◇馬 宇

2017年的10月至11月，我作為教育部“一師一優(yōu)課、一課一名師”的評委，共參與評價(jià)了49節(jié)課，其中有來自全國23個(gè)省、市、自治區(qū)的23位老師選上的“有余數(shù)的除法”一課，該課執(zhí)教的大致情況如表1：

表1 “有余數(shù)的除法”部分執(zhí)教情況統(tǒng)計(jì)表

經(jīng)過多個(gè)評委的綜合評價(jià)，有兩節(jié)“有余數(shù)的除法”課脫穎而出，獲部級優(yōu)課。本文僅以其中一節(jié)為例談?wù)劇叭绾巫寖和倪\(yùn)算能力在問題情境中形成”。

一、為什么獲獎(jiǎng)——關(guān)注兒童運(yùn)算能力的培養(yǎng)

在我國近百年來的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，計(jì)算一直是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。也因?yàn)槠渲匾裕?jì)算教學(xué)內(nèi)容的增減、熟練程度總是每輪課改的重頭戲。比如從1978年提出刪減“過繁計(jì)算”；再如2001年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》提出“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡（鼓勵(lì)）算法多樣化”。當(dāng)然，隨著新一輪課改進(jìn)入深水區(qū)，諸多教師關(guān)于計(jì)算教學(xué)也有了新認(rèn)識?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》增加了核心概念“運(yùn)算能力”，主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。于是從“計(jì)算技能”的教學(xué)到“運(yùn)算能力”的培養(yǎng)也成為廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師的自覺訴求。兒童運(yùn)算能力的形成主要表現(xiàn)在哪些方面呢？具體來說主要有三：

一是兒童能正確地算。比如在本節(jié)“有余數(shù)的除法”教學(xué)中，兒童基于原有經(jīng)驗(yàn)，能在操作、觀察、對比等活動中深入思考、大膽質(zhì)疑、主動建構(gòu)，對“余數(shù)”及“有余數(shù)除法”的含義理解深刻，解答“有余數(shù)的除法”的水平比較高。

二是兒童能明白地算。比如在本課中，兒童對算理的理解（認(rèn)識余數(shù)的真實(shí)存在、明白“余數(shù)要比除數(shù)小”的道理）、對算法的掌握（會列有余數(shù)除法的橫式）交錯(cuò)進(jìn)行、相互促進(jìn)，對運(yùn)算形成了貫通式的理解。

三是兒童能合理地算。比如本課在鞏固階段設(shè)計(jì)了“創(chuàng)編繪本故事”的練習(xí)，由于情境新穎、問題開放，所以兒童能通過多樣化的表征去理解和思考問題，能夠“尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題”。

二、怎樣培養(yǎng)兒童的運(yùn)算能力——在問題情境創(chuàng)設(shè)上的著力點(diǎn)

1．引入新知時(shí)，問題情境設(shè)計(jì)以激發(fā)計(jì)算的興趣為目的。

為了調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師選擇了兒童喜聞樂見的繪本素材去設(shè)計(jì)情境。該情境在快速鏈接學(xué)習(xí)和生活的同時(shí)，也凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題，成為平均分物時(shí)“正好分完”和“分后有余”這一對知識點(diǎn)間的紐帶。

片段一：創(chuàng)設(shè)情境，為新知探究埋下伏筆

師：前兩天老師讀了一本繪本，它的名字叫作《百足蟲的100只鞋》。到底講了什么故事呢？我們一起去看看吧。

（教師讀學(xué)生聽）

師：它打算先把20只鞋送給只有4只腳的鼠小弟，能分給幾只鼠小弟？

（課件演示分的過程）

師：我們可以列式表示剛才分的過程和結(jié)果嗎？

生：20÷4=5（只）。

師：為什么用除法來計(jì)算？

評析：國際公認(rèn)“繪本是最適合幼兒閱讀的圖書”，為了激發(fā)兒童的計(jì)算欲望，教師特意將陪伴他們多年的“精神食糧”放到數(shù)學(xué)課上。通過“把20只鞋分給鼠小弟”這一問題情境，既讓兒童在美美的圖畫中、在暖暖的情感里復(fù)習(xí)了“表內(nèi)除法”，又為新知探究埋下伏筆。

2．建構(gòu)新知時(shí)，問題情境設(shè)計(jì)以貫通算理和算法為目的。

“有余數(shù)的除法”是在學(xué)生學(xué)習(xí)過 “表內(nèi)除法”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的?！氨韮?nèi)除法”是二年級下冊的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生經(jīng)過概念理解、鞏固深化等過程，已經(jīng)牢固樹立了一個(gè)觀念：凡是能用除法表示的都是平均分的并且能夠剛好分完。所以，如何把兒童生活中積累的“按組平均分成幾份之后還有剩余”的經(jīng)驗(yàn)激活，如何讓他們更好地理解余數(shù)及有余數(shù)除法的含義，成為本課問題情境設(shè)計(jì)中需要考慮的核心問題。

皮亞杰認(rèn)為，小學(xué)生的思維發(fā)展處在具體運(yùn)算階段（7～11歲）。進(jìn)入具體運(yùn)算階段的兒童能夠借助直觀、借助現(xiàn)實(shí)情境，通過具體的實(shí)例來理解抽象的算法。據(jù)此教師設(shè)計(jì)了活動情境，讓兒童在實(shí)踐中關(guān)聯(lián)“表內(nèi)除法”和“有余數(shù)的除法”，認(rèn)識到余數(shù)的真實(shí)存在，從而初步理解“余數(shù)要比除數(shù)小”的道理，并會用除法算式表示出來。

片段二：在操作中感受“平均分后有剩余”的情況

繪本閱讀：百足蟲送完20只鞋之后開開心心地回家了?！翱墒沁€剩下這么多鞋怎么辦？”小百足蟲回到家問媽媽?！澳悴皇沁€有其他朋友嗎？”媽媽說。

師：小百足蟲想到了蚱蜢，蚱蜢有6只腳，穿起鞋來也比較方便。想一想，20只鞋能分給幾只蚱蜢？

課件出示活動要求：用圓片代替20只鞋。

（1）邊分邊想：你是怎么分的，分的結(jié)果是什么？

（2）分完后，和同桌說一說分的過程。

生：我用圓片代表20只鞋，先拿6只鞋分給一只蚱蜢，再拿6只鞋分給一只蚱蜢，剩的還很多，就再拿出6只鞋分給一只蚱蜢，最后剩下2只鞋。

師：還能再分嗎？為什么？

生：剩下的2比6少，不能再分了。

生：因?yàn)槊恐或乞於夹枰?只鞋，所以剩下的2只鞋就不用分了，因?yàn)椴粔蛞恢或乞齑┝恕?/p>

生：剩下的鞋的只數(shù)比一只蚱蜢腳的只數(shù)少，就不能再分了。

評析：《百足蟲的100只鞋》的情境在新知學(xué)習(xí)中得以繼續(xù)生長。同樣都是20只鞋，但因?yàn)檫@次是分給小蚱蜢，所以每次都要拿出6只，這樣拿出3個(gè)6只后還剩下2只，怎么辦？充滿愛心和公平心的兒童明確提出——剩下的2只鞋不夠一只蚱蜢穿了，就不用再分了。情境中“不夠分的2只鞋”就和數(shù)學(xué)中“分到不能再分出一份所剩下的數(shù)”緊密相聯(lián)系，于是“事理”有效地支撐了“算理”的形成，“余數(shù)”的含義呼之欲出。

片段三：在交流中確定“平均分后有剩余”的表示方法

師：回憶剛才分的過程，誰能完整地說一說？

生：我們是把20只鞋，每6只分一份，可以分給3只蚱蜢，還剩下2只鞋。

師：請你們把剛才分的過程用一個(gè)算式表示出來。

（學(xué)生嘗試列式）

師：誰來說一說你的算式是怎么列的？算式中的每一個(gè)數(shù)表示什么？

生：20÷6=3 剩 2。20 表示一共有 20 只鞋，6表示一只蚱蜢需要6只鞋，3表示可以分給3只蚱蜢，最后還剩下2只鞋子。

生：20÷6=3 余下 2。

生：20÷6=3……2。

師：這三個(gè)算式，有的是用文字表示還剩下2只，有的是用省略號表示還剩下2只，你們比較喜歡哪一個(gè)？

生：用省略號的。

師：為什么？

生：比較簡單，寫起來不麻煩。

師：是的，在數(shù)學(xué)的世界里，人們更喜歡用符號來表示事物?，F(xiàn)在請大家跟老師一起寫寫這個(gè)算式，并說說算式中每個(gè)數(shù)的含義。

（教師帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識有余數(shù)除法算式各部分的名稱，重點(diǎn)理解什么是“余數(shù)”）

師：剛才我們幫百足蟲分了兩次鞋，這兩次分的過程有什么相同點(diǎn)？又有什么不同點(diǎn)？

（教師揭示課題：有余數(shù)的除法）

評析：“余數(shù)”如何在算式中表示出來？為了打破兒童原有的“認(rèn)知平衡”，教師在他們充分操作的基礎(chǔ)上，讓其自主創(chuàng)造算式。這樣在遵循兒童“直觀動作思維—具體形象思維—抽象邏輯思維”的認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，他們初步理解“余數(shù)”和“有余數(shù)除法”的含義。

片段四：在探索中發(fā)現(xiàn)“余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系”

（課件出示：21只鞋可以分給幾只蚱蜢）

生：分21只鞋，每6只鞋為一份，可以分給3只蚱蜢，還剩余3只鞋。

師：怎么列式？

生：21÷6=3（只）……3（只）。

師：算式中有兩個(gè)“3”，它們表示的意思一樣嗎？能結(jié)合圖片解釋一下嗎？

生：“商3”表示可以分給3只蚱蜢，“余數(shù)3”表示剩下3只鞋。

師：像這樣剩余的數(shù)比一只蚱蜢的腳的只數(shù)少，就不能再分了。

師：百足蟲仍然不放棄，它想如果有22只、23只、24只……

生：好說。22比21多1，分21只鞋時(shí)余數(shù)是3，那么分22只時(shí)就可以列式為22÷6=3（只）……4（只）。

生：23÷6=3（只）……5（只）。

生：24÷6=4（只）。

師：之前分 20、21、22、23 時(shí)都產(chǎn)生了余數(shù)，為什么分24只鞋沒有出現(xiàn)余數(shù)？

生：因?yàn)椤八牧摹?，所?24÷6=4。

生：分23只鞋余數(shù)是5，24只比23只增加1只鞋，余數(shù)就變成6，6只鞋可以再分給1只蚱蜢，所以 24÷6=4。

師：請大家認(rèn)真觀察這組算式，思考三個(gè)問題：（1）判斷余數(shù)能不能繼續(xù)分下去，該怎么想？（2）怎么確定有沒有余數(shù)？余數(shù)有什么特點(diǎn)？（3）有沒有余數(shù)？你能再舉出幾個(gè)這樣的例子嗎？

評析：為了讓兒童深入理解“余數(shù)比除數(shù)小”的道理，教師繼續(xù)變化“給小蚱蜢分鞋”的情境。被除數(shù)連續(xù)遞增，讓兒童感悟余數(shù)依次出現(xiàn)2、3、4、5和0的變化，啟迪兒童從根本上理解“余數(shù)”——因?yàn)槭墙o蚱蜢分鞋，所以余數(shù)始終在和除數(shù)6進(jìn)行比較。只有余下的數(shù)比6小，才不用繼續(xù)分了。這樣兒童會根據(jù)余數(shù)的特點(diǎn)，生成判斷余數(shù)的規(guī)則，“算理”和“算法”比翼齊飛。

3．應(yīng)用新知時(shí)，問題情境設(shè)計(jì)以尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題為目的。

知識應(yīng)用階段應(yīng)創(chuàng)設(shè)面向新知鞏固的數(shù)學(xué)問題情境。為了讓學(xué)生獲得用數(shù)學(xué)可以解決現(xiàn)實(shí)問題的通透感和愉悅感，教師基于二年級學(xué)生的心理特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律設(shè)計(jì)了“編繪本故事”的開放性練習(xí)，幫助學(xué)生接軌經(jīng)驗(yàn)、提高認(rèn)知。

片段五：

師：接下來也請你當(dāng)一次小作者，發(fā)揮你獨(dú)特的想象，自己創(chuàng)作一個(gè)繪本故事吧。

（1）可以幫助百足蟲繼續(xù)送鞋。

（2）可以幫老師分獎(jiǎng)品。

（3）可以幫媽媽分水果。

……

評析：創(chuàng)作“分物問題”的繪本故事，一方面能創(chuàng)設(shè)輕松的練習(xí)氛圍，讓兒童在涂涂畫畫中自由表達(dá)；另一方面也給不同思維水平的兒童提供了層次相異的思考空間，他們創(chuàng)作的繪本故事可復(fù)雜、可簡單，但都聚焦于對“平均分物中的兩種情況”以及對應(yīng)的算式的理解。當(dāng)然更重要的是，能讓兒童靈活地將獲得的“有余數(shù)除法”的含義和“余數(shù)要比除數(shù)小”的理性理解返回到實(shí)物，以培養(yǎng)兒童用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用合理簡潔的方法和途徑解決問題的能力。