楊怡澤，楊洪勇，劉 凡

(1.魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東 煙臺 264025；2.新南威爾士大學(xué)電氣工程與信息學(xué)院，澳大利亞 悉尼)

0 引言

多智能體系統(tǒng)作為分布式系統(tǒng)的一個(gè)主要分支,在無人機(jī)編隊(duì)、機(jī)器人控制、分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)等多個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用引起了眾多研究者的廣泛關(guān)注，多智能體系統(tǒng)群集運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為分布式系統(tǒng)中非常重要的研究課題。研究人員主要關(guān)注多智能體系統(tǒng)的一致性、群集運(yùn)動(dòng)、動(dòng)態(tài)編隊(duì)等協(xié)調(diào)控制問題，分析多智能體系統(tǒng)在各種環(huán)境下實(shí)現(xiàn)協(xié)同一致的收斂條件。

針對多智能體系統(tǒng)一致性問題的研究很多[1-6]，文獻(xiàn)[1]研究了具有動(dòng)態(tài)領(lǐng)航者的時(shí)延多自主體系統(tǒng)的一致性。文獻(xiàn)[2]研究了具有輸入時(shí)延的多自主體系統(tǒng)的一致性問題。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別就基于均勻采樣控制的二階多智能體系統(tǒng)和基于事件的廣義線性多智能體系統(tǒng)，討論了跟隨一致性控制問題。文獻(xiàn)[5]研究了在脈沖控制策略下具有動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的二階一致性問題。文獻(xiàn)[6]討論了有向網(wǎng)絡(luò)下帶有不同時(shí)變時(shí)延的多智能體系統(tǒng)平均一致性。

前面文獻(xiàn)的研究結(jié)果主要關(guān)注的是多智能體系統(tǒng)的無限時(shí)間漸近收斂，而在實(shí)際工程應(yīng)用中，需要系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，也就是要求系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定。對于多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂問題，文獻(xiàn)[7]研究了一組相互作用的智能個(gè)體的有限時(shí)間一致性問題。文獻(xiàn)[8]基于圖論、矩陣?yán)碚?、同質(zhì)化的擴(kuò)張和LaSalle不變性原則，設(shè)計(jì)了多自主體的控制協(xié)議，并詳細(xì)分析了leader-following系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性。文獻(xiàn)[9]提出了一種連續(xù)時(shí)間非線性分布式協(xié)同控制協(xié)議，研究了異構(gòu)多自主體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性。文獻(xiàn)[10]給出有限時(shí)間一致性控制協(xié)議,并對所提出的網(wǎng)絡(luò)協(xié)議進(jìn)行了理論分析，證明了當(dāng)通信拓?fù)錇槁?lián)合連通情況時(shí),系統(tǒng)在有限時(shí)間可以達(dá)到一致。文獻(xiàn)[11]研究了具有領(lǐng)航者的多自主體系統(tǒng)的快速有限時(shí)間一致性跟蹤控制問題。文獻(xiàn)[12]總結(jié)了有限時(shí)間控制系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀，給出了有限時(shí)間控制系統(tǒng)的多種判定條件。

實(shí)際工程應(yīng)用中，系統(tǒng)性能會(huì)受到外部干擾的影響。考慮外部干擾等不確定因素的存在，要求多智能體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡最終會(huì)穩(wěn)定在預(yù)設(shè)的目標(biāo)范圍內(nèi)。針對具有干擾的離散時(shí)間系統(tǒng)的一致性問題的研究，文獻(xiàn)[13]利用網(wǎng)絡(luò)通信協(xié)議和性能拉普拉斯矩陣，把連續(xù)時(shí)間線性多自主體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為離散線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[14]研究了具有采樣時(shí)延的離散時(shí)間系統(tǒng)，系統(tǒng)中每個(gè)智能體的控制輸入只采用其鄰域內(nèi)的其他智能體的狀態(tài)信息，得到了系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)一致跟蹤的充要條件。文獻(xiàn)[15]研究了存在建模不確定和擾動(dòng)項(xiàng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題，給出了系統(tǒng)有限時(shí)間有界的充分條件。文獻(xiàn)[16]研究了在脈沖控制策略下帶有隨機(jī)擾動(dòng)的時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的一致性。文獻(xiàn)[17]研究了在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，對有外界干擾的二階離散多智能體系統(tǒng)的均方有界一致性問題。

多智能體系統(tǒng)的包容控制問題，實(shí)際上就是一類網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的群集運(yùn)動(dòng)。近年來，對離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)群集運(yùn)動(dòng)的研究較少，尤其是對具有外部干擾的多領(lǐng)航者帶領(lǐng)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的有限時(shí)間包容控制問題研究更少。本文利用現(xiàn)代控制理論和線性矩陣不等式，研究離散時(shí)間情況下具有干擾的多智能體系統(tǒng)的群集運(yùn)動(dòng)問題。設(shè)計(jì)了系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器，分析了系統(tǒng)在雙向通信網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下能夠?qū)崿F(xiàn)群體跟蹤的有限時(shí)間收斂條件。最后對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，證明整個(gè)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定。

1 代數(shù)圖論及相關(guān)引理

本文研究動(dòng)態(tài)多自主體系統(tǒng)的群集運(yùn)動(dòng)，智能個(gè)體之間通過傳感器進(jìn)行相互通信。假設(shè)智能個(gè)體為一個(gè)點(diǎn)，個(gè)體之間相互感應(yīng)作為連線，這樣動(dòng)態(tài)多自主體系統(tǒng)組成了一個(gè)具有雙向通信的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D。

定義1：設(shè)集合X={x1,x2,…,xn}為實(shí)向量空間的子集，X的凸包定義為

注釋1：具有多領(lǐng)航者的多自主體系統(tǒng)的群體跟蹤，在多個(gè)領(lǐng)航者的引導(dǎo)下，動(dòng)態(tài)自主跟隨者在外部控制作用下可以收斂到由領(lǐng)航者所圍成的幾何區(qū)域內(nèi)，該幾何區(qū)域就是由多個(gè)領(lǐng)航者組成的一個(gè)凸包。

1)S<0；

引理2：給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D和E,其中Y是對稱的，則

Y+DFE+EΤFΤDΤ<0

對所有滿足FΤF≤I的矩陣F成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε>0使得

Y+εDDΤ+εΤEΤE<0。

2 離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)包容控制算法分析

考慮如下形式的離散時(shí)間多智能體動(dòng)態(tài)方程：

(1)

其中，xi(t)∈Rn是智能體i的位置狀態(tài)，ui(t)∈Rn是系統(tǒng)的控制輸入(即一致性算法/協(xié)議)，ω(k)∈Rn為系統(tǒng)的外部干擾且滿足ωΤ(k)ω(k)0為給定的標(biāo)量，G為干擾增益矩陣。假設(shè)多智能體系統(tǒng)的控制協(xié)議為

(2)

其中，β>0為控制增益。

定義2：多智能體系統(tǒng)(1)被稱為實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致性包容控制，如果存在一個(gè)時(shí)間T0∈[0,+∞)，使得各個(gè)智能體的最終狀態(tài)滿足

定義3：給定正數(shù)δ，ε，d，N,且δ<ε，R為正定矩陣，離散時(shí)間系統(tǒng)

x(k+1)=x(k)+u(k)+ω(k)

關(guān)于(δ，ε，R，d)是有限時(shí)間有界的，如果xΤ(0)Rx(0)≤δ2，都有xΤ(k)Rx(k)≤ε2成立。其中外部干擾ω(k)滿足條件ωΤ(k)ω(k)

定理1：應(yīng)用通信協(xié)議(2)的離散時(shí)間多智能系統(tǒng)(1)是有限時(shí)間有界的，如果存在兩個(gè)正定矩陣P1，P2，標(biāo)量γ>1，使得下列兩個(gè)矩陣不等式成立

(3)

(4)

證明：多智能體系統(tǒng)(1)的方程可變化為

(5)

其中控制器為

u(k)=-β(LFXF(k)+LFKXK(k))

(6)

(7)

多智能體動(dòng)態(tài)方程可以改寫為

(8)

令A(yù)=In+(-βLF)，得

(9)

假設(shè)

(10)

其中γ>1，有式(11)。

(11)

(12)

其中

則有

由于

如果

(13)

由Suchur補(bǔ)引理1可得，式(13)等價(jià)于式(3)，即

(14)

假設(shè)(10)成立。根據(jù)定義3，可得多智能體系統(tǒng)(1)有限時(shí)間有界。

注釋2：由于式(14)不是線性矩陣不等式，所以將式(14)左右各乘式(15),

(15)

令Q=P-1，得到式(16),即

(16)

矩陣不等式(16)為一個(gè)線性矩陣不等式，可以利用Matlab中的LMI工具箱求解計(jì)算。

當(dāng)γ=1時(shí)，由定理1可得如下推論：

推論1：系統(tǒng)關(guān)于(δ，ε，R，d，N)是有限時(shí)間有界的，如果存在兩個(gè)正定矩陣P1，P2，使得下列兩個(gè)矩陣不等式成立

(17)

(18)

注釋3：假設(shè)系統(tǒng)中不存在干擾，也就是G=0。則多智能體系統(tǒng)是有限時(shí)間收斂的，如果存在一個(gè)正定矩陣P1，使得下列兩個(gè)矩陣不等式成立

(19)

(20)

3 仿真驗(yàn)證

圖1 多自主體系統(tǒng)拓?fù)鋱DFig.1 The topology of multi-agent system

在連通條件下，考慮2個(gè)領(lǐng)航者和3個(gè)跟隨者組成的連通網(wǎng)絡(luò)(見圖1)，圖中智能個(gè)體4、5為領(lǐng)航者，其余為跟隨者。假設(shè)拓?fù)鋱D所有邊的權(quán)重都是1，系統(tǒng)對應(yīng)的Laplacian矩陣為

應(yīng)用Matlab的LMI工具箱計(jì)算可得：

圖2 離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)在干擾條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 The motion trajectory of a discrete multiagent system under disturbance

可見各跟隨者在有干擾的情況下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡最終漸近收斂到了兩個(gè)領(lǐng)航者所圍成的平面區(qū)間[2,3]內(nèi)，在采樣時(shí)間k=[4,7]時(shí)，跟隨者進(jìn)入兩個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的平面區(qū)間；在采樣時(shí)間k=[7,12]時(shí)，跟隨者的運(yùn)動(dòng)軌跡逐漸收斂；最終，多領(lǐng)航者運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間包容控制。

4 結(jié)論

本文考慮了離散時(shí)間多智能動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有外部干擾存在下的多領(lǐng)導(dǎo)者帶領(lǐng)跟隨者在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致性的問題。本文設(shè)置了多領(lǐng)導(dǎo)者的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)來重新設(shè)計(jì)控制協(xié)議，結(jié)合線性矩陣不等式有限時(shí)間收斂理論，給出了離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)達(dá)到領(lǐng)導(dǎo)者有限時(shí)間內(nèi)收斂的充分條件。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文提出的算法可以快速達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定，更符合實(shí)際工程要求。最后通過數(shù)值仿真，驗(yàn)證了本文所提出算法的有效性。