?？舍尫艔椥阅茉鏊僮兙彶⒃诜逯祽μ庍_到極值而耗散能快速增加，巖石單元總應變能以塑性能、熱能等其他形式被耗散。

4) 峰后應變軟化段()。隨著巖石損傷逐漸加強，內部裂紋不斷擴展并貫通為宏觀破壞面，能量達到巖石破壞所需的耗散能時快速釋放導致巖樣整體破壞。

表2所示為不同圍壓下的角礫熔巖三軸壓縮過程的能量特征統(tǒng)計值，對應于峰值強度的巖石單元可釋放彈性能和吸收總應變能分別定義為極限彈性能和破壞總應變能。分析表2可知：峰值處耗散能和極限彈性能表現出明顯的圍壓效應，且初始屈服應力也隨著圍壓的增大而增高，B-J-01巖樣在初始圍壓6 MPa下破壞時峰值處耗散能為0.092 MJ·cm?3，極限彈性能為0.393 MJ·cm?3；B-J-02巖樣施加初始圍壓8 MPa，破壞時峰值處耗散能為0.237 MJ·cm?3，極限彈性能為0.434 MJ·cm?3；B-J-03巖樣在初始圍壓10 MPa下，巖樣破壞時峰值處耗散能為0.303 MJ·cm?3，極限彈性能為0.521 MJ·cm?3；對應于6，8，10 MPa初始圍壓下，巖樣在屈服階段損傷發(fā)展耗散的能量占破壞總應變能的比例分別為30.75%，48.86%，56.39%。

結合圖5分析角礫熔巖的能量演化規(guī)律，能量主要耗散于巖石的后屈服變形段，巖石內部損傷隨著耗散能的快速增加而開始發(fā)展，巖石剛度逐漸弱化；當耗散的能量達到巖石破壞所需的耗散能時，其內部可釋放彈性能導致巖樣整體破壞，且初始圍壓愈高，巖石破壞時耗散的能量愈多，在損傷發(fā)展階段耗散的能量占總應變能的比例愈大；在高圍壓條件下，巖石破壞時內部積累的可釋放彈性能越多，發(fā)生破壞的程度越劇烈。因此，能量耗散是巖石內部裂隙發(fā)展的內動力，能夠在分析能量演化規(guī)律的基礎上，通過研究能量耗散率以分析損傷演化規(guī)律。

表2 角礫熔巖三軸壓縮的能量特征值

3 模型驗證及損傷演化規(guī)律分析

表3 模型參數

將表3中的模型參數代入式(18)，得出不同圍壓下的巖石損傷演化曲線如圖7所示。從圖7可見：在加載初期，隨著應力水平增加，巖石內部的微裂隙和微空洞逐漸閉合且顆粒骨架產生彈性變形，但產生的軸向應變1較小且低于損傷閾值應變0，巖石應力?應變關系基本呈線性關系，損傷變量=0，即巖樣在線彈性階段不產生損傷；隨著應力水平進一步提高，當巖樣所受應力超過一定水平時，軸向應變1高于損傷閾值應變后損傷開始發(fā)展，且損傷變量與軸向應變呈非線性關系；巖石內部的微裂隙快速擴展，局部裂隙密集并貫通產生宏觀裂紋，裂紋間經階梯狀連接成主破壞面。根據角礫熔巖的能量演化規(guī)律，巖石內部的裂隙發(fā)展需要耗散能量，且在屈服階段耗散能快速增大，當應力水平趨近峰值強度時損傷變量急劇增大，致使巖石剛度顯著弱化，表明損傷演化規(guī)律與能量耗散規(guī)律和試驗曲線的非線性特征相符。對比不同圍壓下的損傷演化曲線發(fā)現：隨著初始圍壓增加，對應于不同圍壓下巖石的損傷閾值逐漸增大，表明圍壓作用改善了巖石內部受力狀態(tài)，從而抑制了微裂隙 發(fā)展。

圍壓/MPa：(a) 6；(b) 8；(c) 10

圍壓/MPa：1—6；2—8；3—10

4 結論

1) 基于連續(xù)損傷理論和各向同性假定，運用最小耗能原理導出巖石損傷演化方程，建立了復雜應力條件下的巖石損傷本構模型。對比分析角礫熔巖常規(guī)三軸壓縮試驗結果與理論結果，驗證了損傷模型的合理性，表明模型能較好地反映巖石在不同圍壓下的應力應變關系。

2) 巖石損傷演化的實質是能量耗散。隨著圍壓增加，巖石在損傷發(fā)展階段耗散的能量占總應變能的比例越大，且其破壞時需耗散的能量越多；破壞時，巖石內積累的可釋放極限彈性能具有明顯的圍壓效應，初始圍壓越高，破壞釋放的彈性能越多，破壞程度越劇烈。

3) 結合巖石損傷特性考慮損傷演化規(guī)律的閾值問題，將巖石的初始屈服點與體積擴容應力點建立聯系，以巖石體積擴容點作為損傷閾值，本模型能合理地反映巖石變形前期的線彈性特性和后屈服段的非線性力學行為，更加接近實際情況。

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(編輯 陳燦華)

Study on damage constitutive model of rock based on principle of minimum dissipative energy

SUN Mengcheng1, 2, XU Weiya1, 2, WANG Susheng1, 2, WANG Rubin1, 2, WANG Wei1, 2

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechanics and Embankment Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China; 2. Institute of Geotechnical Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China)

The principle of minimum dissipative energy was introduced based on the continuum damage theory. Taking unified energy yield criterion of rock as the constraints of energy dissipation, a new damage constitutive model was proposed based on the assumption of isotropy. The new damage constitutive model took into account the influence of damage threshold which was assumed to be the starting point of initialyield phase. Furthermore, the theoretical correlation between model parameter and deformation moduli of rock under triaxial compression was deduced. A series of conventional triaxial tests on breccia lava samples were carried out under different confining pressures, and evolution characteristics of energy at different stages of rock deformation and failure were analyzed to verify the rationality of model. The results show that the model can not only reflect the nonlinear mechanical characteristics of rock materials under complicated stress condition, but also has high fitting precision on post-yield stage of rock, which can provide reference for safety analysis of rock engineering under complicated stress condition.

rock mechanics; the principle of minimum dissipative energy; unified energy yield criterion of rock; damage threshold; damage evolution equation

TU452

A

1672?7207(2018)08?2067?09

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.08.029

2017?09?08；

2017?11?12

國家自然科學基金資助項目(51479049，51679069)；江蘇省研究生科研與實踐創(chuàng)新計劃項目(KYCX17_0471, 2017B700X14)(Projects(51479049, 51679069) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(KYCX17_0471, 2017B700X14) supported by the Postgraduate Research & Practice Innovation Program of Jiangsu Province)

徐衛(wèi)亞，博士，教授，從事巖土力學與工程研究；E-mail：wyxu@hhu.edu.cn