張 亞,安佰玲

1.滁州城市職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，滁州，239000;2.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,淮北,235000

1 相關(guān)研究與問題提出

概率密度函數(shù)是概率統(tǒng)計(jì)概念，主要用于計(jì)算數(shù)據(jù)密度大小[1]。一般情況下，設(shè)求解數(shù)據(jù)總體X對(duì)應(yīng)的求解密度函數(shù)為f(x)，在總體數(shù)據(jù)X中抽取樣本數(shù)據(jù)記為x1,x2,…,xn，根據(jù)給定的樣本完成概率密度函數(shù)f(x)計(jì)算[2]。 目前，對(duì)于該函數(shù)的求解方法有很多種，應(yīng)用較多的方法有最近鄰密度估計(jì)法、正交序列估計(jì)法、核估計(jì)法和直方圖估計(jì)法等[3]。

各個(gè)領(lǐng)域在應(yīng)用該函數(shù)時(shí)，異?，F(xiàn)象越來越頻繁，主要表現(xiàn)為數(shù)據(jù)缺失[4]。為了避免數(shù)據(jù)缺失情況對(duì)概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果造成影響，我國(guó)在此方面投入了大量資金，并設(shè)置了相關(guān)自然科學(xué)基金項(xiàng)目[5]。目前，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于缺失數(shù)據(jù)情形下概率密度函數(shù)的研究成果較少[6]。國(guó)外學(xué)者在此方面的研究成果更多，對(duì)于協(xié)變量有缺失的情況，利用參數(shù)模型，提出了概率密度函數(shù)估計(jì)方法[7]。除此之外，針對(duì)響應(yīng)變量缺失情況，提出逆概率權(quán)法與校正法，充分分析了概率密度函數(shù)漸進(jìn)性質(zhì)，并對(duì)函數(shù)進(jìn)行了估計(jì)計(jì)算[8]。在缺失數(shù)據(jù)情況下，極少有文獻(xiàn)考慮經(jīng)驗(yàn)似然置信區(qū)間問題，并作出數(shù)值試驗(yàn)。

2 數(shù)據(jù)缺失機(jī)制概述

從缺失機(jī)制與方式角度，可以將缺失數(shù)據(jù)樣本歸為以下三種類型。

(1)隨機(jī)缺失樣本：是一種依賴完全變量的數(shù)據(jù)樣本。

(2)完全隨機(jī)缺失樣本：要求數(shù)據(jù)缺失既與完全變量無關(guān)，又與不完全變量無關(guān)。

(3)非隨機(jī)缺失樣本：該樣本相比上述兩種樣本要繁瑣一些，通常情況下，區(qū)分該樣本采用的方法為排除法，如果數(shù)據(jù)樣本不滿足上述兩種樣本要求，則認(rèn)為其為非隨機(jī)缺失樣本[9]。

目前，處理缺失數(shù)據(jù)的方法主要有兩種，分別是完全記錄單位法和填補(bǔ)法，前者包括刪除法和加權(quán)調(diào)整法，后者包括單一填補(bǔ)法和多重填補(bǔ)法[10]。

3 缺失數(shù)據(jù)情形下的概率密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用研究

3.1 非參數(shù)回歸填補(bǔ)法

(1)完整樣本數(shù)據(jù)情形。

(2)缺失樣本數(shù)據(jù)情形。

當(dāng)函數(shù)集{Yj}出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失情況時(shí)，需要立即調(diào)整數(shù)據(jù)，然而在調(diào)整數(shù)據(jù)的過程中發(fā)現(xiàn)，在MAR假設(shè)條件下，

在上述公式中,U(x,y)=Q[Hd(y-Y|X=x)]，因此，使用非參數(shù)回歸填補(bǔ)法求解函數(shù)f(y)的估計(jì)計(jì)算公式為：

3.2 逆概率權(quán)方法

該方法的估計(jì)計(jì)算方案如下：

首先，在滿足X=x條件下，給定Y不缺失概率，用λ(x)表示，即λ(x)=P(σ=1|X=x)，并且將其記為λ(xj)=λj,1≤j≤m，

(1)當(dāng)λj為已知量時(shí)，在MAR假設(shè)條件下

由上述公式可以得到逆概率權(quán)填補(bǔ)法的估算公式為

(2)一般情況下，λj未知，在估計(jì)計(jì)算時(shí)，可以使用以下方法對(duì)函數(shù)λ(x)進(jìn)行估算：

在上述公式中，{Wmi(x):1≤i≤m}屬于一組完全依賴函數(shù)集{x,Xj:1≤j≤m}的非負(fù)權(quán)函數(shù)。

4 缺失數(shù)據(jù)情形概率密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用與分析

4.1 應(yīng)用方案

為了探究本文提出的兩種估算方案是否可行，將提出的估算方法應(yīng)用到實(shí)際求解中，驗(yàn)證方案的可行性，最終達(dá)到解決缺失數(shù)據(jù)情形概率密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)問題。

對(duì)非參數(shù)回歸填補(bǔ)估計(jì)方案，通過分析構(gòu)造函數(shù)f(y)經(jīng)驗(yàn)似然置信區(qū)間，完成方案驗(yàn)證。采用同樣的應(yīng)用思路，探究逆概率權(quán)填補(bǔ)漸進(jìn)置信區(qū)間。

在MAR 缺失機(jī)制下，設(shè)置如下數(shù)據(jù)缺失情形：

λ1(x)=P(σ=1|X=x)

={1+exp(-0.5x)}-1

針對(duì)上述情形，生成不完全樣本數(shù)量5 000，表示形式為{xi,Yi,σi,i=1,2,…,m}，其中m取值260,200,140，同時(shí)取定區(qū)間1-α=0.95。使用上述不完全數(shù)據(jù)樣本，采用逆概率權(quán)填補(bǔ)法和非參數(shù)回歸填補(bǔ)法對(duì)樣本函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然置信區(qū)間覆蓋概率(CP)進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)求取平均區(qū)間長(zhǎng)度(AL)。

4.2 應(yīng)用結(jié)果與分析

按照上述應(yīng)用方案執(zhí)行，得到的結(jié)果真值在置信區(qū)間右方比率記為U，左方比率記為L(zhǎng)，得到的結(jié)果見表1-3。

表1-3中的數(shù)據(jù)表明：(1)對(duì)于平均區(qū)間長(zhǎng)度,采用非參數(shù)回歸填補(bǔ)法得到的置信區(qū)間長(zhǎng)度值更大一些；(2)當(dāng)樣本容量逐漸增加時(shí)，CP逐漸增加，最終達(dá)到0.95，在此期間，區(qū)間長(zhǎng)度值有所減??；(3)接近名義覆蓋水平的覆蓋率獲取方法為逆概率權(quán)填補(bǔ)法。

表1 f(0.6)不同樣本容量m下的兩種方法的AL與CP結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

表2 f(0.8)不同樣本容量m下的兩種方法的AL與CP結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

表3 f(1)不同樣本容量m下的兩種方法的AL與CP結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

5 結(jié) 語

本文對(duì)缺失數(shù)據(jù)情形概率密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用進(jìn)行研究。研究依據(jù)概率密度函數(shù)理論和數(shù)據(jù)缺失機(jī)制理論，制定缺失數(shù)據(jù)情形概率密度函數(shù)估計(jì)方法，包括非參數(shù)回歸填補(bǔ)法和逆概率權(quán)方法。通過分析實(shí)際應(yīng)用結(jié)果可知，使用非參數(shù)回歸填補(bǔ)法可以得到較大的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度值，而逆概率權(quán)填補(bǔ)法的應(yīng)用結(jié)果更加接近名義覆蓋水平覆蓋率，CP隨著樣本容量的增加而變大，逐漸接近0.95。